Volumen de un sólido (con integrales dobles)

12. Volumen de un sólido (con integrales dobles)

Para definir el volumen de un sólido $Q$ , limitado por dos superficies, una "arriba" de ecuación $z = f_{1} (x, y)$ y otra "abajo", de ecuación $z = f_{2} (x, y)$ , se requieren algunas hipótesis sobre las dos funciones $f_{1}$ y $f_{2}$ su proyección $R$ .

a

R \subset ℝ^{2}

es una región cerrada, acotada y con frontera “regular” (formada por un número finito de curvas suaves por tramos), de manera que su área esté bien definida, es decir el borde no aporta área ( se dice "medible-Jordan").

b

f_{1} : R \to ℝ

f_{2} : R \to ℝ

son dos funciones integrables (en el sentido de Riemann) sobre

R

( por tanto

f_{1} - f_{2}

es integrable).

c

Para todo

(x, y) \in R

se cumple:

f_{2} (x, y) \leq f_{1} (x, y) .

Es decir, la superficie $z = f_{1} (x, y)$ está arriba y la superficie $z = f_{2} (x, y)$ está abajo.

Definición 22 — Volumen de un sólido.

Si se cumplen las condiciones enumeradas anterioremente, el volumen del sólido

Q = {(x, y, z) \in ℝ^{3} | (x, y) \in R, f_{2} (x, y) \leq z \leq f_{1} (x, y)}

está dado por la integral doble

V_{Q} = \iint_{R} [f_{1} (x, y) - f_{2} (x, y)] dA \geq 0

donde $dA$ puede ser $dx dy$ o $dy dx$ , dependiendo del orden de integración elegido.

Caso particular: región rectangular. Si

R = [a, b] \times [p, q]

, entonces:

V_{Q} = \int_{p}^{q} \int_{a}^{b} [f_{1} (x, y) - f_{2} (x, y)] dx d y = \int_{a}^{b} \int_{p}^{q} [f_{1} (x, y) - f_{2} (x, y)] d y dx,

donde la igualdad de los órdenes de integración es válida por el teorema de Fubini, dado que $f_{1} - f_{2}$ es integrable sobre el rectángulo $R$ .

Si el sólido $Q$ también está limitado por superficies laterales que caen perpendiculares al plano de proyección, éstas no se toman en cuenta en el integrando (no son parte del "techo" ni del "piso") del sólido. Pero eventualmente si participan en la proyección del sólido.

Teorema 29 — Aditividad de la integral doble.

1

f

es integrable sobre

R

S

, y "

A (R \cap S) = 0

" (intersección con área cero), entonces

\iint_{R \cup S} f (x, y) dA = \iint_{R} f (x, y) dA + \iint_{S} f (x, y) dA

2

S \subseteq R

f

es integrable sobre

R

S

, entonces

\iint_{R ∖ S} f (x, y) dA = \iint_{R} f (x, y) dA - \iint_{S} f (x, y) dA

siempre que $A (∂S) = 0$ (la frontera de $S$ tiene área cero).

3

Q = Q_{1} \cup Q_{2}

y "

V (Q_{1} \cap Q_{2}) = 0

" (la intersección tiene volumen nulo, es decir, a lo sumo comparten caras, paredes, curvas, aristas, bordes, vértices), entonces

∭_{Q} f dV = ∭_{Q_{1}} f dV + ∭_{Q_{2}} f dV

4

Q_{2} \subseteq Q_{1}

, entonces

∭_{Q_{1} ∖ Q_{2}} f dV = ∭_{Q_{1}} f dV - ∭_{Q_{2}} f dV

Ejemplo166Volumen

Plantear una integral, en coordenadas polares, para calcular el volumen del sólido $Q$ (Figura 6.75), limitado por las superficies $z = \frac{y}{x^{2} + 4},$ $x^{2} + y^{2} = 4$ y $z = 0$ con $x \geq 0$ y $y \geq 0 .$

Solución. La proyección del sólido $Q$ sobre el plano $XY$ se muestra en la Figura 6.77.

Fig. 6.75: Sólido

Q

Fig. 6.76: Proyección ortogonal

1

Región de integración. La región de integración

R

es un cuarto de círculo de radio

2

R : {\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \leq 𝜃 \leq π ∕ 2 \end{matrix}

2

Volumen. El sólido

Q

está entra la superficie

S_{1} : z = \frac{y}{x^{2} + 4}

S_{2} : z = 0

. Aplicando el cambio de variable queda

V_{Q} = \iint_{R} (\frac{y}{x^{2} + 4} - 0) d A = \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{2} \frac{r sen (𝜃)}{r^{2} {cos}^{2} (𝜃) + 4} r d r d𝜃 = \frac{1}{2} (π - 2)

Ejemplo167Volumen en coordenadas polares

Calcular el volumen del sólido

Q

, limitado superiormente por el paraboloide

z = 4 - x^{2} - y^{2}

, inferiormente por el plano

z = 0

, y cuya proyección en el plano

XY

es al región

R = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que x^{2} + y^{2} \leq \sqrt{x^{2} + y^{2}} + x}

Fig. 6.77: Sólido

Q

Solución. La región $R$ es un cardioide y se puede describir fácilmente en coordenadas poalres.

1

Cambio de variable.

${\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \end{matrix}$

El jacobiano es $r$

2

Región de integración. Aplicando el cambio de variable, como

r^{2} = x^{2} + y^{2}

entonces, la región de integración esta limitada por al curva

r = 1 + cos 𝜃,

con

0 \leq 𝜃 \leq 2 π .

En efecto,

\begin{matrix} {(x^{2} + y^{2} - x)}^{2} & = & x^{2} + y^{2} \\ x^{2} + y^{2} - x & = & \sqrt{x^{2} + y^{2}} \\ r^{2} & = & r cos 𝜃 + r \\ r & = & 1 + cos 𝜃 \end{matrix}

$R : {\begin{matrix} 0 \leq r \leq 1 + cos 𝜃 \\ 0 \leq 𝜃 \leq 2 π \end{matrix}$

3

Cálculo del volumen.

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R} 4 - x^{2} - y^{2} d A \\ = & \int_{0}^{2 π} [\int_{0}^{1 + cos 𝜃} (4 - r^{2}) r dr] d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} {[2 r^{2} - \frac{r^{4}}{4}]}_{0}^{1 + cos (𝜃)} d𝜃 \\ = & \int_{0}^{2 π} [2 {(1 + cos 𝜃)}^{2} - \frac{{(1 + cos 𝜃)}^{4}}{4}] d𝜃 \\ = & \frac{5 π}{2} \end{matrix}

Ejemplo168(Volumen en coordenadas polares).

Considere el sólido $Q$ limitado por las superficies $S_{1} : y = x^{2} + z^{2},$ $S_{2} : y = 1,$ $S_{3} : y = 4,$ en el primer octante proyectando sobre el plano $XZ$ (Figura 6.79).

Plantear la integral (o las integrales) para obtener el volumen del sólido

Q

proyectando sobre el plano

XZ

El cálculo del volumen sobre los otros planos quedan como ejercicios.

Fig. 6.78: Sólido

Q

y su proyección sobre

xy .

Solución.

Barrido de la región de integración

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1

Proyección del sólido en

XZ

. La proyección la obtenemos buscando las curvas de intersección entre la superficie

S_{1}

y los planos

S_{2}

S_{3}

(a): $C_{1} :$ $y = x^{2} + z^{2} \cap y = 1 ⟹ C_{1} : 1 = x^{2} + z^{2}$
(b): $C_{2} :$ $y = x^{2} + z^{2} \cap y = 4 ⟹ C_{2} : 4 = x^{2} + z^{2}$

El sólido $Q$ se descompone en dos sólidos $Q_{1}$ y $Q_{2}$ , cada uno con sus respectivas proyecciones: Dos cuartos de círculo $R_{1}$ y $R_{2}$ . Entonces $R = R_{1} + R_{2},$ .

R_{1} : {\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \leq 𝜃 \leq π ∕ 2 \end{matrix}

R_{2} : {\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \leq 𝜃 \leq π ∕ 2 \end{matrix}

2

Integrando en cada región. Como estamos proyectando sobre le plano

XZ

, en cada región el sólido

Q

debe estar entre dos superficies de ecuación

y = f_{a} (x, z)

y = f_{b} (x, z)

En la región $R_{1}$ el sólido está entre los planos $y = 4$ ("arriba") y $y = 1$ ("abajo").

En la región $R_{2}$ el sólido está entre el plano $y = 4$ ("arriba") y $y = x^{2} - z^{2}$ ("abajo")

3

Volumen.

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R_{1}} (4 - 1) dA + \iint_{R_{2}} (4 - x^{2} - z^{2}) dA \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{1} (4 - 1) r drd𝜃 + \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{1}^{2} (4 - r^{2}) r drd𝜃 \end{matrix}

Ejemplo169(Volumen).

Calcule el volumen del sólido $Q$ limitado por las superficies $z = \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}},$ $x^{2} + y^{2} = 1$ y $z = 0 .$

Fig. 6.79: Sólido

Q

y su proyección sobre

xy .

Solución.

1

Proyección. La proyección sobre el plano

XY

se ven en la Figura 6.79. Es un círculo

x^{2} + y^{2} = 1

2

Cambio de variable. Como tenemos una círculo podemos usar el cambio de variable

R : {\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \leq 𝜃 \leq 2 π \end{matrix}

El jacobiano es $r$

3

Volumen. Aplicamos el cambio de variable (no hay singularidades), tenemos

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R} \frac{1}{1 + x^{2} + y^{2}} d A \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + r^{2}} r d r d𝜃 = \int_{0}^{2 π} {\frac{1}{2} ln (1 + r^{2}) |}_{0}^{1} d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \frac{1}{2} ln (2) d𝜃 = π ln (2) \end{matrix}

Ejemplo170Cambio Variable: Coordenadas polares

Calcule el volumen del sólido $Q$ limitado por $z = \frac{xy}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{2}}$ en el primer octante ( $z \geq 0$ ) y la región $R = {(x, y) \in ℝ : x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0}$ en el plano $XY$ .

Solución.

1

Región de integración.

R = {(x, y) \in ℝ : x^{2} + y^{2} \leq 1, x \geq 0, y \geq 0} .

2

Cambio de variable. La región

R

de integración que se indica, es un cuarto de círculo en el primer octante. Vamos a usar coordenadas polares. El cambio de variable es

R : {\begin{matrix} x & = & r cos 𝜃 \\ y & = & r sen 𝜃 \end{matrix} \begin{matrix} 0 \leq 𝜃 \leq π ∕ 2 \end{matrix}

El jacobiano es $r$

3

Cálculo de la integral. Observemos primero que cuando integramos respecto a

r

, la función

f (𝜃)

es constante, por tanto

\int_{a}^{b} \int_{p}^{q} f (𝜃) g (r) dr d𝜃 = \int_{a}^{b} f (𝜃) d𝜃 \cdot \int_{p}^{q} g (r) dr .

Luego,

\begin{matrix} V_{Q} = \iint_{R} \frac{xy}{{(1 + x^{2} + y^{2})}^{2}} d A & = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{1} \frac{r^{3} cos 𝜃 sen 𝜃}{{(1 + r^{2})}^{2}} dr d𝜃 \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} cos 𝜃 sen 𝜃 d𝜃 \cdot \int_{0}^{1} \frac{r^{3}}{{(1 + r^{2})}^{2}} dr = \frac{1}{8} ln 4 - \frac{1}{8} \end{matrix}

13.1

Calcule, usando coordenadas polares, el volumen del sólido

Q

limitado por el cono

z^{2} = x^{2} + y^{2}

y la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

(Figura 6.80).

Fig. 6.80:

V_{Q} = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{π ∕ 4} \int_{0}^{1} ρ^{2} sen φ dρ dφ d𝜃 = \frac{π}{3} (2 - \sqrt{2})

13.2

Considere el sólido

E

limitado por las superficies de ecuación

S_{1} : x^{2} + y^{2} = 16,

S_{2} : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4,

S_{3} : z = \frac{3 x}{2},

S_{4} : 4 (z - 8) = x^{2} + y^{2}

x = 0,

tal y como se muestra en la Figura 6.81. Calcule el volumen del sólido

E

Fig. 6.81:

x = r cos 𝜃,

y = sen 𝜃

z = z;

entonces en la proyección sobre el plano

XY

tenemos una región limitada por la curva

C_{1} : x^{2} + y^{2} = 16

o también

C_{1} : r = 4

y la curva

{(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4

o también

r = 4 cos 𝜃

con

𝜃 \in [0, π ∕ 2] .

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R_{xy}} (8 + \frac{x^{2} + y^{2}}{4} - \frac{3 x}{2}) d A \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{4 cos 𝜃}^{4} (8 + \frac{r^{2}}{4} - \frac{3 r cos 𝜃}{2}) r dr d𝜃 \end{matrix}

13.3

Considere siguientes superficies

S_{1}, S_{2}, S_{3}

S_{4} .

$∙$: $S_{1}$ es el cilindro generado por la curva $r = 1 - 2 cos 𝜃,$
$∙$: $S_{2} : x + z = 1,$
$∙$: $S_{3} : z = 0,$
$∙$: $S_{4} : y = 0 .$

$E$ es el sólido limitado por estas superficies, tal y como aparece en la Figura 6.82. Calcule el volumen del sólido $E$

Fig. 6.82: Sólido E

\begin{matrix} V_{E} & = & \iint_{R_{xy}} (1 - x - 0) d A \\ = & \int_{π ∕ 3}^{π} \int_{0}^{1 - 2 cos 𝜃} (1 - r cos 𝜃) r dr d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 3}^{π} {\frac{r^{2}}{2} - \frac{r^{3}}{3} cos 𝜃 |}_{0}^{1 - 2 cos 𝜃} d𝜃 \\ = & \int_{π ∕ 3}^{π} \frac{{(1 - 2 cos 𝜃)}^{2}}{2} - \frac{{(1 - 2 cos 𝜃)}^{3}}{3} cos 𝜃 d𝜃 \approx 10.578 \end{matrix}

13.4

Sea sólido

E

limitado por el cono de ecuación

{(z - 2)}^{2} = x^{2} + y^{2}

y el plano $z = 1,$ tal y como se muestra en la Figura 6.83. Calcule el volumen de $E$

Fig. 6.83: Sólido E

V_{Q} = \frac{π \sqrt{2}}{3}

13.5

Calcule el volumen del sólido

Q

limitado por las superficies

x^{2} + z^{2} = 4, x^{2} + {(z - 1)}^{2} = 1

x = 4 - y

, en el primer octante; como se muestra en la Figura 6.84

Fig. 6.84:

Ayuda: Proyectar sobre $XZ$ y usar coordenadas polares.

La manera fácil es proyectar sobre

XZ

y usar coordenadas polares.

\begin{matrix} V_{Q} & = & \iint_{R_{xz}} 4 - x dA \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{2 sen 𝜃}^{2} (4 - r cos 𝜃) \cdot r dr d𝜃 \\ = & 2 π - 2 \end{matrix}

13.6

Considere el sólido

Q

limitado por el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1 ∕ 4

, el cono

3 z^{2} = x^{2} + y^{2},

la esfera

x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1

y los planos

x = 0

x = y,

tal y como se muestra en la Figura 6.85. Calcular el volumen del sólido

Q

Fig. 6.85:

Proyectar sobre

XZ

y usar coordenadas polares. Calculando la intersección entre las superficies podemos establecer que la región de integración

R_{xy}

está entre las curvas

x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4},

x^{2} + y^{2} = \frac{3}{4}

y las rectas

y = x

x = 0 .

V_{Q} = \int_{π ∕ 4}^{π ∕ 2} \int_{1 ∕ 2}^{\sqrt{3} ∕ 2} (\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}} - \sqrt{\frac{1 - x^{2} - y^{2}}{3}}) r drd𝜃

13.7

Calcular el volumen del sólido

Q

, limitado por la esfera

4 = z^{2} + x^{2} + y^{2}

y el cilindro de directriz

x^{2} + y^{2} = {(x^{2} + y^{2} - x)}^{2}

, tal y como se muestra en la Figura 6.134.

Fig. 6.86: Sólido

Q

Se omite.