Limites de funciones de varias variables.

1. Límites de funciones de varias variables.

Como en cálculo en una variable, algunos teoremas los podemos aplicar bajo ciertas hipótesis de continuidad de las derivadas. Esta sección solo es de interés para enunciar de manera correcta algunos teoremas sobre derivadas de gran relevancia.

Conjuntos abiertos. Un conjunto abierto $U \subseteq ℝ^{n}$ es un conjunto en el que cada uno de sus elementos tienen un entorno $V$ a su alrededor, contenido en $U,$ es decir, para cada $c \in U$ existe $δ > 0$ tal que el entorno $V_{δ} (c) = {u \in U : | | u - c | | < δ} \subseteq U .$ Por ejemplo, los intervalos abiertos en $ℝ$ o los círculos sin frontera en $ℝ^{2}$ y las esferas sin frontera en $ℝ^{3},$ son conjuntos abiertos. Estos entornos $V$ son necesarios para poder calcular límites en cualquier punto de $U .$

Figura 4.1: Entornos abiertos alrededor de

c

y de radio

δ

, en

ℝ,

ℝ^{2}

ℝ^{3}

(con la distancia euclidiana)

En una variable, $lim_{x \to x_{0}} f (x) = L$ si y solo si para cualquier $𝜖 > 0,$ existe un $δ_{𝜖} > 0$ tal que

0 < | x - x_{0} | < δ_{𝜖} ⟹ | f (x) - L | < 𝜖 .

La definición de un límite en varias variables es esencialmente la misma. Claro, en

ℝ

la única manera de acercarse a

x_{0}

es sobre una recta (el eje

X

). En

ℝ^{2}

se pueden tomar muchos caminos para acercarse a un punto

(x_{0}, y_{0})

e igualmente en más dimensiones. Esto hace que los límites en varias variables sean de más cuidado.

Definición 7 ((Límite en varias variables).).

Sean $f : ℝ^{n} \to ℝ$ y $x, a \in ℝ^{n} .$ Decimos que $lim_{x \to a} f (x) = L$ si y solo si para cualquier $𝜖 > 0,$ existe un $δ_{𝜖} > 0$ tal que

0 < | | x - a | | < δ_{𝜖} ⟹ | f (x) - L | < 𝜖 .

Ejemplo65(Límites por definición).

Verifique, usando la definición de límite, que $lim_{(x, y) \to (0, 0)} 2 x^{2} y^{2} = 0 .$

Solución. Dado $𝜖 > 0,$ podemos tomar $δ_{𝜖} = \sqrt{𝜖},$ entonces,

\begin{array}{rcl} 0 < | | (x, y) - (0, 0) | | < δ_{𝜖} & ⟹ & \sqrt{x^{2} + y^{2}} < \sqrt{𝜖} \\ ⟹ & x^{2} + y^{2} < 𝜖 \\ ⟹ & 2 x^{2} y^{2} \leq x^{2} + y^{2} < 𝜖 pues {(x - y)}^{2} = x^{2} + y^{2} - 2 x^{2} y^{2} \geq 0 \\ ⟹ & | 2 x^{2} y^{2} - 0 | < 𝜖 \end{array}