Coordenadas Polares.

10. Coordenadas Polares.

Antes de continuar esta sección, se puede hacer un repaso de coordenadas polares en el ápendice "Introducción a las coordenadas polares"

Hay regiones de integración con curvas frontera fáciles de describir en coordenadas polares entonces en estos casos usamos este cambio de variable.

Recordemos que un punto $P = (x, y) \in ℝ^{2}$ se puede especificar en coordenadas polares $(r, 𝜃)$ donde $r$ es la distancia del origen a $P$ y $𝜃$ es el ángulo medido desde el eje $X$ contrareloj. La conversión de coordenadas polares a coordenadas cartesianas se hace con la transformación

(10.)

{\begin{matrix} x & = & r cos (𝜃) \\ y & = & r sen (𝜃) \end{matrix}

Fig. 6.53:

P = (r cos 𝜃, r sen 𝜃)

Para efectos de cambio de variable, esta transformación es invertible si

r > 0

y si

𝜃 \in [𝜃_{0}, 𝜃_{0} + 2 π [.

Podemos definir la inversa desde

ℝ^{+} \times [0, 2 π [

ℝ^{2} - {(0, 0)}

con

r = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

𝜃

el único ángulo

𝜃 \in [0, 2 π [

que satisface el cambio de variable 10., es decir

𝜃 = arctan (y ∕ x)

x > 0

𝜃 = arctan (y ∕ x) + π

x < 0

pues

arctan (𝜃)

está definida en

] - π ∕ 2, π ∕ 2 [

Si $r = 0,$ el cambio de variable aplica todo el eje $𝜃$ en el origen $(0, 0) .$ Para efectos de integración Riemann, este un conjunto de medida cero así que en general no tendremos problemas.

Fig. 6.54: Cambio de variable

(x, y) = (r cos 𝜃, r sen 𝜃)

Para el cambio de variable

T (r, 𝜃) = (r cos (𝜃), r sen (𝜃))

el jacobiano es

J (r, 𝜃) = Det [\begin{matrix} \frac{∂x}{∂r} & \frac{∂x}{∂𝜃} \\ \frac{∂y}{∂r} & \frac{∂y}{∂𝜃} \end{matrix}] = r

Fig. 6.55: Transformación

(r cos 𝜃, r sen 𝜃)

Como ya indicamos, este cambio de variable es invertible si

r > 0

y si

𝜃 \in [𝜃_{0}, 𝜃_{0} + 2 π [

(a veces es cómodo tomar ángulos negativos).

Cambio de variable con coordenadas polares. Si en

R

R^{'}

se cumplen las condiciones del teorema de cambio de variable (excepto que el jacobiano es nulo pero solo en un conjunto de medida cero), entonces

\iint_{R} f (x, y) dA = \iint_{R^{'}} f (r cos (𝜃), r sen (𝜃)) r d r d𝜃

1: En el caso de coordenadas polares, la nueva región $R_{r𝜃}$ se puede describir en el mismo sistema $XY$

2

Si una región

R

se puede describir como una región en coordenadas polares tal que

0 < φ_{0} (𝜃) \leq r \leq φ_{1} (𝜃) si 𝜃_{0} \leq 𝜃 \leq 𝜃_{1} donde 𝜃_{1} - 𝜃_{0} \leq 2 π

entonces

Fig. 6.56: Región

R_{r𝜃}

\iint_{R} f (x, y) dA = \int_{𝜃_{0}}^{𝜃_{1}} \int_{φ_{0} (𝜃)}^{φ_{1} (𝜃)} f (r cos (𝜃), r sen (𝜃)) r d r d 𝜃

3

Si una región

R_{r𝜃}

se puede describir como una región en coordenadas polares tal que

0 \leq r \leq φ_{1} (𝜃) si 𝜃_{0} \leq 𝜃 \leq 𝜃_{1}

entonces

Fig. 6.57:

R_{r𝜃}

con el origen

\iint_{R} f (x, y) dA = \int_{𝜃_{0}}^{𝜃_{1}} \int_{0}^{φ_{1} (𝜃)} f (r cos (𝜃), r sen (𝜃)) r d r d 𝜃

Las fórmulas anteriores requieren conocer de manera correcta el intervalo de integración. En algunas curvas en coordenadas polares se requiere ser especialmente cuidadoso con este detalle, sobre todo las curvas que tienen lazos. Si una región está entre dos curvas, hay que tener el cuidado de que las dos curvas "barran" la región en el mismo intervalo para el ángulo

𝜃 .

Ejemplo160Cambio Variable: Coordenadas polares

Calcule, usando coordenadas polares, el área de la región

R

tal y como se muestra en la Figura 6.58.

Fig. 6.58: Región

R

Solución.

1

Cambio de variable. La ecuación de la curva es

x^{2} + y^{2} + 2 x = \sqrt{x^{2} + y^{2}}

. Como

r^{2} = x^{2} + y^{2},

haciendo la conversión a coordenadas polares obtenemos la ecuación

r^{2} + 2 r cos 𝜃 = r es decir, r = 1 - 2 cos 𝜃

2

Tangentes al polo. Resolvemos

r = 0 ⟹ 1 - 2 cos 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = \pm π ∕ 3

[0, 2 π] .

Así, la región está entre los rayos

𝜃 = π ∕ 3

𝜃 = π .

3

Cálculo.

\begin{matrix} A_{R} & = & \iint_{R} 1 \cdot r drd𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 3}^{π} \int_{0}^{1 - 2 cos 𝜃} 1 \cdot r drd𝜃 \\ = & \frac{1}{4} (2 π - 3 \sqrt{3}) \end{matrix}

Ejemplo161Cambio Variable: Coordenadas polares

Calcular el área de la región

R

limitada por la curva de ecuación

{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x^{2} + y^{2} = 0, x \geq 0

(Figura 6.59)

Fig. 6.59: Región

R

Solución.

1

Cambio de variable.

x = r cos 𝜃

y = r sen 𝜃

y sustituyendo en

{(x^{2} + y^{2})}^{2} - x^{2} + y^{2} = 0,

obtenemos

{(r^{2} {cos (𝜃)}^{2} + r^{2} {sin (𝜃)}^{2})}^{2} - r^{2} {cos (𝜃)}^{2} + r^{2} {sen (𝜃)}^{2} = 0

Simplificando queda $r^{2} = cos (2 𝜃),$ que es la ecuación de la lemniscata. Entonces, como $x \geq 0$ , podemos tomar

r = \sqrt{cos (2 𝜃)}

2

Tangentes al Polo:

$r = 0 ⟹ \sqrt{cos (2 𝜃)} = 0 ⟹ 𝜃 = \pm \frac{π}{4} .$

De la figura, podemos ver que estos rayos corresponden a los límites integración.

3

Cálculo del área. El área de la región es

$\begin{matrix} A_{R} & = & \int_{- π ∕ 4}^{π ∕ 4} \int_{0}^{\sqrt{cos (2 𝜃)}} r d r d𝜃 \\ = & 1 ∕ 2 \int_{- π ∕ 4}^{π ∕ 4} cos (2 𝜃) d𝜃 = 1 ∕ 2 \end{matrix}$

Fig. 6.60: Región

R

Ejemplo162Cambio Variable: Coordenadas polares

Considere la región

R

que se muestra en la Figura 162. Plantear, usando corrdenadas polares,

I = \iint_{R} \sqrt{x^{2} + y^{2}} dA .

Solución.

1

Límites de integración. La región está entre las curvas

r = 2

r = 4 sen 2 𝜃 .

Como $r = 0 ⟹ r = sen 2 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = 0 y 𝜃 = \frac{π}{2} .$

El dominio de la curva $r = 4 sen 2 𝜃$ es $[0, π ∕ 2 .]$

Para obtener los límites de integración, buscamos la intersección entre las curvas: $r = 2 \cap r = 4 sen 2 𝜃,$ es decir,

2 = 4 sen 2 𝜃 ⟹ 𝜃 = \frac{π}{12} y 𝜃 = \frac{5 π}{12} .

2

Cálculo d ela integral.

$I = \iint_{R} r \cdot r d A drd𝜃 = \int_{π ∕ 12}^{5 π ∕ 12} \int_{2}^{4 sen 2 𝜃} r^{2} drd𝜃$

Ejemplo163

Calcule

I = \iint_{R} xy dA

R

es la región limitada por las curvas

r = 1 - 2 cos 𝜃

r = 2 sen 𝜃

(Figura 6.61)

Fig. 6.61: Región

R

Solución.

Ambas curvas "barren" la región

R

en el mismo intervalo!. La región de integración llega hasta la intersección de las curvas en

𝜃 = 𝜃_{1} .

1

Tangentes al polo.

${\begin{matrix} 1 - 2 cos 𝜃 = 0 & ⟹ & 𝜃 = \frac{π}{3} \\ 2 sen 𝜃 = 0 & ⟹ & 𝜃 = 0 \end{matrix}$

Cálculo de

𝜃_{1}

$\begin{matrix} 1 - 2 cos 𝜃 & = & 2 sen (𝜃), \\ elevamos al cuadrado, \\ - 3 - 4 cos 𝜃 + 8 {cos}^{2} 𝜃 & = & 0, \\ hacemos sustitución y resolvemos, \\ cos 𝜃 & = & \frac{4 \pm \sqrt{112}}{16} \end{matrix}$

Nos sirve $𝜃_{1} = arccos (\frac{4 - \sqrt{112}}{16}) \approx 1.994$ (pues el ángulo está en el II cuadrante)

2

Cálculo de la integral.

\begin{matrix} I & = & \iint_{R} xy d A \\ = & \int_{0}^{π ∕ 3} \int_{0}^{2 sen (𝜃)} [r cos (𝜃) r sen (𝜃)] \cdot r dr d𝜃 + \int_{π ∕ 3}^{𝜃_{1}} \int_{1 - 2 cos (𝜃)}^{2 sen (𝜃)} r^{3} cos (𝜃) sen (𝜃) dr d𝜃 \end{matrix}

Ejemplo164Cambio Variable: Coordenadas polares

Calcule, usando coordenadas polares, el área de la región

R

tal y como se muestra en la Figura 6.62.

Fig. 6.62: Región

R

Solución.

Hay varias regiones: $R = R_{1} + R_{2} + R_{3} + R_{4}$

1

Tangentes al polo.

(a): $4 (sen 𝜃 - cos 𝜃) = 0 ⟹ tan 𝜃 = 1 ⟹ 𝜃 = \frac{π}{4}$
(b): $2 + 2 sen 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = \frac{3 π}{2}$

2

Cálculo de área.

$\begin{matrix} A_{R} & = & A_{R_{1}} + A_{R_{2}} + A_{R_{3}} + A_{R_{4}} \\ = & \iint_{R_{1}} 1 d A + \iint_{R_{2}} 1 \cdot dA + \iint_{R_{3}} 1 \cdot dA + \iint_{R_{4}} 1 \cdot dA \\ = & \int_{0}^{π ∕ 4} \int_{0}^{2 + 2 sen 𝜃} 1 \cdot r drd𝜃 + \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{4 (sen 𝜃 - cos 𝜃)}^{2 + 2 sen 𝜃} 1 \cdot r drd𝜃 \\ + \int_{π ∕ 2}^{π} \int_{2 + 2 sen 𝜃}^{4 (sen 𝜃 - cos 𝜃)} 1 \cdot r drd𝜃 + \int_{3 π ∕ 2}^{2 π} \int_{0}^{2 + 2 sen 𝜃} 1 \cdot r drd𝜃 \end{matrix}$

Si no somos "ortodoxos"en el barrido contrareloj, podemos hacer alguna modificación.

Ejemplo165Cálculo de área de un círculo

Calcular el área $A_{c}$ del círculo de radio $a .$

Solución.

1

Región de integración. Para este cálculo podemos usar un círculo de radio

a,

centrado en el origen.

La circunferencia del círculo tiene ecuación cartesiana

x^{2} + y^{2} = a^{2} .

Para obtener la ecuación en polares, sustituimos

x = r cos 𝜃

y = r sen 𝜃

y despejamos

r :

$\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = a^{2} & ⟹ & {(r cos 𝜃)}^{2} + {(r sen 𝜃)}^{2} = a^{2} \\ ⟹ & r^{2} = a^{2} . \end{matrix}$

Así, en coordenadas polares, la región de integración va desde

r = 0

hasta

r = a

0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

Fig. 6.63: Círculo de radio

a .

2

Cálculo de área.

\begin{matrix} A_{c} & = & \iint_{R} 1 \cdot dA = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{a} r d r d 𝜃 = \int_{0}^{2 π} {\frac{r^{2}}{2} |}_{0}^{a} d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \frac{a^{2}}{2} d𝜃 = {\frac{a^{2}}{2} 𝜃 |}_{0}^{2 π} = π a^{2} \end{matrix}

11.1

Utilice integrales dobles en coordenadas polares para calcular el área de la región

R

que se muestra en la Figura 6.64

Fig. 6.64:

• Intersección:

$\begin{matrix} sen 𝜃 - cos 𝜃 = 2 sen 𝜃 & ⟹ & \frac{sen 𝜃}{cos 𝜃} = - 1 \end{matrix}$

• Tangentes al polo de interés:

$sen 𝜃 - cos 𝜃 = 0 ⟹ tan 𝜃 = 1 ⟹ 𝜃 = \frac{π}{4}$

$2 sen 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = 0$

A_{R} = \int_{0}^{\frac{π}{4}} \int_{0}^{2 sin (t)} r drdt + \int_{\frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \int_{sin (t) - cos (t)}^{2 sin (t)} r drdt \approx 2.0708

11.2

Considere la región

R

de la figura. Calcular el área

A_{R}

de la región

R,

(Figura 6.65), usando coordenadas polares.

Fig. 6.65:

Solución. Debemos hacer el cambio de variable

x = r cos (𝜃)

y = r sen (𝜃) .

Observe que

1.: La recta $y = \frac{1}{\sqrt{2}}$ se transforma en $r sen 𝜃 = \frac{1}{\sqrt{2}} ⟹ r = \frac{1}{\sqrt{2} sen (𝜃)} .$
2.: La circunferencia $x^{2} + y^{2} = 1$ se transforma en $r = 1 .$
3.: La recta $y = x$ se transforma en $𝜃 = π ∕ 4 .$ En efecto, $y = x ⟹ cos 𝜃 = sen (𝜃) ⟹ 𝜃 = π ∕ 4 .$ Esto, por supuesto, también lo podemos establecer de manera geométrica.

\begin{matrix} A_{R} & = & \iint_{R} 1 \cdot dA = \int_{π ∕ 4}^{3 π ∕ 4} \int_{1 ∕ (\sqrt{2} sen (𝜃))}^{1} r d r d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 4}^{3 π ∕ 4} {\frac{r^{2}}{2} |}_{\frac{1}{\sqrt{2} sen (𝜃)}}^{1} d𝜃 = \int_{π ∕ 4}^{3 π ∕ 4} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} \frac{1}{{sen}^{2} (𝜃)} d𝜃 = \int_{π ∕ 4}^{3 π ∕ 4} \frac{1}{2} - \frac{1}{4} {csc}^{2} (𝜃) d𝜃 = {\frac{𝜃}{2} + \frac{1}{4} cot (𝜃) |}_{π ∕ 4}^{3 π ∕ 4} = \frac{π - 2}{4} \end{matrix}

11.3

Considere la región

R

de la Figura 6.66. Calcular el área de la región limitada por el lazo de la curva

r = 1 ∕ 2 + cos 𝜃 .

Ayuda: Notar que el lazo interno va de

𝜃 = 2 π ∕ 3

𝜃 = 4 π ∕ 3 .

Fig. 6.66:

Se omite

11.4

Verifique, usando coordenadas polares, que el área de la región

R

(región sombreada mostrada en la Figura 6.67) es

\frac{11 \sqrt{3}}{2} + \frac{14 π}{3} \approx 24.187 .

Fig. 6.67:

Los límites de integración son

𝜃 = - π ∕ 6

𝜃 = 7 π ∕ 6 .

Ahora calcule la integral que da el área.

11.5

Calcule, usando coordenadas polares, el área de la región

R

tal y como se muestra en la Figura 6.68.

Fig. 6.68:

La ecuación de la curva es

r = 4 + 4 sen 3 𝜃 .

Tangentes al polo: $4 + 4 sen 3 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = - \frac{π}{6} + 2 k \frac{π}{3} .$

Observando la figura tenemos que los límites de integración adecuados son $𝜃 = - \frac{π}{6}$ y $𝜃 = \frac{π}{2} .$

A_{R} = \iint_{R} 1 \cdot r drd𝜃 = \int_{- π ∕ 6}^{π ∕ 2} \int_{0}^{4 + 4 sen 𝜃} 1 \cdot r drd𝜃 = 8 π

Fig. 6.69:

11.6Calcular el área de las regiones sombreadas.

Fig. 6.70:

Fig. 6.71:

Fig. 6.72:

Fig. 6.73:

Solución.

a.)

1.

Tangentes al polo:

$2 + 2 sen 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = - \frac{π}{2}$

$4 cos 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = \frac{π}{2}$

2.

Intersección

$2 + 2 sen 𝜃 = 4 cos 𝜃 ⟹ - 12 + 8 sen 𝜃 + 20 {sen}^{2} 𝜃 = 0 ⟹ 𝜃 = arcsen (3 ∕ 5) \approx 0.6435$

3.

Área:

A_{R} = \int_{- \frac{π}{2}}^{arcsen (\frac{3}{5})} \int_{0}^{2 + 2 sen (𝜃)} rdrd𝜃 + \int_{arcsen (\frac{3}{5})}^{\frac{π}{2}} \int_{0}^{4 cos (𝜃)} rdrd𝜃 = - \frac{28}{5} + \frac{7 π}{2} - arcsen (\frac{3}{5})

b.) Se omite.

c.) Se omite.

d.) $r = 0 ⟹ 2 + 2 sen (3 𝜃) = 0 𝜃_{1} = \frac{7 π}{6}$ y $𝜃_{2} = \frac{11 π}{6} .$

\int_{\frac{7 π}{6}}^{\frac{11 π}{6}} \int_{0}^{2 sin (3 𝜃) + 2} 1 rdrd𝜃 = 2 π

El intervalo $[- 7 π ∕ 6, - π ∕ 6]$ no es correcto, agrega un trozo adicional de curva y el resultado daría, en valor absoluto, $3 π .$

Hacer clic en Wolfram Alpha para graficar PolarPlot[2 + 2 Sin[3t], t, -7 Pi/6, -Pi/6] y observar que esta escogencia de límites de integración es incorrecta

11.7

Verifique, usando coordenadas polares, que el área de la región

R

(Figura 6.74) es

\frac{π}{2} - \frac{1}{2}

Fig. 6.74:

Note que la curva celeste tiene ecuación

r = sen t + cos t

con

t \in [- π ∕ 4, 3 π ∕ 4] .

La región sombreada requiere diferentes intervalos para cada curva. Mejor es calcular el área del círculo con circunferencia celeste y restar el área de la región que va de la circunferencia azul a la circunferencia celeste, esa regón si está entre

0

π ∕ 2

para ambas curvas.

$A_{R} = \int_{- \frac{π}{4}}^{\frac{3 π}{4}} \int_{0}^{sen (t) + cos (t)} 1 r dr dt - \int_{0}^{\frac{π}{2}} \int_{1}^{sen (t) + cos (t)} 1 r dr dt = \frac{π}{2} - \frac{1}{2}$