Solución. Podemos proyectar sobre el plano $\mathit{XY}.$ Como $S:x^2+z^2=4,$ podemos usar la fórmula para el área con $F(x,y,z)=x^2+z^2-4.$

$$\begin{array}{ccc}{A}_S\hfill & \hfill =\hfill & {\iint }_{S}1\cdot \mathit{dS}={\iint }_{D_{\mathit{xy}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{F_x^2+F_y^2+F_z^2}{F_z^2}}}\mathit{dA}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\iint }_{D_{\mathit{xy}}}\sqrt{{\displaystyle \frac{4x^2+0^2+4z^2}{4z^2}}}\mathit{dA}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{5-x}\sqrt{{\displaystyle \frac{16}{16-4x^2}}}\mathit{dydx}\text{ (Impropia) }\hfill \\ \hfill \end{array}$$

$$\begin{array}{ccc}\hfill A_S& \hfill =\hfill & {\iint }_{D_1}\sqrt{{\displaystyle \frac{F_x^2+F_y^2+F_z^2}{F_x^2}}}\mathit{dA}+{\iint }_{D_2}\sqrt{x_y^2+x_z^2+1}\mathit{dA}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{1∕2}^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2-y}\sqrt{{\displaystyle \frac{4x^2+4y^2+0^2}{4x^2}}}\mathit{dzdy}+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2-y}\sqrt{3+0+1}\mathit{dzdy}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{1∕2}^1{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2-y}\sqrt{{\displaystyle \frac{4(4-y^2)+4y^2+0^2}{4(4-y^2)}}}\mathit{dzdy}+{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2-y}2\mathit{dzdy}\hfill \\ \hfill \end{array}$$

Primera manera: Proyectando sobre $\mathit{XZ}$ (un cuarto de círculo) y usando coordenadas cilíndricas.

$$\begin{array}{rcll}{A}_S& =& {\iint }_{D_{\mathit{xz}}}\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}\mathit{dA}& \\ & =& {\iint }_{D_{\mathit{xz}}}\sqrt{1+4x^2+4z^2}\mathit{dA},\text{ cambio de variable: }\{\begin{array}{ccc}\hfill x& \hfill =\hfill & r\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃\hfill \\ \hfill y& \hfill =\hfill & y\hfill \end{array}& \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\pi ∕2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^2\sqrt{1+4r^2{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2𝜃+4r^2{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2𝜃}r\mathit{drd}𝜃& \\ & & & \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\pi ∕2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2}r\sqrt{1+4r^2}\mathit{drd𝜃}& \\ & & & \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\pi ∕2}{\frac{{\left(1+4r^2\right)}^{\frac{3}{2}}}{12}|}_0^2\mathit{d𝜃}={\displaystyle \frac{\pi }{24}}(17\sqrt{17}-1)\approx 9.04423.& \\ & & & \end{array}$$

Segunda manera: Podemos usar la parametrización $r(y,𝜃)=\sqrt{4-y}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃i+yj+\sqrt{4-y}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃k$ con $y\in [0,4]$ y $𝜃\in [0,\pi ∕2].$

$$A_S={\iint }_D\left|\left|{\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial y}}}\times {\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial 𝜃}}}\right|\right|\mathit{dy}\mathit{d𝜃}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\pi ∕2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^4\sqrt{17∕4-y}\mathit{dy}\mathit{d𝜃}={\displaystyle \frac{\pi }{24}}(17\sqrt{17}-1).$$

Calcular el área de la superficie $S:y+z=6$ tal y como se ve en la figura (a).

Solución. Como $S:y(x,z)=6-z,$ usamos la parametrización $r(x,z)=xi+(6-z)j+zk$ sobre la región $D$ definida por $x\in [0,\sqrt{2}]\text{ y }2\le z\le 4-x^2.$ Entonces $y_x=0$ y $y_z=-1.$ La proyección sobre $D_{\mathit{xz}}$ se ve en la figura (b).

$$\begin{array}{rcll}{A}_S& =& {\iint }_{D_{\mathit{xz}}}\sqrt{1+y_x^2+y_z^2}\mathit{dA}& \\ & & & \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\sqrt{2}}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_2^{4-x^2}\sqrt{2}\mathit{dzdx}& \\ & & & \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\sqrt{2}}\sqrt{2}(2-x^2)\mathit{dx}=\frac{8}{3}& \\ & & & \end{array}$$

Primera manera: Coordenadas esféricas. La esfera la podemos parametrizar con coordenadas esféricas,

$$S:r(𝜃,\phi )=a\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃i+a\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃j+a\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi k,\text{ con }(𝜃,\phi )\in D=[0,2\pi [\times [0,\pi ]$$

$\begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial 𝜃}}}& \hfill =\hfill & (-a\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi ,a\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi ,0)\hfill \\ \hfill \\ \hfill {\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial \phi }}}& \hfill =\hfill & (a\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi ,a\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,-a\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi )\hfill \end{array}⟹\left|\left|{\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial 𝜃}}}\times {\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial z}}}\right|\right|=a^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi$

$$A_S={\iint }_D\left|\left|{\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial 𝜃}}}\times {\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial \phi }}}\right|\right|\mathit{d\phi }\mathit{d𝜃}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\pi }{a}^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\phi \mathit{d\phi }\mathit{d𝜃}=4a^2\pi .$$

Segunda manera: Coordenadas rectangulares. Usamos la parametrización $r(x,y)=xi+yj+\sqrt{a^2-x^2-y^2}k.$ Solo vamos a calcular el área de la parte superior de la esfera. El área total la obtenemos multiplicando por dos.

$\begin{array}{ccc}\hfill z_x& \hfill =\hfill & -{\displaystyle \frac{x}{\sqrt{a^2-x^2-y^2}}}\hfill \\ \hfill \end{array}⟹A_S=2{\iint }_D\sqrt{1+z_x^2+z_y^2}\mathit{dA}=2{\iint }_D\sqrt{1+{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{a-x^2-y^2}}}\mathit{dA}$

Conviene hacer cambio de variable y usar coordenadas polares. Observe que las derivadas se indefinen en la frontera del círculo (si $r=a$). La integral se calcula desde $0$ hasta $r=𝜖$ con $0<𝜖<a.$ Al final hacemos $𝜖\to a.$

$$\begin{array}{rcll}{A}_S& =& 2{\iint }_D\sqrt{1+{\displaystyle \frac{x^2+y^2}{a-x^2-y^2}}}\mathit{dA}& \\ & & & \\ & =& 2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{𝜖}{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}}r\mathit{drd𝜃}\text{ si };𝜖\to a\text{ (integral impropia!) }& \\ & & & \\ & =& 2{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{a}^2\mathit{d𝜃}=4a^2\pi & \\ & & & \end{array}$$

$\bullet$

Para calcular ${\int }_0^{𝜖}{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{a^2-r^2}}}r\mathit{dr}$ hacemos $u=a^2-r^2,\mathit{du}=-2rdr.$ Queda

$$-\frac{1}{2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_{a^2}^{a^2-{𝜖}^2}{\displaystyle \frac{a}{\sqrt{u}}}\mathit{du}={-\frac{a}{2}{\displaystyle \frac{\sqrt{u}}{1∕2}}|}_{a^2}^{a^2-{𝜖}^2}=a^2-a\sqrt{a^2-{𝜖}^2}\to a^2\text{ si }𝜖\to a.$$

Nota: Observe que $A_S$ también se pudo calcular con $A_S={\iint }_D{\displaystyle \frac{\sqrt{F_x^2+F_y^2+F_z^2}}{|F_z|}}\mathit{dA}$. En este caso $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2-a^2=0.$ Puesto que esta fórmula solo se puede usar si la proyección es uno a uno con la superficie, solo podemos considerar la parte superior de la esfera. Pasando a cilíndricas, la integral queda igual al cálculo anterior.

$\bullet$

$r_{𝜃}=(-a\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,a\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,0)$

$\bullet$

$r_z=(0,0,1)$

$\bullet$

$\left|\left|{\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial 𝜃}}}\times {\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial z}}}\right|\right|=||(a\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,a\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->𝜃,0)||=a.$

Entonces,

$$A_S={\iint }_D\left|\left|{\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial 𝜃}}}\times {\displaystyle \frac{\partial r}{\mathit{\partial z}}}\right|\right|\mathit{dz}\mathit{d𝜃}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{h}a\mathit{dz}\mathit{d𝜃}=2\mathit{h\pi a}.$$