Parametrización de curvas

1. Parametrización de curvas

Desde el punto de vista de la física, el movimiento de una partícula en el espacio se puede describir por su posición $(x, y, z)$ en función del tiempo $t$ , es decir, la posición en el instante $t$ es $(x (t), y (t), z (t)) .$

El vector posición en el tiempo $t$ se denota $r (t),$

1: En $ℝ^{3}$ , $r (t) = (x (t), y (t), z (t)) o también r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k, donde t \in [a, b]$
2: En $ℝ^{2}$ , $r (t) = (x (t), y (t)) o también r (t) = x (t) i + y (t) j, t \in [a, b]$

La "función vectorial" continua,

r : ℝ \to ℝ^{n}

se puede considerar como una trayectoria de una partícula en movimiento tanto como una curva, es decir, un objeto geométrico. En este último caso, el "parámetro"

t

ya no representa necesariamente "tiempo"

Definición 5 — Trayectoria. Parametrización de una curva..

1

Si una función vectorial

r : [a, b] \to R^{n}

es continua en

[a, b],

entonces a la representación gráfica de

r

se le llama curva y decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por

r (t) .

Escribimos

C : r (t) con t \in [a, b]

2

Si la curva

C

tiene ecuación

F = 0

y si

r : [a, b] \to ℝ^{n}

satisface la ecuación de

C

, es decir,

F (r (t)) = 0

, entonces

r

es una parametrización de

C

Esto dice: " $r$ es una parametrización de $C$ , si el gráfico de $r$ está contenido en el gráfico de $C$ ". No es raro que una sola función $r$ no pueda parametrizar toda la curva.

3

Una parametrización continua se le llama trayectoria.

En las aplicaciones a las parametrizaciones se le piden cosas adicionales, por ejemplo que sea inyectiva, sobreyectiva, continua, derivable, etc.

Propósito: Visualizar algunas curvas parametrizadas mediante una animación.

En el widget se hace la representación gráfica de

1: Segmento de $A = (0, 4, 3)$ a $B = (3, 1, 4)$ : $r (t) = (0, 4, 3) + t (3, - 3, 1), 0 \leq t \leq 1 .$
2: Elipse sobre un plano $Π : P + t e_{1} + s e_{2}$ : $r (t) = P + cos (t) e_{1} + sen (t) e_{2}, 0 \leq t \leq 2 π,$
3: Hélice circular: $r (t) = cos (4 t) i + sen (4 t) j + t ∕ 2 k, 0 \leq t \leq 2 π .$
4: Nudo de trébol: $r (t) = (sen (t) + 2 sen (2 t)) i + (cos (t) - 2 cos (2 t)) j - sen (3 t) k, 0 \leq t \leq 2 π .$
5: Cúbica torcida: $r (t) = t i + t^{2} j + t^{3} k, - 1.5 \leq t \leq 1.5 .$

Parametrizaciones

Puedes interactuar aquí o abrir la en ventana aparte para ver la versión ampliada del widget

Ejemplo54Validación de una parametrización

Consideremos la elipse de ecuación canónica

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

1

La función

r_{1} (t) = (h + a cos t) i + (k + b sen t) j,

t \in [0, 2 π [,

es una parametrización de la elipse.

Para verificar esto, debemos mostrar que $r_{1} (t)$ satisface la ecuación de la elipse, ya con eso, el gráfico de $r_{1} (t)$ está contenido en el gráfico de la de la elipse.

Tenemos

r_{1} (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{(h + a cos t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{(k + b sen t)}} j,

entonces sustituimos en la ecuación de la elipse

\begin{matrix} \frac{{(x (t) - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y (t) - k)}^{2}}{b^{2}} & = & \frac{{(h + b cos t - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(k + b sen t - k)}^{2}}{b^{2}} \\ = & \frac{{(b cos t)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(b sen t)}^{2}}{b^{2}} \\ = & {cos}^{2} t + {sen}^{2} t = 1 ✓ \end{matrix}

2

La función

r_{2} (t) = (a \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} + h) i + (b \frac{2 t}{1 + t^{2}} + k) j,

t \in ℝ

es una parametrización de la elipse.

Para verificar esto, debemos mostrar que la parametrización satisface la ecuación de la elipse.

Tenemos $r_{2} (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{(a \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} + h)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{(b \frac{2 t}{1 + t^{2}} + k)}} j,$ entonces sustituimos en la ecuación de la elipse

\begin{matrix} \frac{{(x (t) - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y (t) - k)}^{2}}{b^{2}} & = & \frac{{(a \frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}} + h - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(b \frac{2 t}{1 + t^{2}} + k - k)}^{2}}{b^{2}} \\ = & {(\frac{1 - t^{2}}{1 + t^{2}})}^{2} + {(\frac{2 t}{1 + t^{2}})}^{2} \\ = & \frac{1 + 2 t^{2} + t^{4}}{{(1 + t^{2})}^{2}} = 1 ✓ \end{matrix}

3

La trayectoria

r_{1} (t)

parametriza totalmente a la elipse, mientras que la función

r_{2} (t)

deja al vértice

(h - a, k)

¹ por fuera. En efecto,

$(h - a, k) = r (t) ⟹ k = b \frac{2 t}{1 + t^{2}} + k ⟹ t = 0$

Pero si $t = 0$ entonces $r_{2} (0) = (a + h, k) \neq (h - a, k)$ pues $a > 0$ .

No hay problema en esto, porque una parametrización solo debe tener su gráfico contenido en el gráfico de la curva.

Parametrización de curvas en $ℝ^{2}$

No siempre es fácil encontrar una parametrización de una curva en $ℝ^{2} .$ Veamos algunos casos sencillos.

Funciones.

1

C : y = f (x)

con

x \in [a, b],

entonces podríamos tomar como parámetro a

x = t,

una parametrización puede ser

C = (t, f (t)) con t \in [a, b]

$∙$ Los segmentos $y = k$ se parametrizan como $C = (t, k)$ con $t \in [a, b]$

$∙$ Los segmentos $x = k$ se parametrizan como $C = (k, t)$ con $t \in [a, b]$

2

C : x = h (y)

con

y \in [a, b],

entonces podríamos tomar como parámetro a

y = t,

una parametrización puede ser

C = (h (t), t) con t \in [a, b]

Elipses y circunferencias. Estas curvas se pueden parametrizar de varias maneras. En nuestro caso nos interesa una parametrización usando funciones trigonométricas. Usando coordenadas polares podemos fijar el radio

r = a

y usar el ángulo polar

𝜃

como parámetro.

La circunferencia $C : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ se puede parametrizar como

C : r (t) = (a cos t, a sen t) con t \in [0, 2 π]

Si el centro está en $(h, k)$ entonces se hace una traslación: Si $(x, y) \in C : x^{2} + y^{2} = a^{2}$ entonces $(x, y) + (h, k) \in C_{1} : {(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}$

La parametrización trigonométrica de una elipse se obtiene de la parametrización trigonométrica de la circunferencia unitaria, con escalado independiente en cada eje. Como vimos en el Ejemplo 54, una elipse de ecuación canónica

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

se puede parametrizar con funciones trignométricas:

r_{1} (t) = (h + a cos t) i + (k + b sen t) j, t \in [0, 2 π [,

La circunferencia

{(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}

Se puede parametrizar como

C : r (t) = (h + a cos t, k + a sen t) con t \in [0, 2 π]

La Elipse

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

Se puede parametrizar como

r (t) = (h + a cos (t), k + b sen (t)), t \in [0, 2 π]

Hipérbola. En cálculo, las parametrizaciones usando las funciones

senh (t)

cosh (t)

posiblemente sean las mejores. Por supuesto, existen otras maneras de parametrizar una hipérbola.

Como

senh (t) = \frac{e^{t} - e^{- t}}{2}

y como

cosh (t) = \frac{e^{t} + e^{- t}}{2}

entonces

{cosh}^{2} (t) - {senh}^{2} (t) = 1 .

Es decir,

x (t) = h + a cosh (t), y (t) = k + b senh (t)

satisfacen la ecuación de la hipérbola

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 .

Hipérbola

1

Ecuación canónica:

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,

Se puede parametrizar (en dos ramas) con

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a cosh (t), k + b senh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) & = & (h - a cosh (t), k + b senh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

2

Ecuación canónica:

\frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} = 1,

Se puede parametrizar (en dos ramas) con

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a senh (t), k + b cosh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) & = & (h + a senh (t), k - b cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

1: En el caso de la hipérbola, para estas parametrizaciones, $r (0)$ nos da el vértice en la rama respectiva.
2: La parametrización de la hipérbola usando las funciones hipérbolicas no presentan singularidades y gozan de simetría.
3: En este caso el parámetro $t$ no es un ángulo, más bien (en el caso de una hipébola centrada en el origen) es dos veces el área (orientada) de la región entre la hipérbola, el eje focal y un rayo del origen al punto $P = r (t) (t)$ (ver Figura 3.2).

Fig. 3.1: Parametrización de la hipérbola

\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1

con

r (t) = (\pm a cosh (t), b senh (t))

Curvas en coordenadas polares.
Consideremos la curva

C : r = g (𝜃)

con

𝜃 \in [𝜃_{1}, 𝜃_{2}] .

Como

${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \end{matrix} ⟹ {\begin{matrix} x & = & g (𝜃) cos 𝜃 \\ y & = & g (𝜃) sen 𝜃 \end{matrix}$

Entonces la curva

C

se puede parametrizar como

C : r (𝜃) = (g (𝜃) cos 𝜃, g (𝜃) sen 𝜃) con 𝜃 \in [𝜃_{1}, 𝜃_{2}]

Parametrización de

r = g (𝜃)

C : r (𝜃) = (g (𝜃) cos 𝜃, g (𝜃) sen 𝜃) con 𝜃 \in [𝜃_{1}, 𝜃_{2}]

Curvas sobre un plano. Para poner una curva sobre un plano

Π,

solo necesitamos un punto

P

del plano que opere como centro y una base ortogonal y unitaria que opere como sistema de ejes.
Sea

Π : P + t u + s v

con

u, v

unitarios y ortogonales. Entonces si tenemos una curva

C : r (t) = (x_{1} (t), x_{2} (t)), t \in [a, b],

la curva en el plano tiene parametrización

r_{1} (t) = P + x_{1} (t) u + x_{2} (t) v

Por ejemplo, la elipse $C : r (t) = 3 cos (t) i + 4 sen (t) j$ la podemos poner sobre el plano (con base ortonormal) $Π : (0, 3, 0) + t (1, 0, 0) + (0, - 1, 0.5)$ y la parametrización sería

r) 1 (t) = (0, 3, 0) + 3 cos (t) (1, 0, 0) + 4 sen (t) (0, - 1, 0.5)

Fig. 3.2: Curva sobre un plano

Ejemplo55Parametrizar un curva a trozos

Parametrizar la curva (a trozos)

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

donde

{\begin{matrix} C_{1} : x = 3 & con & y \in [0, 2] \\ C_{2} : y = 2 x - x^{2} & con & x \in [0, 2] \\ C_{3} : y = 0 & con & x \in [2, 3] \end{matrix}

Solución. Como son funciones del tipo

y = f (x)

podemos usar

x = t

como parámetro.

{\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) = (3, t) & con & t \in [0, 2] \\ C_{2} : r_{2} (t) = (t, 2 t - t^{2}) & con & t \in [0, 2] \\ C_{3} : r_{3} (t) = (t, 0) & con & t \in [2, 3] \end{matrix}

Ejemplo56Parametrización de cónicas

Para las siguientes cónicas, parametrice y realice la representación gráfica

1: $\frac{{(x + 1)}^{2}}{2} + y^{2} = 4$
2: ${(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$
3: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4, 0 \leq x \leq 1$

Solución.

1

La elipse

\frac{{(x + 1)}^{2}}{2} + y^{2} = 4

tiene ecuación canónica

\frac{{(x + 1)}^{2}}{8} + \frac{y^{2}}{4} = 1

Entonces una parametrización trigonométrica es (Figura 3.3)

r (t) = (- 1 + \sqrt{8} cos (t), 2 sen (t)), t \in [0, 2 π [

2

La hipérbola

{(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}

tiene ecuación canónica

\frac{{(z - 1)}^{2}}{\frac{1}{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1

en el plano $Y Z$ . El centro es $(2, 1)$ y abre en dirección del eje $Z$

Una parametrización trigonométrica, en dos ramas, es (Figura 3.4)

{\begin{matrix} r_{1} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 + \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 - \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

3

{(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4

es la ecuación canónica de una circunferencia en el plano

XY

, de centro

(- 1, 0)

y radio

2 .

(Figura 3.5)

Una parametrización trigonométrica de la circunferencia entera es

r (t) = (- 1 + 2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [0, 2 π [

Para parametrizar solo la parte ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4, 0 \leq x \leq 1,$ se debe establecer el recorrido del ángulo. Como $x (t) = - 1 + 2 cos (t)$ entonces

$0 \leq - 1 + 2 cos (t) \leq 1 ⟹ \frac{1}{2} \leq cos (t) \leq 1 ⟹ t \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$

Por tanto la parametrización del trozo de circunferencia es

r (t) = (- 1 + 2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]

Fig. 3.3:

Fig. 3.4:

Fig. 3.5:

Parametrización de rectas y segmentos en $ℝ^{3}$

1

Rectas en

ℝ^{3} .

Si la recta

L

pasa por

P

en dirección de

v

entonces una parametrización es

L : r (t) = P + t v, t \in ℝ

2

Segmentos. El segmento de recta

C,

que inicia e

A

y termina en

B,

se puede parametrizar como

C : r (t) = A + t \cdot (B - A), t \in [0, 1]

En este caso, $r (0) = A$ y $r (1) = B$ y el punto medio del Segmento es $M = r (1 ∕ 2)$

3

Segmentos paralelos a los ejes. Aunque estos segmentos es un caso especial de "segmentos de

a

B

", la parametrización sencilla es seguir el eje.

Propósito: Explorar distintas formas de parametrizar rectas y segmentos en $ℝ^{3}$ , variando el parámetro $t$ :

1

Segmento

AB

: Al restringir

t \in [0, 1]

, trazamos un segmento acotado desde el punto base

A = r (0)

hasta

B = r (1)

2

Recta

L

: Definida por un punto base

P

y un vector director

v

. Su ecuación es:

r (t) = P + t v, con t \in ℝ .

3

Segmentos paralelos a los ejes: Se obtienen al mantener dos coordenadas constantes y variar la tercera. Por ejemplo, segmento paralelo al eje

X

que inicia en

t = a

y finaliza en

t = b

r (t) = (t, y_{0}, z_{0}), t \in [a, b]

En la recta y el segmento que va de $A$ a $B$ , se puede seleccionar el vector $v$ y el punto $P$ con el ratón (en los segmentos no).

Parametrizar recta y segmentos

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Ejemplo57Parametrización de una curva a trozos

Determine una parametrización para $C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$ (Figura 3.6).

Solución.

1

El segmento de recta

C_{1}

lo podemos parametrizar como

r (t) = A + t (B - A), t \in [0, 1];

pues va de

A = (2, 0, 2)

B = (0, 2, 0)

\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (2, 0, 2) + t \cdot [(0, 2, 0) - (2, 0, 2)] \\ = & (2 - 2 t) i + 2 t j + (2 - 2 t) k, t \in [0, 1] \end{matrix}

2

C_{2}

es un segmento paralelo al eje

X

. Usamos el parámetro

x = t

y = 2

. Lo podemos parametrizar como

(t, 2)

, es decir,

C_{2} : r_{2} (t) = t i + 2 j, t \in [0, 3]

3

C_{3}

es un segmento paralelo al eje

Y

. Usamos el parámetro

y = t

x = 3

. Lo podemos parametrizar como

(3, t)

, es decir

C_{3} : r_{3} (t) = 3 i + t j, t \in [2, 4

Fig. 3.6: Curva

C

Parametrización de curvas en $ℝ^{3}$

Algunas curvas en $ℝ^{3}$ se pueden parametrizar usando como parámetro $x = t,$ $y = t$ o $z = t .$ En otros casos se se puede usar un ángulo como parámetro. En este apartado solo se consideran estas posibilidades aunque existen otros métodos más aavanzadas.

Si las curvas se obtienen como un problema de intersección de superficies, con la ecuación de estas superficies se puede deducir una parametrización a partir de la la proyección de la curva de intesercción en algunos de los planos coordenados.

Curvas en los planos coordenados. Un curva en el espacio que vive en alguno de los planos

XY

XZ

Y Z

, tiene una parametrización

r (t)

con una componente nula.

1: Curva en el plano $XY$ : $r (t) = (x (t), y (t), 0), t \in [a, b]$
2: Curva en el plano $XZ$ : $r (t) = (x (t), 0, z (t)), t \in [a, b]$
3: Curva en el plano $Y Z$ : $r (t) = (0, y (t), z (t)), t \in [a, b]$

Propósito: Visualizar curvas en los planos coordenados. Una curva en el espacio puede describirse mediante una función vectorial $r (t)$ .

El widget muestra algunas curvas en los planos coordenados, con cierto dominio, y se muestra la paraemtrización en el plano respectivo y la representación gráfica en el espacio.

1

Curva en el plano

XY

: (Media elipse)

{(x - 2)}^{2} + \frac{y^{2}}{16} = 1, x \in [1, 3]

. Una parametrización en

ℝ^{3}

r (t) = (2 + cos (t), 4 sen (t), 0), t \in [0, π] .

2

Curva en el plano

XZ

: Parábola

z = 4 - x^{2}, x \in [- 2, 2]

. Una parametrización en

ℝ^{3}

r (t) = (t, 0, 4 - t^{2}), t \in [- 2, 2] .

3

Curva en el plano

Y Z

: Hipérbola:

y^{2} - {(z - 2)}^{2} = 1, y \in [1, cosh (2)]

. Una parametrización en

ℝ^{3}

r (t) = (0, cosh (t), 2 - senh (t)), t \in [- 2, 2] .

Parametrización en planos coordenados

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Ejemplo58Parametrización de cónicas en el espacio

Parametrice en $ℝ^{3}$ las siguientes cónicas

1: $\frac{{(x + 1)}^{2}}{2} + z^{2} = 4$
2: ${(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$
3: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4, x \leq 0$

Solución.

1

La elipse

\frac{{(x + 1)}^{2}}{2} + z^{2} = 4

tiene ecuación canónica

\frac{{(x + 1)}^{2}}{8} + \frac{z^{2}}{4} = 1

en el plano

XZ

Entonces una parametrización trigonométrica es (Figura 3.7)

r (t) = (- 1 + \sqrt{8} cos (t), 0, 2 sen (t)), t \in [0, 2 π [

2

La hipérbola

{(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}

tiene ecuación canónica

\frac{{(z - 1)}^{2}}{\frac{1}{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1

en el plano $Y Z$ . El centro es $(2, 1)$ y abre en dirección del eje $Z$

Una parametrización trigonométrica, en dos ramas, es (Figura 3.8)

{\begin{matrix} r_{1} (t) = (0, 2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 + \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) = (0, 2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 - \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

3

{(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4

es la ecuación canónica de una circunferencia en el plano

XY

, de centro

(- 1, 0)

y radio

2 .

(Figura 3.9)

Una parametrización trigonométrica de la circunferencia entera es

r (t) = (- 1 + 2 cos (t), 2 sen (t), 0), t \in [0, 2 π [

Para parametrizar solo la parte ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4, x \leq 0,$ se debe establecer el recorrido del ángulo. Como $x (t) = - 1 + 2 cos (t)$ entonces

$- 1 + 2 cos (t) \leq 0 ⟹ cos (t) \leq \frac{1}{2} ⟹ t \in [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}]$

Por tanto la parametrización del trozo de circunferencia es

r (t) = (- 1 + 2 cos (t), 2 sen (t), 0), t \in [\frac{π}{3}, \frac{5 π}{3}]

Fig. 3.7:

Fig. 3.8:

Fig. 3.9:

Orientación

Curvas orientadas. Observe que la parametrización

r

induce una orientación de

C

en el sentido de que la trayectoria inicia en

r (a)

y termina en

r (b) .

Una parametrización ordena los puntos en una curva

C

en el siguiente sentido:

x (t_{1})

precede a

x (t_{2})

t_{1} < t_{2}

(es decir,

t_{1}

precede a

t_{2}

[a, b]

Algunas trayectorias ya tienen su propia orientación y la parametrización $r$ puede ser que respete o no respete esta orientación. Por supuesto, una curva $C$ puede tener varias parametrizaciones.

Fig. 3.10:

Invertir la orientación

1: $r : [a, b] \to ℝ$ parametriza una curva $C$ e induce una orientación en $C$ : Inicia en $A = r (a)$ y termina en $B = r (b)$
2: Si $r : [a, b] \to ℝ$ parametriza una curva $C$ , la parametrización $r_{v} : [0, 1] \to ℝ$ con $r_{v} (t) = r (b + (a - b) t)$ , invierte la parametrización pues inicia en $B = r (0)$ y termina en $A = r (1)$

En general, en la práctica no hay que recurrir a

r_{v}

para invertir la orientación. Si fuera necesario, basta con cambiar de signo.

Ejemplo59Orientación

Consideremos las curvas

1.: $C_{1} : z = 4 - x^{2}$
2.: $C_{2} : z = 4 - 2 y$
3.: $C_{3} : \frac{x^{2}}{9} + \frac{{(y - 4)}^{2}}{4} = 1, 3 \leq x \leq 0$

tal y como se muestra en la Figura 3.11

Tenemos una curva

C

formada por la unión de los trozos

C_{1}, C_{1}

C_{3}

. Escribimos,

C : C_{1} + C_{2} + C_{3}

Orientación inducida. Una parametrización para $C$ es

$\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, 0, 4 - t^{2}), t \in [0, 2] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (0, t, 4 - 2 t), t \in [0, 2] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & (3 cos (t), 4 + 2 sen (t), 0), t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \end{matrix}$

Esta parametrización induce una orientación en $C$ pues determina donde inicia y donde termina, como se muestra en la Figura 3.12

Fig. 3.11:

C

Fig. 3.12:

C_{o}

Ajustar la orientación. Si

C_{1}

tuviera la orientación "invertida", como en la Figura 3.13, podemos usar la misma parametrización, únicamente agregamos un

- C

para indicar esta situación.

Parametrización para

C_{o}

(orientada)

\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, 0, 4 - t^{2}), t \in [0, 2] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (0, t, 4 - 2 t), t \in [0, 2] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & (3 cos (t), 4 + 2 sen (t), 0), t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \end{matrix}

Fig. 3.13:

C_{o}

Parametrización de curvas de intersección.

Consideremos dos superficies $S_{1} : F_{1} (x, y, z) = 0$ y $S_{2} : F_{2} (x, y, z) = 0$ . Para parametrizar una curva de intesercción estre estas dos superficies, si nos es muy complicado, parametrizamos una proyección de esta curva en alguno de los planos coordenados. Con eso obtenemos dos componentes de la paramatrización final y, la tercera componente la obtenemos con la ecaución de cualquiera de las dos superficies.

Es decir, primero determinamos una ecuación de una proyección de la curva de intersección, para esto resolvemos (en las variables del plano de proyección elegido)

F_{1} (x, y, z) = 0 \cap F_{2} (x, y, z) = 0

Y luego parametrizamos la proyección.

Ejemplo60Curva de intersección entre cilindro y plano

Consideremos el cilindro $S : x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1, x \in [0, 1]$ (primer octante) y el plano $Π : x + y = 2$ . Determinar una parametrización para la curva de intersección entre el cilindro $S$ y el plano $Π$ , con base en la proyección de esta curva de intersección sobre cada plano coordenado.

Parametrización y proyecciones

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Solución.

Análisis. Vamos a resolver este problema de tres maneras diferentes, proyectando la curvas de intersección en cada plano coordenado. Llamamos $C_{p}$ a la curva de intersección.

1

Proyectando sobre

XY

. Queremos una ecuación

F (x, y) = 0

2

Proyectando sobre

XZ

. Queremos una ecuación

F (x, z) = 0

. En este caso, el cilindro

S

es perpendicular al plano XZ, por lo que la curva de proyección es la misma directriz del cilindro: Media circunferencia

x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1

con

0 \leq x \leq 1

(primer octante).

3

Proyectando sobre

Y Z

. Queremos una ecuación

F (y, z) = 0

$x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1 \cap x + y = 2 ⟹ {(y - 2)}^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1$

Fig. 3.14:

Fig. 3.15:

Fig. 3.16:

Ejemplo61Parametrizar curva de intersección

Determine la curva de intersección entre el Cono $S_{1} : z^{2} = x^{2} + y^{2}, z \geq 0$ y el Parabolide $S_{2} : 4 y = x^{2} + y^{2}$ (Figura 3.17)

Fig. 3.17:

Solución. Vamos a proyectar sobre el plano $XY$ para obtener la proyección de la curva de intersección. Se necesita una curva de proyección $F (x, y) = 0$

$z^{2} = x^{2} + y^{2} \cap 4 y = x^{2} + y^{2} ⟹ 2 x^{2} + y^{2} - 4 y = 0$

Completando el cuadrado obtenemos la ecuación canónica de la proyección de la curva de intersección (una elipse)

$\frac{{(y - 2)}^{2}}{4} + \frac{x^{2}}{2} = 1$

2.1Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: Parametrización de la curva
$C C_{1} + C_{2} = {\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) = (t, 2 t - t^{2}), t \in [0, 2] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (3 + cos t, sen t), t \in [π, \frac{3 π}{2}] \end{matrix}$
2.: Parametrización de la curva

$C C_{1} + C_{2} = {\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) = (1 + cos (t), sen (t)), t \in [\frac{π}{2}, π] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (t, 2 - t), t \in [1, 2] \end{matrix}$

2.2Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: ${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, t^{2}, 0), t \in [0, 3] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (3, 9, t), t \in [0, 5] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & A + t (B - A), t \in [0, 1] con A = (3, 9, 5), B = (0, 12, 0) . \end{matrix}$
2.: ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, t), t \in [0, \sqrt{2}] \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [\frac{π}{4}, Pi ∕ 2] \\ C_{3} : r_{3} (t) & = & A + t (B - A), t \in [0, 1],, con A = (2, 0, 4), B = (0, 2, 0) . \\ C_{4} : r_{4} (t) & = & (t, 0, 4 t), t \in [0, 2] \end{matrix}$

2.3Determine una parametrización para cada una de las siguientes curvas.

1.)————————————————————————–

2.)————————————————————————–

1.: ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, 2 t, 0), t \in [0, 1] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (0, 0, t) t \in [0, 1] \\ - C_{3} : r_{3} (t) & = & (cos (t), 2 cos (t), sen (t)), t \in [0, \frac{π}{2}] \end{matrix}$
2.: ${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (2 cos (t), 0, 2 sen (t)), t \in [0, \frac{π}{2}] \\ C_{2} : r_{3} (t) & = & (2 cos (t), 4 - 2 cos (t), 2 sen (t)), t \in [0, \frac{π}{2}] \\ - C_{3} : r_{2} (t) & = & (t, 4 - t, 0), t \in [0, 2] \\ - C_{4} : r_{2} (t) & = & (cos (t), 4 - cos (t), 1 + sen (t)), t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}] \end{matrix}$

2.4Determine la curva de intersección

S_{1} : 1 = {(x - 1)}^{2} + y^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

(Figura 3.23)

Fig. 3.19:

Fig. 3.20:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.: $x (t) = 1 + cos (t), y (t) = sen (t)$
2.: Proyección $r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)$
3.: Curva de intersección $r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{4 - y^{2} (t) - x^{2} (t)}), t \in [0, 2 π]$

2.5Determine la curva de intersección

S_{1} : y^{2} = x^{2} + z^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} = 1

(Figura 3.23)

Fig. 3.21:

Fig. 3.22:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.: $x (t) = cos (t) y y (t) = sen (t)$
2.: Proyección $r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)$
3.: Curva de intersección $r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{{sen}^{2} (t) - {cos}^{2} (t)}), t \in [\frac{π}{4}, - \frac{π}{4}]$

2.6

Determine la curva de intersección entre

S_{1} : 1 = {(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

(Figura 3.24)

Fig. 3.23:

Fig. 3.24:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.

x (t) = 1 + cos (t) y y (t) = 1 + sen (t)

2.

Proyección

r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)

3.

Curva de intersección

r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{4 - y^{2} (t) - x^{2} (t)}), t \in [𝜃_{0}, 𝜃_{0}]

4.

Calculo del intervalo

[𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

(a)

Las circunferencias

{(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2}

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4

se cortan en

\begin{matrix} P_{1} & = & (p_{1}, p_{2}) = (\frac{5 - \sqrt{7}}{4}, \frac{\sqrt{7} + 5}{4}) \\ Q_{2} & = & (q_{1}, q_{2}) = (\frac{5 + \sqrt{7}}{4}, \frac{5 - \sqrt{7}}{4}) \end{matrix}

(b)

Ahora, como

x (t) = p_{1}

x (t) = q_{1}

, obtenemos los ángulos adecuados (en el 3er y 4to cuadrante)

𝜃_{0} = arccos (\frac{1}{4} (1 - \sqrt{7})) \approx 1.99483, 𝜃_{1} = 2 π - arccos (\frac{1}{4} (\sqrt{7} + 1)) \approx 5.85915

2.7

Determine la curva de intersección

S_{1} : y = x^{2} + z^{2}

S_{2} : \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1

en el primer octante. (Figura 3.25)

Fig. 3.25:

Fig. 3.26:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.

La proyección es una hipérbola:

$y = x^{2} + z^{2} \cap \frac{y^{2}}{4} + z^{2} = 1 ⟹ \frac{{(y + 2)}^{2}}{8} - \frac{x^{2}}{2} = 1$

2.

Nos intersa solo la rama "derecha" de la hipérbola:

x (t) = \sqrt{2} sinh (t) y y (t) = - 2 + \sqrt{2} cosh (t)

3.

Proyección

r_{xy} (t) = (x (t), y (t), 0)

4.

Curva de intersección

r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{y (t) - x^{2} (t)}), t \in [𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

5.

Calculo del intervalo

[𝜃_{0}, 𝜃_{1}]

. La proyección de la curva de intersección llega hasta el borde de la elipse, es decir,

y = 2

, entonces

- 2 + \sqrt{2} cosh (t) = 2 ⟹ t = arccosh (\sqrt{2})

Entonces $𝜃_{0} = 0$ y $𝜃_{1} = arccosh (\sqrt{2}) \approx 0.881374$ (pues estamos esolo en el 1er octante).

Ejercicios con widget como asistente.

Propósito: Asistente para verificar una parametrización de la curva de intersección entre dos superficies.

El widget acepta dos superficies F1(x,y,z) y F2(x,y z) y la parametrición se escribe como (x(t),y(t),z(t)).

Ejemplos.

1

Curva de intersección entre las superficies F1: x^2+y^2=1 y F2: z=x^2+y^2

(a): Parametrización: (cos(t), sen(t), 1)
(b): Intervalo: 0 $|$ 2*pi

2

Curva de intersección entre las superficies F1: x^2+y^2=z^2 y F2: x=4-y^2-z^2

(a)

Parametrización: Aquí escribir el código requiere mucho cuidado porque

x(t)=(-1/2 + (sqrt(17)/2)*cos(t)

y(t)=(sqrt(17)/(2*sqrt(2)))*sen(t)

z(t)=sqrt( (x(t))^2+(y(t))^2 )

Pero como es para graficar, podemos usar una aproximación numérica:

(-0.5+2.06 cos(t),1.45 sen(t), sqrt((-0.5+2.06 cos(t))^2+2.12 sen(t)^2))

(b)

Intervalo: 0

|

2*pi

Ejercicios propuestos. La idea es usar el asistente para verificar sus respuestas.

Determine y grafique usando una parametrización (posiblemente trigonométrica), de la intersección entre las siguientes superficies:

1.: $S_{1} : x^{2} + y^{2} = z^{2}$ y $S_{2} : z = 2 - y$
2.: $S_{1} : x^{2} + y^{2} = z^{2}$ y $S_{2} : z = 2 - x$
3.: $S_{1} : x = 4 - y^{2} - z^{2}$ y $S_{2} : x^{2} + y^{2} = 1$
4.: $S_{1} : x = 4 - y^{2} - z^{2}$ y $S_{2} : z = 4 - y^{2} - x^{2} = 1$
5.: $S_{1} : x^{2} + y^{2} = 1$ y $S_{2} : x^{2} + z^{2} = 1$
6.: $S_{1} : x^{2} ∕ 4 + y^{2} ∕ 9 + z^{2} = 1$ y $S_{2} : z = 4 - y^{2}$

Asistente verificar parametrizaciones de intersección de superficies

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1. Parametrización de curvas

Parametrización de curvas en ℝ2

Parametrización de rectas y segmentos en ℝ3

Parametrización de curvas en ℝ3

Orientación

Parametrización de curvas de intersección.

Parametrización de curvas en $ℝ^{2}$

Parametrización de rectas y segmentos en $ℝ^{3}$

Parametrización de curvas en $ℝ^{3}$