Derivada de r(t)

3. Derivada de $r (t)$

Vector velocidad. Sea $C$ es una trayectoria (continua) parametrizada por $r = r (t) .$ En en el intervalo de tiempo que va de $t$ a $t + Δ t,$ una partícula que recorre $C,$ se mueve de la posición $r (t)$ a $r (t + Δ t)$ y la velocidad promedio es

\frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t}

Si la velocidad promedio tiene un límite, cuando

Δ t \to 0,

entonces este límite lo llamamos la velocidad (instantánea) de la partícula en el tiempo

t

y se denota

v (t) .

v (t) = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} = \frac{d r (t)}{dt}

Definición 6.

1

Sea

C

es una curva parametrizada por

r = r (t)

con

t \in I .

Decimos que

r

es diferenciable en

t

\frac{d r}{dt} = lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} existe

También escribimos $r^{'} (t) = \frac{d r}{dt}$

2

La curva

C

se dice suave en

I

\frac{d r}{dt}

es continua en

I

. Es decir, el sentido y la dirección de la curva cambian de manera fluida sin "picos" donde la derivada no existe.

3

La curva

C

se dice regular en

I

si es suave y

\frac{d r}{dt} \neq 0 para todo t \in I

. Es decir, la curva avanza constantemente hacia adelante.

La derivada

r^{'} (t)

1

x (t)

y (t)

son funciones derivables en

I

y si

r (t) = x (t) i + y (t) j,

entonces

\begin{matrix} \frac{d r}{dt} & = & lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} \\ = & lim_{Δ t \to 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} i + \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} j \end{matrix}

Es decir

r^{'} (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j

2

x (t),

y (t)

z (t)

son funciones derivables en

I

y si

r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

entonces

\begin{matrix} \frac{d r}{dt} & = & lim_{Δ t \to 0} \frac{r (t + Δ t) - r (t)}{Δ t} \\ = & lim_{Δ t \to 0} \frac{x (t + Δ t) - x (t)}{Δ t} i + \frac{y (t + Δ t) - y (t)}{Δ t} j + \frac{z (t + Δ t) - z (t)}{Δ t} k \end{matrix}

Es decir

r^{'} (t) = x^{'} (t) i + y^{'} (t) j + z^{'} (t) k

r (t)

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Ejemplo62Curvas continuas, suaves y regulares

1

La derivada de

L (t) = P + t v

es el vector dirección:

L^{'} (t) = v

2

C : r (t) = (t, | t |)

t \in ℝ

Esta curva $C$ es continua en $ℝ$ , pero tiene un "pico" en $t = 0$ .

$r^{'} (t) = {\begin{matrix} (1, 1) & si & t > 0 \\ (1, - 1) & si & t < 0 \end{matrix}$

En $t = 0$ la componente $y (t) = | t |$ no es derivable por lo que no es suave en $ℝ$

3

C : r (t) = (t - sen t, 1 - cos t)

t \in ℝ

$r^{'} (t) = (1 - cos t, sen t)$ y $r^{'} (0) = (0, 0)$ , así que $C$ es suave pero no es regular (Figura 3.27).

4

C : r (t) = (t^{3}, t^{5})

t \in ℝ

$r^{'} (t) = (3 t^{2}, 5 t^{4})$ y $r^{'} (0) = (0, 0)$ , así que $C$ es suave pero no es regular (Figura 3.28).

5

C : r (t) = (t, t^{3} + t)

t \in ℝ

$r^{'} (t) = (1, 3 t^{2} + 1) \neq (0, 0)$ para todo $t$ , luego es suave y regular (Figura 3.29).

Fig. 3.27:

Fig. 3.28:

Fig. 3.29:

Reglas de derivación. Sean

u (t)

v (t)

funciones vectoriales diferenciales y

f : ℝ \to ℝ

una función derivable. Entonces,

1.: $\frac{d}{dt} (u (t) + v (t)) = u^{'} (t) + v^{'} (t)$
2.: $\frac{d}{dt} (f (t) u (t)) = f^{'} (t) u (t) + f (t) u^{'} (t)$
3.: $\frac{d}{dt} (u [f (t)]) = f^{'} (t) u^{'} (f (t))$
4.: $\frac{d}{dt} (u (t) \times v (t)) = u^{'} (t) \times v (t) + u (t) \times v^{'} (t)$
: Derivada de funciones escalares relacionadas
5.: $\frac{d}{dt} (u (t) \cdot v (t)) = u^{'} (t) \cdot v (t) + u (t) \cdot v^{'} (t)$
6.: $\frac{d}{dt} (| | u (t) | |) = \frac{u^{'} (t) \cdot u (t)}{| | u (t) | |}$ si $u (t) \neq 0 .$

Observe que $proy u^{'} (t) u (t) = \frac{d}{dt} (| | u (t) | |) u (t)$ . Esto dice que $\frac{d}{dt} (| | u (t) | |)$ mide un factor de escalamiento (estiramiento o encogimiento) de $u (t)$

Ejemplo63Cálculo de derivadas

1

r (t) = (cos t, sen t), t \in ℝ .

\frac{d}{dt} ∥ r (t) ∥ = \frac{(- sen t, cos t) \cdot (cos t, sen t)}{| | r (t) | |} = 0 .

Dice que la distancia al origen es constante; la velocidad es siempre perpendicular al vector posición, por lo que la norma no varía.

2

r (t) = (t, 0), t \in ℝ .

\frac{d}{dt} ∥ r (t) ∥ = \frac{(1, 0) \cdot (t, 0)}{| t |} = sgn (t) (t \neq 0), no derivable en t = 0 .

Dice que aunque la rapidez $∥ r^{'} (t) ∥ = 1$ es constante, la distancia al origen crece o decrece según el signo de $t$ . La derivada de la norma no coincide con la norma de la derivada.

3

r

parametriza una curva en

ℝ^{2}

y si

T = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |}

(unitario), entonces

T^{'} (t_{0})

es igual a la tasa de cambio angular en

t_{0}

en la dirección de

T

T

es unitario en el plano así que su longitud no varía, pero si su dirección (medida con el ángulo).

4

T = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |}

(unitario) entonces

T \cdot \frac{d T}{dt} = 0

(es decir, son perpendicules).

En general

r^{'} (t)

r^{″} (t)

no son perpendiculares, excepto que

| | r^{'} (t) | |

sea constante.

5

ℝ^{2}

, un vector perpendicular a

r^{'} (t) = (x^{'} (t), y^{'} (t))

r_{n} (t) = (- y^{'} (t), x^{'} (t))

r^{'} (t)

r^{″} (t)

. Estos dos vectores nos permiten construir una base de un plano que se mueve con

r (t)

. El vector

r^{″} (t)

tiene una parte tangencial (cambio de rapidez) y una parte normal (cambio de dirección). Ambas derivadas nos ayudan a definir la curvatura de una curva en un punto.

Con la proyección

{proy}_{r^{'}}^{r^{″}}

podemos expresar

r^{″}

como una suma de una componente paralela y una componente perpedicular a

r^{'} (t)

. También usando la fórmula del triple producto vectorial podemos obtener una fórmula compacta para la componente perpendicular, que es la que usa en la teoría más adelante

Componentes

r^{″} (t) = \underset{componente paralela}{\underset{⏟}{(\frac{r^{″} (t) \cdot r^{'} (t)}{| r^{'} (t) |^{2}}) r^{'} (t)}} + \underset{componente perpendicular}{\underset{⏟}{[r^{″} (t) - (\frac{r^{″} (t) \cdot r^{'} (t)}{| r^{'} (t) |^{2}}) r^{'} (t)]}}

Y, aplicando la fórmula del triple producto vectorial se puede obtener una fórmula compacta para la componente perpendicular:

r_{⊥} (t) = \frac{r^{'} (t) \times (r^{″} (t) \times r^{'} (t))}{∥ r^{'} (t) ∥^{2}}

Ejemplo64Componentes

Dada la curva $r (t) = (t cos (t), t sin (t), t)$ con $t \in ℝ$ . Descomponga el vector aceleración $r^{″} (t)$ como la suma de una componente paralela y una componente perpendicular a la velocidad $r^{'} (t)$ .

Solución.

1

Cálculo de derivadas:

r^{'} (t) = (cos (t) - t sin (t), sin (t) + t cos (t), 1)

r^{″} (t) = (- 2 sin (t) - t cos (t), 2 cos (t) - t sin (t), 0)

2

Magnitud al cuadrado de la velocidad:

∥ r^{'} (t) ∥^{2} = {(cos (t) - t sin (t))}^{2} + {(sin (t) + t cos (t))}^{2} + 1 = t^{2} + 2

3

Producto punto:

r^{″} (t) \cdot r^{'} (t) = t

4

Componente paralela:

r_{∥} (t) = \frac{t}{t^{2} + 2} (cos (t) - t sin (t), sin (t) + t cos (t), 1)

5

Componente perpendicular:

r_{⊥} (t) = r^{″} (t) - r_{∥} (t) = (\frac{- 2 (t^{2} + 1) sin (t) - t^{3} cos (t)}{t^{2} + 2}, \frac{2 (t^{2} + 1) cos (t) - t^{3} sin (t)}{t^{2} + 2}, \frac{- t}{t^{2} + 2})

4.1Dada la curva

r (t) = (t, t^{2}, 3 t)

con

t \in ℝ

. Determine su derivada

r^{'} (t)

e indique si la curva es suave y/o regular.

r^{'} (t) = (1, 2 t, 3)

.
Las componentes polinomiales son continuas y derivables en todo

ℝ

, por lo que la curva es suave. Además, notemos que la primera y tercera componente nunca se anulan, de modo que

r^{'} (t) \neq (0, 0, 0)

para todo

t \in ℝ

. Por lo tanto, la curva también es regular.

4.2Dada la curva

r (t) = (t^{3}, t^{3}, t^{5})

con

t \in ℝ

. Determine su derivada

r^{'} (t)

e indique si la curva es suave y/o regular.

r^{'} (t) = (3 t^{2}, 3 t^{2}, 5 t^{4})

.
La curva es suave en todo

ℝ

porque las funciones son polinomiales y, por tanto, derivables. Sin embargo, al evaluar en

t = 0

, tenemos que

r^{'} (0) = (0, 0, 0)

. Por lo tanto, la curva no es regular en

ℝ

4.3Dada la curva

r (t) = (t^{2}, t^{3}, | t - 1 |)

con

t \in ℝ

. Determine su derivada

r^{'} (t)

e indique si la curva es suave y/o regular.

Para

t \neq 1

r^{'} (t) = (2 t, 3 t^{2}, \frac{t - 1}{| t - 1 |})

.
La tercera componente,

z (t) = | t - 1 |

, no es derivable en

t = 1

, presentando un "pico" geométrico en ese punto. Por lo tanto, la curva no es suave en

ℝ

y, en consecuencia, tampoco es regular.

4.4Dada la curva

r (t) = (2 cos t, 2 sen t, 4 t)

con

t \in ℝ

. Determine su derivada

r^{'} (t)

e indique si la curva es suave y/o regular.

r^{'} (t) = (- 2 sen t, 2 cos t, 4)

.
Es una curva suave pues todas sus componentes trigonométricas y polinomiales son derivables en

ℝ

. Como la tercera componente es la constante

4 \neq 0

, se tiene que

r^{'} (t) \neq (0, 0, 0)

para todo

t

. Luego, es una curva regular.

4.5Dada la curva

r (t) = (1 - cos t, t - sen t, t^{3})

con

t \in ℝ

. Determine su derivada

r^{'} (t)

e indique si la curva es suave y/o regular.

r^{'} (t) = (sen t, 1 - cos t, 3 t^{2})

.
Las componentes son combinaciones de funciones derivables en todo

ℝ

, por lo que la curva es suave. Sin embargo, al evaluar en el origen,

r^{'} (0) = (0, 0, 0)

, así que la curva no es regular.

4.6Dada la curva

r (t) = (e^{t} cos t, e^{t} sen t, e^{t})

con

t \in ℝ

. Determine su derivada

r^{'} (t)

e indique si la curva es suave y/o regular.

r^{'} (t) = (e^{t} (cos t - sen t), e^{t} (sen t + cos t), e^{t})

.
La curva es suave pues sus componentes, formadas por el producto de exponenciales y trigonométricas, son derivables en todo

ℝ

. Puesto que la función exponencial

e^{t} > 0

nunca se anula,

r^{'} (t) \neq (0, 0, 0)

. Por tanto, la curva es suave y regular.

4.7Calcule la primera y segunda derivada de la curva vectorial

r (t) = (t^{4} - 2 t^{2}, e^{- 3 t}, ln (t^{2} + 1))

, para

t \in ℝ

.Verifique que

r^{'} (t) \cdot r^{″} (t) \neq 0

La primera derivada de la curva es:

r^{'} (t) = (4 t^{3} - 4 t, - 3 e^{- 3 t}, \frac{2 t}{t^{2} + 1})

.
Derivando cada componente nuevamente utilizando reglas básicas y la regla del cociente, obtenemos la segunda derivada:

r^{″} (t) = (12 t^{2} - 4, 9 e^{- 3 t}, \frac{2 (t^{2} + 1) - 2 t (2 t)}{{(t^{2} + 1)}^{2}}) = (12 t^{2} - 4, 9 e^{- 3 t}, \frac{2 - 2 t^{2}}{{(t^{2} + 1)}^{2}})

4.8Calcule la primera y segunda derivada de la curva vectorial

r (t) = (cos (2 t), sen (2 t), t^{3} + 5 t)

, para

t \in ℝ

Aplicando la regla de la cadena para las componentes trigonométricas, la primera derivada es:

r^{'} (t) = (- 2 sen (2 t), 2 cos (2 t), 3 t^{2} + 5)

.
Derivando nuevamente cada entrada, la segunda derivada resulta ser:

r^{″} (t) = (- 4 cos (2 t), - 4 sen (2 t), 6 t)

4.9 Dada la curva

r (t) = (2 cos t, 2 sen t, 4 t)

con

t \in ℝ

, descomponga el vector aceleración

r^{″} (t)

como la suma de una componente paralela y una componente perpendicular a la velocidad

r^{'} (t)

1.

Primero, calculamos los vectores de velocidad y aceleración:

r^{'} (t) = (- 2 sen t, 2 cos t, 4)

r^{″} (t) = (- 2 cos t, - 2 sen t, 0)

2.

Para hallar la componente paralela a

r^{'} (t)

, calculamos el producto punto entre ambos vectores:

r^{'} (t) \cdot r^{″} (t) = (- 2 sen t) (- 2 cos t) + (2 cos t) (- 2 sen t) + 4 (0) = 4 sen t cos t - 4 sen t cos t = 0

3.

Como el producto punto es cero, los vectores son ortogonales para todo

t

. Esto significa que la proyección ortogonal de

r^{″} (t)

sobre

r^{'} (t)

es nula.

4.

Por lo tanto, la descomposición es

r^{″} (t) = \underset{Comp. paralela}{\underset{⏟}{(0, 0, 0)}} + \underset{Comp. perpendicular}{\underset{⏟}{(- 2 cos t, - 2 sen t, 0)}}

4.10Dada la curva

r (t) = (t, t^{2}, t^{3})

con

t \in ℝ

. Descomponga el vector aceleración

r^{″} (t)

como la suma de una componente paralela y una componente perpendicular a la velocidad

r^{'} (t)

1.

Cálculo de derivadas:

r^{'} (t) = (1, 2 t, 3 t^{2})

r^{″} (t) = (0, 2, 6 t)

2.

Magnitud al cuadrado de la velocidad:

∥ r^{'} (t) ∥^{2} = 1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}

3.

Producto punto:

r^{″} (t) \cdot r^{'} (t) = 0 (1) + 2 (2 t) + 6 t (3 t^{2}) = 4 t + 18 t^{3}

4.

Componente paralela:

r_{∥} (t) = \frac{4 t + 18 t^{3}}{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}} (1, 2 t, 3 t^{2}) = (\frac{4 t + 18 t^{3}}{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}}, \frac{8 t^{2} + 36 t^{4}}{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}}, \frac{12 t^{3} + 54 t^{5}}{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}})

5.

Componente perpendicular:

r_{⊥} (t) = (0, 2, 6 t) - r_{∥} (t) = (\frac{- 4 t - 18 t^{3}}{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}}, \frac{2 - 18 t^{4}}{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}}, \frac{6 t + 12 t^{3}}{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}})

4.11Dada la curva

r (t) = (e^{t}, e^{- t}, t)

con

t \in ℝ

. Descomponga el vector aceleración

r^{″} (t)

como la suma de una componente paralela y una componente perpendicular a la velocidad

r^{'} (t)

1.

Cálculo de derivadas:

r^{'} (t) = (e^{t}, - e^{- t}, 1)

r^{″} (t) = (e^{t}, e^{- t}, 0)

2.

Magnitud al cuadrado de la velocidad:

∥ r^{'} (t) ∥^{2} = e^{2 t} + e^{- 2 t} + 1

3.

Producto punto:

r^{″} (t) \cdot r^{'} (t) = e^{2 t} - e^{- 2 t} + 0 = e^{2 t} - e^{- 2 t}

4.

Componente paralela:

r_{∥} (t) = \frac{e^{2 t} - e^{- 2 t}}{e^{2 t} + e^{- 2 t} + 1} (e^{t}, - e^{- t}, 1)

5.

Componente perpendicular:

r_{⊥} (t) = (e^{t}, e^{- t}, 0) - r_{∥} (t) = (\frac{2 e^{t} + e^{3 t}}{e^{2 t} + e^{- 2 t} + 1}, \frac{2 e^{- t} + e^{- 3 t}}{e^{2 t} + e^{- 2 t} + 1}, \frac{e^{- 2 t} - e^{2 t}}{e^{2 t} + e^{- 2 t} + 1})

3. Derivada de r(t)

3. Derivada de $r (t)$