Integral de flujo.

5. Integral de flujo.

La discusión anterior sugiere que la suma $\sum_{k = 1}^{m} F \cdot N Δ S_{k}$ puede ser una aproximación aceptable de la masa total de fluido que atraviesa $S_{k}$ en la unidad de tiempo.

Figura 7.14: El flujo neto, por unidad de tiempo, es la suma de los flujos (volúmenes de los paralelepípedos)

Si $F$ es la densidad de flujo de una corriente de fluido y $N$ es el vector unitario normal a $S$ definido por

N = \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |},

entonces la masa total de fluido (fluido neto) que pasa por

S

por unidad de tiempo “en la dirección” de

N

\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |} | | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | | dA = \iint_{D} F (r (u, v)) \cdot \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} dA

Orientación. Nuestra expresión para el flujo total lleva implícita la escongencia de uno de los dos vectores normales unitarios. Escoger un vector unitario para la región

S

es equivalente a "orientar" la región (como veremos má adelante). Esta escogencia de

N

decide el signo de

F \cdot N .

En lo que sigue, siempre vamos a escoger

N = \frac{\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}}{| | \frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v} | |} .

Figura 7.15:

S

se orienta con

N .

\iint_{S} F \cdot N dS

calcula el flujo neto en “la dirección” del

N

escogido

En las aplicaciones es frecuente convenir en cuál $N$ se escoge, para poder interpretar el resultado de $\iint_{S} F \cdot N dS$ como “flujo neto” en la dirección escogida. La integral $\iint_{S} F \cdot N dS$ calcula el flujo neto: El flujo que pasa en la “dirección” de el vector $N$ escogido, “suma” y el flujo que pasa en la “dirección contraria”, “resta“. La suma de todo esto es el flujo neto.

Caso

z = f (x, y)

Como consecuencia tenemos que si

S : z = f (x, y)

con

f

de clase

C^{1}

sobre

\bar{D},

se puede parametrizar

S

con

r (x, y) = x i + y j + f (x, y) k

y entonces

\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{xy}} F (x, y, z) \cdot (- f_{x}, - f_{y}, 1) dA

Integral de Flujo

-

Proyectando sobre varios varios planos.

a)

Proyectando sobre

XY

: Si

S : z = z (x, y)

S : G (x, y, z) = 0,

con

(x, y) \in D_{xy}

$\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{xy}} F (x, y, z (x, y)) \cdot (- z_{x}, - z_{y}, 1) dA,$

o, en "versión implícita",

$\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{xy}} F (x, y, z (x, y)) \cdot (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \frac{1}{G_{z}} dA$

b)

Proyectando sobre

XZ

: Si

S : y = y (x, z)

S : G (x, y, z) = 0,

con

(x, z) \in D_{xz}

$\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{xz}} F (x, y (x, z), z) \cdot (- y_{x}, 1, - y_{z}) dA$

o, en "versión implícita",

$\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{xz}} F (x, y (x, z), z) \cdot (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \frac{1}{G_{y}} dA$

c)

Proyectando sobre

Y Z

: Si

S : x = x (y, z)

S : G (x, y, z) = 0,

con

(y, z) \in D_{yz}

$\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{yz}} F (x (y, z), y, z) \cdot (1, - x_{y}, - x_{z}) dA$

o, en "versión implícita",

\iint_{S} F \cdot N dS = \iint_{D_{yz}} F (x (y, z), y, z) \cdot (G_{x}, G_{y}, G_{z}) \frac{1}{G_{x}} dA

La integral $\iint_{S} F \cdot N dS$ puede diferir en el signo al cambiar el plano de proyección. Esto es así porque los vectores $(- z_{x}, - z_{y}, 1),$ $(- y_{x}, 1, - y_{z})$ y $(1, - x_{y}, - x_{z})$ son paralelos pero a veces son opuestos. En todo caso, $\iint_{S} F \cdot N dS$ se interpreta como el flujo neto en la dirección del vector $N$ escogido.

Ejemplo193

Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

F (x, y, z) = (z + 1) k

S

es la superficie

z = 2 + y

con

x^{2} + y^{2} = 1 .

Solución. La superficie

S

tiene ecuación

z = 2 + y .

D_{xy}

es el círculo de radio

1 .

Entonces,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{xy}} (0, 0, z + 1) \cdot (- z_{x}, - z_{y}, 1) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (0, 0, 2 + y + 1) \cdot (0, - 1, 1) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} y + 3 dA = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{1} (3 + r sen 𝜃) r drd𝜃 = \int_{0}^{2 π} \frac{6 + sen (𝜃)}{4} d𝜃 = 3 π \end{array}

Ejemplo194

Sea

F (x, y, z) = (0, y, 0)

S

el cilindro

z = 2 - \frac{x^{2}}{2},

desde

y = 0

hasta

y = 2,

como se ve en la figura.
Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

Solución. Intuitivamente, el flujo no pasa a través de la superficie

S

, así que la integral de flujo debería ser

0 .

En este caso solo se puede proyectar sobre $Y Z$ o $XY .$ La proyección sobre $Y Z$ es un rectángulo. Sea $S : G (x, y, z) = 0$ con $G (x, y, z) = z - 2 + \frac{x^{2}}{2} .$ Entonces,

\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{yz}} F \cdot \frac{\nabla G}{G_{x}} dA \end{matrix}

Ejemplo195

Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

F (x, y, z) = (x, yz, xy)

y $S$ el cilindro de ecuación $y = 4 - x^{2}$ limitado por el plano $x + z = 2,$ tal y como se muestra en la figura de la derecha.

Solución. La superficie $S$ tiene ecuación $G (x, y, z) = 0$ con $G (x, y, z) = y + x^{2} + 4$ . La proyección de $S$ sobre el plano $XZ$ es un triángulo.

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{xz}} (x, yz, xy) \cdot \frac{\nabla G}{G_{y}} dA \\ = & \iint_{D_{xz}} (x, yz, xy) \cdot (2 x, 1, 0) dA \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - x} (2 x^{2} + y z) dzdx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - x} (2 x^{2} + (4 - x^{2}) z) dzdx = \frac{112}{15} \end{array}

Si calculamos proyectando sobre

Y Z

tenemos

S : x = \sqrt{4 - y} .

\iint_{S} F \cdot N dS = \int_{0}^{2} \int_{4 - {(z - 2)}^{2}}^{4} (\sqrt{4 - y} + \frac{yz}{2 \sqrt{4 - y}}) dy dz

Ejemplo196

Calcular

\iint_{S} F \cdot N dS

F (x, y, z) = 4 xz i + y z^{3} j + z^{2} k

y $S$ es la superficie $z^{2} + y^{2} + x^{2} = 4$ entre $z = 1$ y $z = 2 .$

Solución. La superficie $S$ tiene ecuación $G (x, y, z) = 0$ con $G (x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2} - 4$ . La proyección $D_{xy}$ es el círculo $x^{2} + y^{2} = 3 .$ Entonces,

\begin{array}{rcl} \iint_{S} F \cdot N dS & = & \iint_{D_{xy}} (4 x z, y z^{3}, z^{2}) \cdot \frac{\nabla G}{G_{z}} dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (4 x z, y z^{3}, z^{2}) \cdot (\frac{x}{z}, \frac{y}{z}, 1) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (4 x^{2} + y^{2} z^{2} + z^{2}) dA \\ = & \iint_{D_{xy}} (4 x^{2} + y^{2} (4 - x^{2} - y^{2}) + 4 - x^{2} - y^{2}) dA \\ = & \frac{1}{2} \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{\sqrt{3}} (8 + 6 r^{2} - r^{4} + r^{4} cos 2 𝜃) r drd𝜃 \\ = & \frac{21 π}{4} . \end{array}