Longitud de arco.

5. Longitud de arco.

Recordemos que una trayectoria $C$ en $ℝ^{n}$ es una función continua $r : [a, b] \to ℝ^{n} .$ Si la función vectorial $r$ es continua en $[a, b],$ entonces a la representación gráfica de $r$ se le llama curva y decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por $r (t) .$ Escribimos

C : r (t) con t \in [a, b]

Curva cerrada simple.

1: Si $r (a) = r (b),$ la curva se dice cerrada.
2: Si $r$ es inyectiva en $[a, b],$ la curva se dice simple.
3: Si $r$ es cerrada y e inyectiva en $] a, b],$ la curva se dice cerrada simple.

Fig. 3.30: Curvas

Curvas regulares. Decimos que la curva

C

es regular o ’suave’ en

[a, b]

r^{'} (t)

es continua en

[a, b]

r^{'} (t) \neq 0

para todo

t \in [a, b]

(es decir las componentes de

r

no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva

C

es regular a trozos en

[a, b]

si es regular en cada subintervalo de alguna partición finita de

[a, b] .

Longitud de la curva. Consideremos una curva $C$ regular y simple, parametrizada por $r$ en $[a, b] .$ Para calcular la longitud de $C$ la idea es partir el intervalo $[a, b]$ en $n$ partes $[a, t_{1}] \cup [t_{1}, t_{2}] \cup . . . \cup [t_{n - 1}, b]$ y considerar una línea poligonal inscrita en $C$

La longitud de la curva (“rectificable”) se define como el límite al cual tiende la suma de las longitudes de los segmentos de la línea poligonal cuando

| | P | | = Máx (t_{i - 1} - t_{i}) \to 0

n \to \infty,

es decir

s = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} | | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | |

Si $C$ es regular, por el teorema del valor medio podemos poner $| | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | | = | | r^{'} (ξ_{i}) (t_{i} - t_{i - 1}) | |$ con $ξ_{i} \in] t_{i}, t_{i - 1} [$ y concluir

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} | | r^{'} (ξ_{i}) △ t | | = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt

Definición 7 — Longitud de una curva.

Sea $C$ regular, simple y parametrizada por $r (t), t \in [a, b] .$ Si $ds = | | r^{'} (t) | | dt,$ entonces la longitud (de arco) de $C$ es

s = \int_{C} 1 \cdot ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt

(3.1)

Además, la longitud de arco no depende de la parametrización de $C$ (ni, por tanto, de la orientación).

1.: Una curva $C$ es rectificable si tiene longitud finita bien definida, es decir si la integral 3.1 existe. Si $C$ es regular y simple significa que no hay "cúspides" ni paradas y que, al no intersecarse, solo medimos el recorrido una sola vez.
2.: Aunque $r$ sea continua, eso no garantiza que sea rectificable (la integral 3.1 podría ser divergente).
3.: La integral $s = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt$ generalmente es una "integral elíptica". Estas integrales no se pueden calcular con una primitiva elemental. Así que aproximamos numéricamente. Si hay casos simples: línea recta, círcunferencia, hélice circular, catenaria, cicloide.

Longitud de una curva

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Sea

C

parametrizada por

r (t)

con

t \in [a, b] .

I Caso. Si

C : r (t) = x (t) i + y (t) j

Si $r (t) = x (t) i + y (t) j$ con $t \in [a, b]$ entonces

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} dt

II Caso: Si

C : y = f (x)

Si $y = f (x)$ entonces tomando $x = t$ tenemos

s = \int_{C} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} dx

III Caso: Si

C : r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

Si $r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k$ con $t \in [a, b]$ entonces

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z^{'} (t))}^{2}} dt

Ejemplo65

Calcular la longitud de la circunferencia de un círculo de radio $a$ usando las parametrizaciones

1: $r_{1} (t) = cos (t) i + sen (t) j, t \in [0, 2 π [$
2: $r_{2} (t) = a cos (2 t) i + a sen (2 t) j, [0, π [$
3: $r_{3} (t) = t i + \sqrt{a - t^{2}} j, P = r_{3} (1 ∕ \sqrt{2}), [- 1, 1 [$

Solución. La longitud de la curva no depende de la parametrización ni de la orientación. Eso es lo que vamos a encontrar.

1

C : r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{a cos (t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{a sen (t)}} j con t \in [0, 2 π [.

r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{- a sen (t)}} + i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{a cos (t)}} j

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{(a sen t)}^{2} + {(a cos t)}^{2}} dt = \int_{0}^{2 π} a dt = 2 aπ

2

C : r_{2} (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{a cos (2 t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{a sen (2 t)}} j con t \in [0, π [.

r_{2}^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{- 2 a sen (2 t)}} i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{2 a cos (2 t)}} j

s = \int_{0}^{π} ∥ r_{2}^{'} (t) ∥ dt = \int_{0}^{π} \sqrt{{(- 2 a sen 2 t)}^{2} + {(2 a cos 2 t)}^{2}} dt = \int_{0}^{π} 2 a dt = 2 aπ .

3

En este caso la parametrización solo recorre media circunferencia (la parte superior). Como la parte inferior mide lo mismo,

s = 2 \int_{- 1}^{1} | | r_{3}^{'} (t) | | dt

$C : r_{3} (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{t}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{\sqrt{a^{2} - t^{2}}}} j con t \in [- a, a [.$

r_{3}^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{1}} i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{\frac{- t}{\sqrt{a^{2} - t^{2}}}}} j

∥ r_{3}^{'} (t) ∥ = \sqrt{1^{2} + {(\frac{- t}{\sqrt{a^{2} - t^{2}}})}^{2}} = \sqrt{1 + \frac{t^{2}}{a^{2} - t^{2}}} = \sqrt{\frac{a^{2}}{a^{2} - t^{2}}} = \frac{a}{\sqrt{a^{2} - t^{2}}} .

s = 2 \int_{- a}^{a} \frac{a}{\sqrt{a^{2} - t^{2}}} dt = a {[arcsen (\frac{t}{a})]}_{- a}^{a} = a (\frac{π}{2} - (- \frac{π}{2})) = 2 aπ .

Ejemplo66

Calcular la longitud de la hélice $x (t) = 2 cos (t), y (t) = 2 sen (t), z (t) = t ∕ 4$ con $t \in [0, 2 π] .$

Solución.

$r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{2 cos (t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{2 sen (t)}} j + \underset{z (t)}{\underset{⏟}{t ∕ 4}} k$ con $t \in [0, 2 π] .$

$r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{- 2 sen (t)}} i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{2 cos (t)}} j + \underset{z^{'} (t)}{\underset{⏟}{1 ∕ 4}} k$

\begin{array}{rcl} \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt & = & \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 {sen}^{2} (t) + 4 {cos}^{2} (t) + \frac{1}{16}} dt \\ = & \int_{0}^{2 π} \sqrt{\frac{65}{16}} dt = 2 π \sqrt{\frac{65}{16}} . \end{array}

6.1Calcular la longitud de la curva

C : y = \sqrt{x^{3}}, x \in [0, 44]

s = \int_{0}^{44} \sqrt{1 + 9 ∕ 4 t} dt = 296

6.2Calcular la longitud de la curva

C : x = \frac{2}{3} {(y - 1)}^{3 ∕ 2}, y \in [1, 4]

s = 2 \int_{1}^{4} \sqrt{t} dt = 14 ∕ 3

6.3Calcular la longitud de la curva

C : y^{2} = {(2 x - 1)}^{3}, x \in [1 ∕ 2, 4]

(Ayuda: La curva tiene dos ramas).

s = 2 \int_{1 ∕ 2}^{4} \sqrt{1 + 9 (2 t - 1)} dt = 1022 ∕ 27

6.4Calcular la longitud de la curva

C : y = log (sec x), x \in [0, π ∕ 4]

Recuerde que

\int sec xdx = ln | sec x + tan x | .

s = \int_{0}^{π ∕ 4} sec t dt = ln (\sqrt{2} + 1)

6.5Calcular la longitud de la curva

C : y = \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2 x}, x \in [1, 2]

6.6Plantear la o las integrales que dan la longitud de las siguientes curvas (Figuras 3.31, 3.32)

Fig. 3.31:

Fig. 3.32:

Se omite

Parametrizar respecto a la longitud de arco.

Una parametrización respecto a al longitud de arco solo depende de la geometría del trazo de la curva, no de cómo fue parametrizada (orientación, velocidad, etc.)

Sea

C

parametrizada por

r

regular (la derivada continua y no se anula) y sea

P = r (t_{0})

, entonces definimos una función que mide la longitud de

C

desde

P

s (t) = \int_{t_{0}}^{t} | | r^{'} (u) | | d u

t < t_{0}

la integral es negativa.

Ahora

\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} \int_{t_{0}}^{t} | | r^{'} (u) | | d u = | | r^{'} (t) | | > 0

(3.2)

Fig. 3.33: Longitud de arco

Como

\frac{ds}{dt} > 0

, entonces

s = s (t)

es una función creciente, inyectiva y por tanto invertible, es decir, teóricamente

t

se puede poner en términos de

s

. Es difícil hacer esto empezando porque la integral generalmente no se puede calcular en términos de funciones elementales.

Ejemplo67Parametrizar respecto a

s

1

Para la hélice parametrizada por

r (t) = (a cos (t), a sen (t), bt)

, sea

t_{0} = 0

. Entonces

s (t) = \int_{0}^{t} | | r^{'} (u) | | d u = \int_{0}^{1} \sqrt{a^{2} + b^{2}} d u = t \sqrt{a^{2} + b^{2}}

Entonces

s = t \sqrt{a^{2} + b^{2}} ⟹ t = \frac{s}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}} (reescaló la variable t)

2

Para la

C

parametrizada por

r (t) = (t, t^{2}, t^{3})

, sea

t_{0} = 0

. Entonces

s (t) = \int_{0}^{t} | | r^{'} (u) | | d u = \int_{0}^{t} \sqrt{1 + 4 t^{2} + 9 t^{4}} d u

En este caso, no podemos saber quién es $s (t)$ , porque la integral es de las que o podemos calcular en términos de funciones elementales.

El punto es que podemos parametrizar la curva

C

usando la longitud de arco

s

como parámetro y este es un parámetro intrínseco, es decir, no depende de la velocidad con la que la curva es trazada por una parametrización.

Si $t = t (s)$ , $r^{'} (t) = r^{'} (s) \frac{ds}{dt}$ y por 3.2 se tiene

r^{'} (t) = r^{'} (s) \frac{ds}{dt}

r^{'} (s) = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |}, es decir, una normalización de la velocidad original