1. Superficies parametrizadas.

Recordemos que un conjunto D ⊂ ℝ2 es conexo si no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos. Intuitivamente, un conjunto conexo es un conjunto de una sola pieza.

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Figura 7.1: Conjunto conexo
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Figura 7.2: Conjunto no conexo

Superficie parametrizada. Si D ⊂ ℝ2 es abierto y conexo. Una parametrización continua r : D ⊂ ℝ2 → ℝ3, inyectiva sobre D (excepto talvez en la frontera de D) se le llama "parametrización de la superfice" S = r(D). Escribimos

S : r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k,(u,v) ∈D.

Curvas en S. Los conjuntos r(u0,v) y r(u,v0) (con u0 y v0 fijos) son curvas de la superficie S.

Vectores tangentes y un vector normal Sea S : r(u,v) = x(u,v)i + y(u,v)j + z(u,v)k con (u,v) ∈D. r es de clase C1 si x(u,v),y(u,v) y z(u,v) son de

clase C1 (funciones continuamente diferenciables). Si P = (u0,v0,z(u0,v0)) ∈S, los vectores

∂r ∂u|P = (∂x ∂u,∂y ∂u,∂z ∂u)|P y  ∂r ∂v|P = (∂x ∂v,∂y ∂v,∂z ∂v)|P

son vectores tangentes a las curvas r(u0,v) y r(u,v0) y decimos que estos vectores son tangentes a S en P. El vector N = ( ∂r ∂u ×∂r ∂v)|P es normal a S en P.

Definición 19 (Superficie suave o regular.).

Sea D abierto y sea S una superficie parametrizada por r : D ⊂ ℝ2→ℝ3 de clase C1. Decimos que S es una superficie suave o regular en (u,v) si ∂r ∂u ×∂r ∂v≠0. Si S se puede partir en un número finito de elementos regulares se dice regular a trozos.

Caso S : z = f(x,y) Una superficie suave S : z = f(x,y),(x,y) ∈D se puede parametrizar como r(x,y) = xi + yj + f(x,y)k,(x,y) ∈D

En este caso, ∂r ∂x = (1,0,zx) y ∂r ∂y = (0,1,zy) son vectores tangentes en cada punto (x,y).

Un vector normal a la superficie S en P es

N = ∂r ∂x ×∂r ∂y = (−zx, − zy,1)≠0.

Llamamos al vector N = ∂r ∂x ×∂r ∂y el vector normal estándar asociado a r.

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Ejemplo174

Considere la superficie S : x2 + y2 ≤ 1,z = 0. Claramente S es el círculo de radio 1 en el plano XY, centrado en el origen.

Para describir a S podemos escribir S : z = 0 en el dominio D = {x2 + y2 ≤ 1}. Pero más conveniente es parametrizar S como r(x,y) = xi + yj + 0 ⋅k,(x,y) ∈D.

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Ejemplo175
Sea S la porción del paraboloide z = x2 + y2 entre z = 0 y z = 1. Entonces S se puede parametrizar como, S : r(x,y) = xi + yj + (x2 + y2)k,(x,y) ∈D = {(x,y) : x2 + y2 ≤ 1}.


También, z = x2 + y2 se podría ver como circunferencias de radio z, entonces

S : r(𝜃,z) = zcos ⁡ ti + zsin ⁡ tj + zk,𝜃 ∈[0,2π[ y z ∈[0,1].

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Ejemplo176
Sea S1 : x2 + y2 = a2,0 ≤ z ≤ h. S es el cilindro de la figura. Esta superficie se puede parametrizar como r(𝜃,z) = acos ⁡ 𝜃i + asen ⁡ 𝜃j + zk, con (𝜃,z) ∈D = [0,2π[×[0,h].

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