Derivada Direccional

3. Derivada Direccional

La derivada de una función de una variable mide la tasa (instántanea) de cambio de la variable dependiente respecto a la variable independiente. La derivada de la función

y = f (x)

x

es,

f^{'} (x) = lim_{Δ x \to 0} \frac{Δ y}{Δ x} = lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

siempre y cuando este límite exista. Geométricamente, la derivada de $f$ en $x$ es la pendiente de la recta tangente a $f$ en el punto $(x, f (x))$

Si $f : ℝ^{2} \to ℝ,$ la derivada de $f$ en $x_{0} = (x_{0}, y_{0}) \in ℝ^{2},$ en la dirección de un vector unitario $v = (v_{1}, v_{2}) \in R^{2},$ mide la tasa (instántanea) de cambio de $f$ a través de la recta $L (h) = x + h v$ cuando $h = 0 .$ El cambio en $x,$ en la recta $L,$ es $| | x_{0} - x_{0} - h v | | = | | h v | | = h$ (pues $v$ es unitario). De nuevo, esta derivada en la dirección de $v$ se obtiene como un límite,

lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h v) - f (x_{0})}{h} = lim_{h \to 0} \frac{f (x_{0} + h v_{1}, y_{0} + h v_{2}) - f (x_{0}, y_{0})}{h} .

Observe que este límite es un límite de una función de una variable $h,$ es decir, este límite es el tipo de límites que calculamos en cálculo en una variable.

Sea $S$ la superficie de ecuación $z = f (x, y)$ y $P = (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0})) \in S .$ Sea $C$ la curva de intersección de la superificie $S$ con el plano generado por la recta $L$ (tal y como se muestra en la figura ). Geométricamente, la derivada (direccional) de $f$ en $P$ (en la dirección de $v$ ) es la pendiente de la recta tangente a la curva $C$ en $P .$

Figura 4.2: Derivada direccional en

x

la dirección de

v

De particular interés son la derivada en la dirección del eje $X,$ denotada $\frac{∂f}{∂x},$ y la derivada en la dirección del eje $Y,$ denotada $\frac{∂f}{∂y};$ llamadas derivadas parciales respecto a $x$ e $y$ respectivamente.

Figura 4.3: Derivada parcial en

x

en la dirección de

X

Figura 4.4: Derivada parcial en

x

en la dirección de

Y