Flujo traves de una superficie S

4. Flujo través de una superficie $S$

Campos escalares y campos vectoriales.

Definición 22.

Sea $U \subseteq ℝ^{n}$ un conjunto abierto. Una aplicación $f : U \to ℝ$ se denomina campo escalar o función escalar. Una función $f : U \to ℝ^{n}$ se denomina campo vectorial.

Ejemplo190(Representación gráfica).

Una manera de visualizar el campo gráficamente es anclar en cada punto $(x, y)$ el respectivo vector $F (x, y)$ (se traslada desde el origen). Pero también se puede anclar el vector de tal manera que el punto quede en el medio del vector (como si el vector fuera parte de una recta tangente). En general, la representación gráfica se hace anclando el vector de esta segunda manera y escalando el tamaño de los vectores de tal manera que unos no se sobrepongan sobre los otros, para tener una mejor vizualización de la dirección de "flujo" del campo vectorial. Así lo hace el software (como Wolfram Mathematica).

Por ejemplo, Consideremos el campo $F (x, y) = (- y, x) .$ En la figura a.) se dibujan dos vectores anclados en el punto, en la figura b.) se dibujan dos vectores anclados con el punto en el medio y en la figura c.) se hace la representación gráfica del campo escalando los vectores, tal y como se acostumbra.

Figura 7.6: Campo

F (x, y) = (- y, x)

Ejemplo191

Representación gráfica del campo vectorial $F_{1} (x, y) = (2 x, 2 y)$ y del campo vectorial $F_{2} (x, y) = (- y, x)$ sobre la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 1 .$ Observe que si $z = x^{2} + y^{2}$ entonces $F_{1} (x, y) = \nabla z,$ por eso los vectores son perpendiculares a esta circunferencia (la curva de nivel $z = 1$ ).

Figura 7.7:

F_{1}

sobre

x^{2} + y^{2} = 1 .

Figura 7.8:

F_{2}

sobre

x^{2} + y^{2} = 1 .

Ejemplo192

En la figura a.) se presenta la representación gráfica del campo vectorial $F (x, y) = (sen y, sen x)$ y su paso sobre la curva $C$ de ecuación ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = 1 .$ En al figura b.) se presenta la representación gráfica del campo vectorial $F (x, y, y) = (- y, x, xy)$ y su paso sobre la superficie $S$ de ecuación $z = 2 - {(x - 1)}^{2} - {(y - 1)}^{2} .$

a.)

b.)

Figura 7.9: Campos vectoriales y su paso por una curva y una superficie

Flujo a través de una superficie

Supongamos que tenemos una región plana $S$ y queremos determinar la cantidad de "fluido" a través de $S$ (se supone que el fluido puede atravesar la superficie sin ninguna resistencia). La cantidad de fluido es "densidad por el ‘volumen’ que ocupa". Si el flujo se mueve con velocidad constante $V,$ entonces durante un intervalo de tiempo $Δ t$ llenará un paralelepípedo de base $S$ y "extensión" (arista) $Δ t V .$ El volumen de este paralelepípedo es "área de la base" $Δ S$ por "altura", la altura $h$ se calcula con la norma de la proyección de $V$ sobre el vector normal unitario a $S,$ denotado $N .$ Como se sabe, $h = | | (Δ t V \cdot N) N | | = Δ t V \cdot N,$ entonces

Volumen del paralelepípedo sobre S es V \cdot N Δ S Δ t

Figura 7.10: El fluido sobre

S

llena un paralelepípedo

Si el fluido tiene densidad $ρ,$ la masa del fluido es $Δ M = ρ V \cdot N Δ S Δ t .$ La densidad del fluido es $F = ρ V$ y el flujo total es la masa de fluido que pasa a través de $S$ en una unidad de tiempo: $F \cdot N Δ S$ kilogramos por segundo.

Ahora digamos que tenemos una corriente de fluido en el espacio con velocidad $V (x, y, z)$ y densidad (masa por unidad de volumen) $ρ (x, y, z)$ en cada punto $(x, y, z) .$ El vector densidad de flujo

F (x, y, z) = V (x, y, z) ρ (x, y, z)

tiene la misma dirección que la velocidad y nos dice cuánta masa de fluido circula por el punto

(x, y, z)

en la dirección de

V (x, y, z),

por unidad de área y de tiempo.

Para sugerir una definición razonable de cómo medir la masa total de fluido que atraviesa una determinada superficie $S$ en la unidad de tiempo, se considera la superficie $S$ parametrizada por $r (u, v)$ en una región rectangular $D .$ Sea $N$ el vector unitario normal que tiene la misma dirección que el producto vectorial fundamental,

\begin{array}{rcl} N = \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |} & (7.1) \end{array}

Para medir la cantidad de fluido que pasa a través de

S

en la unidad de tiempo y en “la dirección” de

N,

se descompone el rectángulo

D

m

subrectángulos

D_{1}, D_{2}, . . ., D_{m} .

Sean

S_{1}, S_{2}, . . ., S_{m}

las correspondientes porciones de superficie en

S .

Llamamos

Δ S_{k}

a la

k -

ésima porción

S_{k} .

Si la densidad

ρ

y la velocidad

V

son constantes en

S_{k}

S_{k}

es suficientemente plana, el fluido que atraviesa

S_{k}

en la unidad de tiempo ocupa un paralelepípedo con base

S_{k}

y eje determinado por el vector velocidad

V .

Figura 7.11: El fluido sobre

S_{k}

ocupa un paralelepípedo

Como el área de

S_{k}

Δ S_{k} = | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | Δ u_{k} Δ v_{k},

el fluido sobre

S_{k}

ocupa un paralelepípedo de volumen (base por altura),

Δ S_{k} ρ V \cdot N = F \cdot N Δ S_{k} \approx F \cdot N | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | Δ u_{k} Δ v_{k}

Figura 7.12: El fluido sobre

S_{k}

en “dirección” de

N

Figura 7.13: El fluido sobre

S_{k}

en contra la “dirección” de

N

4. Flujo través de una superficie S

Campos escalares y campos vectoriales.

Flujo a través de una superficie

4. Flujo través de una superficie $S$