Vamos a proyectar sobre el plano $\mathit{XY}.$ La proyección es el círculo $x^2+y^2\le 2.$

• Como $z=\sqrt{9-x^2-y^2}$ entonces podemos poner $N={\displaystyle \frac{(-x∕z,-y∕z,1)}{||(-x∕z,-y∕z,1)||}}.$ Luego,

$$\begin{array}{rcll}{\iint }_{S}F\cdot N\mathit{dS}& =& {\iint }_S(y,-x,8z)\cdot {\displaystyle \frac{(-x∕z,-y∕z,1)}{||(-x∕z,-y∕z,1)||}}||(-x∕z,-y∕z,1)||\mathit{dA}& \\ & =& {\iint }_{D}8z\mathit{dA}& \\ & & & \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2}8\sqrt{9-r^2}r\mathit{drd𝜃}& \\ & & & \\ & =& {\displaystyle \frac{16\pi (5^{3∕2}-9^{3∕2})}{-3}}& \\ & & & \end{array}$$

Observe que debe calcular con $N$ siempre exterior al sólido $E.$

${\iint }_{S}F\cdot N\mathit{dS}=\pi$

$${\iint }_{S}F\cdot N\mathit{dS}={\iint }_{R_{\mathit{xy}}}(x,y,1+x^2+y^2)\cdot (-2x,-2y,1)\mathit{dA}={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{2\pi }{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^{\sqrt{2}}(1-r^2)r\mathit{drd𝜃}$$

$$\begin{array}{rcll}{\iint }_{S}F\cdot N\mathrm{dS}& =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^3{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^3(0,x+y,1-{(x-2)}^3)\cdot (-3{(x-2)}^2,0,1)\mathit{dydx}& \\ & & & \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^3{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^3(1-{(x-2)}^3)\mathit{dydx}& \\ & & & \\ & =& {\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^3{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_0^3(-x^3+6x^2-12x+9)\mathit{dydx}& \\ & & & \\ & =& 3{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^3(-x^3+6x^2-12x+9)\mathit{dx}=3{\left(-\frac{x^4}{4}+2x^3-6x^2+9x\right)|}_0^3=6& \\ & & & \end{array}$$

Proyectamos sobre $\mathit{XY}$

$\begin{array}{ccc}\hfill A_S& \hfill =\hfill & {\iint }_S\mathrm{dS}\hfill \\ \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\int }_{\pi ∕4}^{\pi ∕2}{\int \; <!--\; nolimits\; -->}_1^{\sqrt{3}}\sqrt{1+4r^2}r\mathit{dr}\mathit{d𝜃}\hfill \\ \hfill \end{array}$

Proyectamos sobre $\mathit{XY}.$