Cambio de variables en integral triple.

16. Cambio de variables en integral triple.

La versión del teorema de cambio de variable para integrales triples es la siguiente,

Teorema 31 — Cambio de variable.

Sea $Q$ una región acotada en $ℝ^{3}$ cuya frontera consiste de un número finito de superficies suaves y que $Q$ está contenido en un conjunto abierto $U$ y sea $L (u, v, w) = (x (u, v, w), y (u, v, w), z (u, v, w))$ un cambio de variable de $U$ en $ℝ^{3}$ invertible en el interior de $Q$ y con derivadas parciales continuas. Sea $f$ una función continua y acotada sobre $L (Q)$ y sea

J (u, v, w) = Det (\begin{matrix} \frac{∂x}{∂u} & \frac{∂x}{∂v} & \frac{∂x}{∂w} \\ \frac{∂y}{∂u} & \frac{∂y}{∂v} & \frac{∂y}{∂w} \\ \frac{∂z}{∂u} & \frac{∂z}{∂v} & \frac{∂z}{∂w} \end{matrix})

no nulo en el interior de $Q,$ entonces

∭_{Q} f (L (u, v, w)) | J (u, v, u) | du dv dw = ∭_{L (Q)} f (x, y, z) dx dy dz

Ejemplo177Volumen de un Paralelepípedo

Consideremos un paralelepípedo $Q$ generado por los vectores $A = (2, 0, 0), B = (0, 2, 2)$ y $C = (0, 2, 0) .$ Como se sabe del álgebra lineal, el volumen de $Q$ es

V_{Q} = Det (A B C) = 8 .

Si $L : ℝ^{3} \to ℝ^{3}$ es una transformación lineal, entonces el paralelepípedo generado por $L (A), L (B)$ y $L (C),$ el cual denotamos con $L (Q),$ tiene volumen

V_{L (Q)} = Det (L) V_{Q} = Det (L) \cdot 8

Volumen: Cálculo directo. Por ejemplo sea $L$ una la transformación lineal que escala una mitad:

L (u, v, w) = (u ∕ 2, v ∕ 2 w ∕ 2)

En la Figura 6.117 se puede ver el sólido $Q$ y su escalamiento $L (Q)$

Fig. 6.117:

V_{L (Q)} = \int_{0}^{1} \int_{z}^{z + 1} \int_{0}^{1} 1 \cdot dx dy dz = 1 y V_{Q} = \int_{0}^{2} \int_{w}^{w + 2} \int_{0}^{2} 1 du dv d w = 8

Volumen: Aplicando cambio de variable. Ahora, como una verificación, calculamos

V_{L (Q)}

aplicando un cambio de variable

L

al sólido

Q

L : {\begin{matrix} x & = & \frac{u}{2} \\ y & = & \frac{v}{2} \\ z & = & \frac{w}{2} \end{matrix}

J (u, v, w) = (\begin{matrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{2} \end{matrix}) = \frac{1}{8},

y entonces, por el teorema de cambio de variable,

\begin{matrix} V_{L (Q)} & = & \iint_{R_{vw}} [\int_{0}^{2} 1 \cdot | J (u, v, w) | dw] du dv \\ = & \int_{0}^{2} \int_{w}^{w + 2} [\int_{0}^{2} 1 \cdot | \frac{1}{8} | dw] du dv = \frac{1}{8} \cdot 8 = 1 . \end{matrix}