Area de una superficie.

2. Área de una superficie.

La idea de la definición de área de una superficie paramétrica consiste en aproximar el área de $S,$ denotada $A_{S},$ sumando las áreas de una familia de trozos de planos tangentes, en una malla de puntos, es decir el área de los paralelogramos generados por los vectores escalados $Δ u_{i} r_{u}$ y $Δ v_{j} r_{v} .$ Luego tomados el límite cuando $Δ v_{j} \to 0$ y $Δ u_{j} \to 0 .$

Figura 7.3: Aproximación del área de una superficie.

Consideremos el caso particular de una región rectangular. Sea $D = [a, b] \times [c, d]$ y sea $S$ una superficie parametrizada por $r (x, y)$ en $D,$ con $r$ una función definida y acotada sobre $D$ . Supongamos que $M_{D}$ es una partición de $D$ con $n^{2}$ rectángulos $D_{ij}$ . Si $a = x_{0} < x_{1} < . . . < x_{n} = b$ y $c = y_{0} < y_{1} < . . . < y_{n} = d$ (igualmente espaciados, es decir, si $n \to \infty$ entonces $Δ x_{i}, Δ y_{i}, \to 0$ ), cada rectángulo $D_{ij}$ tiene un vértice en $(x_{i}, y_{i}) .$ Sea $Δ A_{ij}$ el área de la imagen $r (D_{ij}) .$ Cada imagen $r (D_{ij})$ es aproximadamente un paralelogramo si $Δ x_{i}$ y $Δ y_{i}$ son pequeños (Figura ), es decir, cada imagen $r (D_{ij})$ se puede aproximar muy bien con un trozo de plano tangente en ese punto.

En el punto $r (x_{i}, y_{j})$ de la superficie $S,$ el plano tangente $T_{i}$ tiene ecuación vectorial

T_{i} (s, t) : r (x_{i}, y_{j}) + t r_{x} (x_{i}, y_{j}) + s r_{y} (x_{i}, y_{j}), con t, s \in ℝ .

La porción de superficie de

S

que es imagen de a

Dij

se puede aproximar con un paralelogramo: una porción de el plano tangente,cuyos lados son

Δ x_{i} r_{x} (x_{i}, y_{j}), Δ y_{j} r_{y} (x_{i}, y_{j}) .

Como es sabido, este paralelogramo tiene área

| | Δ x_{i} r_{x} (x_{i}, y_{j}) \times Δ y_{j} r_{y} (x_{i}, y_{j}) | |

Sacando los escalares y sumando, tenemos,

A_{S} \approx \sum_{i, j = 0}^{n} | | r_{x} (x_{i}, y_{j}) \times r_{y} (x_{i}, y_{j}) | | Δ x_{i} Δ y_{j}

y entonces, dado que si

n \to \infty

entonces

Δ x_{i}, Δ y_{j} \to 0,

tenemos

A_{S} = lim_{n \to \infty} \sum_{i, j = 0}^{n} | | r_{x} (p_{ij}) \times r_{y} (p_{ij}) | | Δ x_{i} Δ y_{j} con p_{ij} = (x_{i}, y_{i})

Definición 20 ((Área de una superficie).).

Sea $S$ una superficie regular definida sobre un conjuno abierto y acotado $D .$ Digamos que

S : r (u, v) = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k con (u, v) \in D .

Entonces, si llamamos

dS = | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA,

el área

A_{S}

de la superficie

S

A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS = \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA

Si $S = S_{1} \cup . . . \cup S_{m}$ es la unión finita de superficies parametrizadas que se intersecan a lo sumo en curvas que forman parte de sus fronteras entonces,

A_{S} = A_{S_{1}} + A_{S_{1}} + A_{S_{2}} + . . . + A_{S_{k}}

La definición dice que debemos integrar sobre el dominio $D$ de la parametrización $r$ de la superficie. El dominio de la parametrización puede ser la proyección ortogonal de la superficie en los planos donde se pueda proyectar. Un cilindro generado por una curva $C,$ digamos en el plano $XY,$ no tiene una parametrización con dominio en el plano $XY,$ pero posiblemente si hay una parametrización con dominio en alguno de los otros dos planos cuyo dominio es su proyección.

Ejemplo177

Considere la superficie

S : z = 1 - x^{2}

limitada por el plano

S_{1} : y + z = 1

tal y como se muestra en la figura de la derecha.
Vamos a calcular el área de la superficie

S

usando dos parametrización. El dominio de la parametrización coincide con la proyección de la superfice en el plano respectivo.

Primera manera. Parametrizamos $S .$ Como $z = 1 - x^{2},$

S : r (x, y) = x i + y j + (1 - x^{2}) k con D = {(x, y) \in ℝ^{2} : 0 \leq x \leq 1 \land 0 \leq y \leq x^{2}}

La superficie está limitada por el plano $y = 1 - z,$ es decir $y \leq 1 - z ⟹ y \leq x^{2} .$ Entonces el dominio $D$ de la parametrización es la proyección de la superficie en el plano $XY .$

∥ \frac{\partial r}{∂x} \times \frac{\partial r}{∂y} ∥ = ∥ (1, 0, - 2 x) \times (0, 1, 0) ∥ = ∥ (2 x, 0, 1) ∥ = \sqrt{4 x^{2} + 1}

\begin{matrix} A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS & = & \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA \\ = & \iint_{D} \sqrt{4 x^{2} + 1} dA \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} \sqrt{4 x^{2} + 1} dy dx \end{matrix}

Segunda manera. Parametrizamos $S .$ Como $x = \sqrt{1 - z},$

S : r (y, z) = \sqrt{1 - z} i + y j + z k con D = {(y, z) \in ℝ^{2} : 0 \leq z \leq 1 \land 0 \leq y \leq 1 - z}

La superficie está limitada por el plano $y = 1 - z,$ es decir $y \leq 1 - z .$ Entonces el dominio $D$ de la parametrización es la proyección de la superficie en el plano $Y Z .$

∥ \frac{\partial r}{∂y} \times \frac{\partial r}{∂z} ∥ = ∥ (0, 1, 0) \times (- \frac{1}{2 \sqrt{1 - z}}, 0, 1) ∥ = ∥ (1, 0, \frac{1}{2 \sqrt{1 - z}}) ∥ = \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1}

\begin{matrix} A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS & = & \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA \\ = & \iint_{D} \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1} dA \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - z} \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1} dy dz \\ = & \int_{0}^{1} (1 - z) \sqrt{\frac{1}{4 (1 - z)} + 1} dz (No es impropia) \end{matrix}

En el ejemplo anterior, el área de la superfice se calculó con parametrizaciones cuyo dominio era la proyección de la superficie sobre los planos $XY$ y $Y Z$ respectivamente. La proyección de la siperficie sobre el plano $XZ$ es la curva que genera el cilindro y no hay manera de parametrizar la superficie de tal manera que esta parametrización tenga como dominio una región en el plano $XZ,$ por eso el área no se puede calcular proyectando sobre ese plano.

Caso

S : z = f (x, y)

S : z = f (x, y),

una parametrización es

r (x, y) = x i + y j + z (x, y) k

con

(x, y) \in D .

D

es la proyección de la superficie en el plano

XY

(un región con interior no vacío).

•

| | \frac{\partial r}{∂x} \times \frac{\partial r}{∂y} | | = \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} .

•

A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS = \iint_{D} \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} dA

Caso

S : F (x, y, z) = 0

S : F (x, y, z) = 0

donde

S

se puede proyectar uno a uno sobre una región

D

del plano

XY

y si

F

define a

z

como función de

x

y

y si

F_{z} \neq 0

entonces

z_{x} = - F_{x} ∕ F_{z}

z_{y} = - F_{y} ∕ F_{z}

y la fórmula anterior quedaría

A_{S} = \iint_{S} 1 \cdot dS = \iint_{D} \frac{\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}}{| F_{z} |} dA

Área de una superficie

-

Proyectando sobre varios planos. Asumimos que

S

es una superficie regular y que

F

es continuamente diferenciable e inyectiva sobre la proyección (con interior no vacío)

D .

a)

Proyectando sobre

XY

: Si

S : z = z (x, y)

S : F (x, y, z) = 0,

con

(x, y) \in D_{xy}

\begin{matrix}  \end{matrix} con F_{z} \neq 0 en D_{xy}

b)

Proyectando sobre

XZ

: Si

S : y = y (x, z)

S : F (x, y, z) = 0,

con

(x, z) \in D_{xz}

$A_{S} = \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + y_{x}^{2} + y_{z}^{2}} dA$

o también

$A_{S} = \iint_{D_{xz}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{y}^{2}}} dA con F_{y} \neq 0 en D_{xz}$

c)

Proyectando sobre

Y Z

: Si

S : x = x (y, z)

S : F (x, y, z) = 0,

con

(y, z) \in D_{yz}

$A_{S} = \iint_{D_{yz}} \sqrt{1 + x_{y}^{2} + x_{z}^{2}} dA$ o también $A_{S} = \iint_{D_{yz}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{x}^{2}}} dA$

Ejemplo178

La superficie

S : x^{2} + z^{2} = 4

está e el primer octante está limitada por el plano

x + y = 5,

tal y como se muestra en la figura de la derecha. Plantee las integrales necesarias para calcular el área de la superficie

S .

Solución. Primera manera. Podemos proyectar sobre el plano

XY .

Como

S : x^{2} + z^{2} = 4,

podemos usar la fórmula para el área con

F (x, y, z) = x^{2} + z^{2} - 4 .

\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{S} 1 \cdot dS \\ = & \iint_{D_{xy}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{z}^{2}}} dA \\ = & \iint_{D_{xy}} \sqrt{\frac{4 x^{2} + 0^{2} + 4 z^{2}}{4 z^{2}}} dA \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{5 - x} \sqrt{\frac{16}{16 - 4 x^{2}}} dydx (Impropia) \end{matrix}

Ejemplo179 (Usando coordenadas rectangulares).

Calcular las integrales que dan el área de la superficie

S = S_{1} + S_{2}

tal y como se muestra en la figura de la derecha.

Solución. Podemos proyectar sobre el plano

Y Z .

Tenemos

A_{S} = A_{S_{1}} + A_{S_{2}}

y $S_{1} : F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} - 4 = 0 .$

La superficie $S_{2}$ tiene ecuación $x = 2 \sqrt{3} - \sqrt{3} y .$ Entonces,

\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{D_{1}} \sqrt{\frac{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}{F_{x}^{2}}} dA + \iint_{D_{2}} \sqrt{x_{y}^{2} + x_{z}^{2} + 1} dA \\ = & \int_{1 ∕ 2}^{1} \int_{0}^{2 - y} \sqrt{\frac{4 x^{2} + 4 y^{2} + 0^{2}}{4 x^{2}}} dzdy + \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - y} \sqrt{3 + 0 + 1} dzdy \\ = & \int_{1 ∕ 2}^{1} \int_{0}^{2 - y} \sqrt{\frac{4 (4 - y^{2}) + 4 y^{2} + 0^{2}}{4 (4 - y^{2})}} dzdy + \int_{1}^{2} \int_{0}^{2 - y} 2 dzdy \end{matrix}

Ejemplo180(Usando coordenadas rectangulares).

Calcular el área de la superficie

S : y + x^{2} + z^{2} = 4

en el primer octante.
Solución. La proyección sobre

XZ

esta limitada por el círculo

x^{2} + z^{2} = 4

y la ecuación de la superficie es

S : y = 4 - x^{2} - z^{2} .

Figura 7.4: Superficie

S

Primera manera: Proyectando sobre

XZ

(un cuarto de círculo) y usando coordenadas cilíndricas.

\begin{array}{rcl} A_{S} & = & \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + y_{x}^{2} + y_{z}^{2}} dA \\ = & \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + 4 x^{2} + 4 z^{2}} dA, cambio de variable: {\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & y \end{matrix} \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2} \sqrt{1 + 4 r^{2} {cos}^{2} 𝜃 + 4 r^{2} {sen}^{2} 𝜃} r drd 𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2} r \sqrt{1 + 4 r^{2}} drd𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} {\frac{{(1 + 4 r^{2})}^{\frac{3}{2}}}{12} |}_{0}^{2} d𝜃 = \frac{π}{24} (17 \sqrt{17} - 1) \approx 9.04423 . \end{array}

(*) Segunda manera: Podemos usar la parametrización

r (y, 𝜃) = \sqrt{4 - y} cos 𝜃 i + y j + \sqrt{4 - y} sen 𝜃 k

con

y \in [0, 4]

𝜃 \in [0, π ∕ 2] .

\begin{matrix} A_{S} & = & \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂y} \times \frac{\partial r}{∂𝜃} | | dy d𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{4} \sqrt{17 ∕ 4 - y} dy d𝜃 \end{matrix}

Ejemplo181

Calcular el área de la superficie $S : y + z = 6$ tal y como se ve en la figura (a).

Solución. Como

S : y (x, z) = 6 - z,

usamos la parametrización

r (x, z) = x i + (6 - z) j + z k

sobre la región

D

definida por

x \in [0, \sqrt{2}] y 2 \leq z \leq 4 - x^{2} .

Entonces

y_{x} = 0

y_{z} = - 1 .

La proyección sobre

D_{xz}

se ve en la figura (b).

\begin{array}{rcl} A_{S} & = & \iint_{D_{xz}} \sqrt{1 + y_{x}^{2} + y_{z}^{2}} dA \\ = & \int_{0}^{\sqrt{2}} \int_{2}^{4 - x^{2}} \sqrt{2} dzdx \\ = & \int_{0}^{\sqrt{2}} \sqrt{2} (2 - x^{2}) dx = \frac{8}{3} \end{array}

Ejemplo182

Calcular el área de la superficie de la esfera

S : x^{2} + y^{2} + z^{2} = a^{2} .

Solución. Vamos a calcular de dos maneras, parametrizando con coordenadas esféricas y parametrizando con coordenadas rectangulares (más complicado).

Usamos la parametrización $r (x, y) = x i + y j + \sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}} k .$ Solo vamos a calcular el área de la parte superior de la esfera. El área total la obtenemos multiplicando por dos.

$\begin{matrix} z_{x} & = & - \frac{x}{\sqrt{a^{2} - x^{2} - y^{2}}} \end{matrix} ⟹ A_{S} = 2 \iint_{D} \sqrt{1 + z_{x}^{2} + z_{y}^{2}} dA = 2 \iint_{D} \sqrt{1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{a - x^{2} - y^{2}}} dA$

Conviene hacer cambio de variable y usar coordenadas polares. Observe que las derivadas se indefinen en la frontera del círculo (si

r = a

). La integral se calcula desde

0

hasta

r = 𝜖

con

0 < 𝜖 < a .

Al final hacemos

𝜖 \to a .

\begin{array}{rcl} A_{S} & = & 2 \iint_{D} \sqrt{1 + \frac{x^{2} + y^{2}}{a - x^{2} - y^{2}}} dA \\ = & 2 \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{𝜖} \frac{a}{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r drd𝜃 si 𝜖 \to a (integral impropia!) \\ = & 2 \int_{0}^{2 π} a^{2} d𝜃 = 4 a^{2} π \end{array}

$∙$

Para calcular

\int_{0}^{𝜖} \frac{a}{\sqrt{a^{2} - r^{2}}} r dr

hacemos

u = a^{2} - r^{2}, du = - 2 r d r .

Queda

- \frac{1}{2} \int_{a^{2}}^{a^{2} - 𝜖^{2}} \frac{a}{\sqrt{u}} du = {- \frac{a}{2} \frac{\sqrt{u}}{1 ∕ 2} |}_{a^{2}}^{a^{2} - 𝜖^{2}} = a^{2} - a \sqrt{a^{2} - 𝜖^{2}} \to a^{2} si 𝜖 \to a .

Nota: Observe que $A_{S}$ también se pudo calcular con $A_{S} = \iint_{D} \frac{\sqrt{F_{x}^{2} + F_{y}^{2} + F_{z}^{2}}}{| F_{z} |} dA$ . En este caso $F (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - a^{2} = 0 .$ Puesto que esta fórmula solo se puede usar si la proyección es uno a uno con la superficie, solo podemos considerar la parte superior de la esfera. Pasando a cilíndricas, la integral queda igual al cálculo anterior.

[pag][8][n](*) Segunda manera: Coordenadas esféricas. La esfera la podemos parametrizar con coordenadas esféricas,

S : r (𝜃, φ) = a sen φ cos 𝜃 i + a sen φ sen 𝜃 j + a cos φ k, con (𝜃, φ) \in D = [0, 2 π [\times [0, π]

\begin{matrix} \frac{\partial r}{∂𝜃} & = & (- a sen 𝜃 sen φ, a cos 𝜃 sen φ, 0) \\ \frac{\partial r}{∂φ} & = & (a cos 𝜃 cos φ, a cos φ sen 𝜃, - a sen φ) \end{matrix} ⟹ | | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | = a^{2} sen φ

A_{S} = \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂φ} | | dφ d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π} a^{2} sen φ dφ d𝜃 = 4 a^{2} π .

Ejemplo183(Usando una parametrización de

S

Calcular el área del cilindro $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ de altura $h,$ es decir $0 \leq z \leq h$ .

Solución. Como ya vimos, la parametrización de esta superficie es

r (𝜃, z) = a cos 𝜃 i + a sen 𝜃 j + z k, (𝜃, z) \in D = [0, 2 π [\times [0, h] .

Luego,

$∙$: $r_{𝜃} = (- a sen 𝜃, a cos 𝜃, 0)$
$∙$: $r_{z} = (0, 0, 1)$
$∙$: $| | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | = | | (a cos 𝜃, a sen 𝜃, 0) | | = a .$

Entonces,

A_{S} = \iint_{D} | | \frac{\partial r}{∂𝜃} \times \frac{\partial r}{∂z} | | dz d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{h} a dz d𝜃 = 2 hπa .