Superficies parametrizadas.

1. Superficies parametrizadas.

Recordemos que un conjunto $D \subset ℝ^{2}$ es conexo si no puede ser expresado como unión disjunta de dos conjuntos abiertos no vacíos. Intuitivamente, un conjunto conexo es un conjunto de una sola pieza.

Fig. 7.1: Conjunto conexo

Fig. 7.2: Conjunto no conexo

Superficie parametrizada. Si

S

es una superficie en

ℝ^{3}

entonces una parametrización de

S

(Sección 9.) es una función

r : D \subset ℝ^{2} \to ℝ^{3},

tal que

r (D) \subseteq S

. En las aplicaciones se piden propiedades adicionales a la función

r

Parametrización continua e inyectiva. Si

D \subset ℝ^{2}

es abierto y conexo. Una parametrización continua

r : D \subset ℝ^{2} \to ℝ^{3},

inyectiva sobre

D

(excepto talvez en la frontera de

D

) se le llama "parametrización de la superfice"

S = r (D) .

Escribimos

S : r (u, v) = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k, (u, v) \in D .

Curvas en

S

. Los conjuntos

r (u_{0}, v)

r (u, v_{0})

(con

u_{0}

v_{0}

fijos) son curvas de la superficie

S .

Vectores tangentes y un vector normal Sea

S : r (u, v) = x (u, v) i + y (u, v) j + z (u, v) k

con

(u, v) \in D .

r

es de clase

C^{1}

x (u, v), y (u, v)

z (u, v)

son de clase

C^{1}

(funciones continuamente diferenciables). Si

P = (u_{0}, v_{0}, z (u_{0}, v_{0})) \in S,

los vectores

{\frac{\partial r}{∂u} |}_{P} = {(\frac{∂x}{∂u}, \frac{∂y}{∂u}, \frac{∂z}{∂u}) |}_{P} y {\frac{\partial r}{∂v} |}_{P} = {(\frac{∂x}{∂v}, \frac{∂y}{∂v}, \frac{∂z}{∂v}) |}_{P}

son vectores tangentes a las curvas

r (u_{0}, v)

r (u, v_{0})

y decimos que estos vectores son tangentes a

S

P .

El vector

N = {(\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}) |}_{P}

es normal a

S

P .

Definición 24 — Superficie regular o suave.

Sea $D \subset ℝ^{2}$ un conjunto abierto y sea

r : D \to ℝ^{3}

una parametrización de clase $C^{1}$ . Se dice que la superficie paramétrica

S = r (D)

es regular (o suave) en el punto $(u, v) \in D$ si se cumple que

\frac{\partial r}{∂u} (u, v) \times \frac{\partial r}{∂v} (u, v) \neq 0 .

Equivalentemente, los vectores tangentes $r_{u}$ y $r_{v}$ son linealmente independientes en ese punto.

Si la propiedad anterior se cumple para todo $(u, v) \in D$ , entonces se dice que $S$ es una superficie regular (o suave) en todo su dominio.

Por otro lado, se dice que $S$ es regular a trozos si puede ser expresada como unión finita de superficies regulares, cada una definida sobre subconjuntos cerrados de $D$ con interiores disjuntos, y cuyas parametrizaciones coinciden en las fronteras comunes (cuando corresponda).

Propósito: Visualizar sobre una superficie regular $S : z = f (x, y)$ parametrizada por $r (x, y)$ , los siguientes elementos:

a: Punto $P = (x_{0}, y_{0}, f (x_{0}, y_{0}))$
b: Curvas $r (x_{0}, y)$ y $r (x, y_{0})$ (en color café)
c: Vectores tangentes ${\frac{\partial r}{∂x} |}_{P}$ y ${\frac{\partial r}{∂y} |}_{P}$
d: Vector normal $N = {(\frac{\partial r}{∂u} \times \frac{\partial r}{∂v}) |}_{P}$

Caso

S : z = f (x, y) .

Si una superficie regular

S : z = f (x, y), (x, y) \in D,

se puede parametrizar como

r (x, y) = x i + y j + f (x, y) k, (x, y) \in D

Entonces si

P = (x, y, f (x, y)) \in S

{\frac{\partial r}{∂x} |}_{P} = (1, 0, z_{x}) |_{P} y {\frac{\partial r}{∂y} |}_{P} = (0, 1, z_{y}) |_{P}

, son vectores tangentes en a

S

P

Un vector normal a la superficie

S

P

{N = \frac{\partial r}{∂x} \times \frac{\partial r}{∂y} |}_{P} = (- z_{x}, - z_{y}, 1) |_{P} \neq 0 .

Llamamos al vector

N

el vector normal estándar asociado a

r .

Ejemplo188Parametrizar un disco

Sea $S$ un disco de radio $1$ , centrado en el origen, en el plano $XY$ (Figura 7.3).

S : z = 0 con D = {(x, y) \in ℝ^{2} tal que x^{2} + y^{2} \leq 1}

Una parametrización de

S

\begin{matrix} r (x, y) & = & x i + y j + 0 \cdot k \\ = & (x, y, 0) \end{matrix} (x, y) \in D .

Fig. 7.3: Superficie

S

Ejemplo189Parametrización

Sea

S

la porción del paraboloide

z = x^{2} + y^{2}

entre

z = 0

z = 1 .

El dominio de

S

(proyectando sobre el plano

XY

) es el disco

D = {(x, y) tal que x^{2} + y^{2} \leq 1} .

Entonces $S$ se puede parametrizar como,

\begin{matrix} S : & r (x, y) = x i + y j + (x^{2} + y^{2}) k \\ (x, y) \in D = {(x, y) : x^{2} + y^{2} \leq 1} \end{matrix}

Fig. 7.4: Superficie

S

Como $z = x^{2} + y^{2}$ se puede ver como "una colección de circunferencias de radio $\sqrt{z},$ " entonces otra parametrización es

\begin{matrix} S : & r (𝜃, z) = \sqrt{z} cos 𝜃 i + \sqrt{z} sen 𝜃 j + z k \\ D : 𝜃 \in [0, 2 π [y z \in [0, 1] . \end{matrix}

Ejemplo190Parametrización

Considere el cilindro

S : x^{2} + y^{2} = a^{2}, 0 \leq z \leq h .

(Figura 7.5).
Esta superficie se puede parametrizar usando coordenadas cilíndricas (Sección 11.):

$\begin{matrix} S : & r (𝜃, z) = a cos 𝜃 i + a sen 𝜃 j + z k \\ (𝜃, z) \in D = [0, 2 π [\times [0, h] \end{matrix}$

Fig. 7.5: Superficie

S

Ejemplo191Parametrización de una esfera

Una representación paramétrica de una esfera de radio $a,$ en coordenadas esféricas (Sección 11.), es

r (𝜃, φ) = (a sen φ cos 𝜃, a sen φ sen 𝜃, a cos φ), con (𝜃, φ) \in [0, 2 π [\times [0, π] .