Curvas regulares

1. Curvas regulares

En el capítulo estudiamos las curvas y sus parametrizaciones. Recordemos que una trayectoria $C$ en $ℝ^{n}$ es una función continua $r : [a, b] \to ℝ^{n} .$ Si la función vectorial $r$ es continua en $[a, b],$ entonces a la representación gráfica de $r$ se le llama curva y decimos que esta curva esta descrita paramétricamente por $r (t) .$ Escribimos

C : r (t) con t \in [a, b]

•Si

r (a) = r (b),

la curva se dice cerrada.

•Si $r$ es inyectiva en $[a, b],$ la curva se dice simple. Si $r$ es cerrada y es inyectiva en $] a, b],$ la curva se dice cerrada simple. Las curvas cerradas simples se llaman curvas de Jordan.

•A $r$ le llamamos una parametrización de $C .$

Figura 8.1: Curvas

Curvas regulares. Decimos que la curva

C

es regular o ’suave’ en

[a, b]

r^{'} (t)

es continua en

[a, b]

r^{'} (t) \neq 0

para todo

t \in [a, b]

(es decir las componentes de

r

no se anulan simultáneamente). También decimos que una curva

C

es regular a trozos en

[a, b]

si es regular en cada subintervalo de alguna partición finita de

[a, b] .

Ejemplo206(Curvas Orientadas).

Consideremos las curvas $C_{1}$ y $C_{2}$

Figura 8.2: Curvas

C_{1}

C_{2} .

Ambas curvas tienen ecuación, en coordenadas rectangulares, $y = x^{2}$ con $x \in [- 1, 2] .$ Pero $C_{1}$ inicia en $A = (- 1, 1)$ y termina en $B = (2, 4);$ mientras que $C_{2}$ inicia en $B$ y termina en $A .$

Para parametrizar cada curva debemos tomar en cuenta su orientación.

•

Una parametrización de

C_{1}

es (tomando a

x = t

como parámetro),

r (t) = (x (t), y (t)) = (\underset{x (t)}{\underset{⏟}{t}}, \underset{y (t)}{\underset{⏟}{t^{2}}}) o también r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{t}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{t^{2}}} j con t \in [- 1, 2] .

Observe que

$r (- 1) = (x (- 1), y (- 1)) = (- 1, {(- 1)}^{2}) = A$ y $r (2) = (2, 2^{2}) = B .$

•

C_{2}

solo difiere de

C_{1}

en la orientación. Podemos usar la misma parametrización de

C_{1}

pero usando la notación

- C_{2}

para indicar que la orientación está invertida.

- C_{2} : r (t) = (x (t), y (t)) = (t, t^{2}), t \in [- 1, 2] .

Cambio de orientación.

si $r (t)$ es una parametrización con $t \in [a, b]$ , entonces una parametrización que invierte la orientación es $r_{1} (t) = r (a + b - t)$ con $t \in [a, b]$

Curvas en coordenadas polares

r = g (𝜃)

. Si la curva

C

tiene ecuación

r = g (𝜃)

entonces una parametrización es

r (t) = (g (t) cos t, g (t) sen t) .

Parametrizar una elipse contra-reloj. Una elipse de ecuación

\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1

se puede parametrizar con

r (t) = (h + a cos t) i + (k + b sen t) j con t \in [0, 2 π [.

En particular la circunferencia ${(x - h)}^{2} + {(y - k)}^{2} = a^{2}$ se puede parametrizar con

r (t) = (h + a cos t) i + (k + a sen t) j con t \in [0, 2 π [.

Parametrizar una hipérbola. En cálculo, las parametrizaciones usando las funciones

senh (t)

cosh (t)

posiblemente sean las mejores. En otras aplicaciones, las parametrizaciones algebraicas son las adecuadas.

Si la ecuación canónica es $\frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1,$ entonces son dos ramas,

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a cosh (t), k + b senh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

Si la ecuación canónica es $\frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} = 1,$ entonces son dos ramas,

\begin{matrix} r_{1} (t) & = & (h + a senh (t), k + b cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}

• Usando la parametrizaciones $r_{1}$ y $r_{2}$ para cada rama, $r_{i} (0)$ es el vértice respectivo y $r_{i} (t)$ y $r_{i} (- t)$ son simétricos respecto al eje focal.

Figura 8.3: Simetría

Parametrizar cónicas con rotación: Varias maneras de parametrizar cónicas con rotación se muestran en el apéndice .

Ejemplo207

Sea $C$ la curva de ecuación

{(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 16; z = 3 .

Se trata de una circunferencia en el plano $z = 3,$ es decir, un caso particular de elipse. Una parametrización es

r (t) = (1 + 4 cos t) i + (2 + 4 sen t) j + 3 k, t \in [0, 2 π [

Observe que $r (0) = (5, 2, 3) = r (2 π) .$

Figura 8.4: Curva

C .

Ejemplo208

Considere la curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4} + C_{5} + C_{6}

. La curva inicia en

A = (2, 0, 0)

y fnaliza en

B = (2, 4, 1) .

La curva

C_{1}

es el trozo de circunferencia

x^{2} + z^{2} = 4

y las otras curvas son segmentos de recta, tal y como se ve en la figura. Parametrizar

C .

Solución.

•

C_{1}

es un cuarto de circunferencia de radio

2,

en el plano

XZ .

La podemos parametrizar con

C_{1} : r_{1} (t) = (2 cos t, 0, 2 sen t), t \in [0, π ∕ 2]

•

C_{2}

es un segmento de recta paralelo el eje

Y .

Podemos tomar como parámetro a

y = t,

además

x (t) = 0

z (t) = 2 .

Una parametrización es

C_{2} : r_{2} (t) = (0, t, 2), t \in [0, 2],

•

C_{3}

es un segmento de recta paralelo el eje

X .

Podemos tomar como parámetro a

x = t,

además

y (t) = 2

z (t) = 2 .

Una parametrización es

C_{3} : r_{3} (t) = (t, 2, 2), t \in [0, 2],

•

C_{4}

es un segmento de recta paralelo el eje

Z .

Podemos tomar como parámetro a

z = t,

además

y (t) = 2

x (t) = 2 .

t \in [0, 2],

la orientación queda invertida, lo cual denotamos con

- C_{4}

en la parametrización que sigue,

- C_{4} : r_{4} (t) = (2, 2, t), t \in [0, 2]

•

C_{5}

es un segmento de recta paralelo el eje

Y .

Podemos tomar como parámetro a

y = t,

además

x (t) = 2

z (t) = 0 .

Una parametrización es

C_{5} : r_{5} (t) = (2, t, 0), t \in [2, 4]

•

C_{6}

es un segmento de recta paralelo el eje

Z .

Podemos tomar como parámetro a

z = t,

además

y (t) = 4

x (t) = 2 .

Una parametrización es

C_{6} : r_{6} (t) = (2, 4, t), t \in [0, 1]

Ejemplo209

Para las siguientes cónicas, parametrice y realice la representación gráfica

1.: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$
2.: ${(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$

Solución.

1.: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ Es la ecuación canónica de una circunferencia en el plano $xy,$ de centro $(- 1, 0)$ y radio $2 .$

Una parametrización es $r (t) = (- 1 + 2 cos (t)) i + 2 sen (t) j, t \in [0, 2 π]$
2.: $\frac{{(z - 1)}^{2}}{\frac{1}{2}} - \frac{{(y - 2)}^{2}}{\frac{1}{2}} = 1$ es la ecuación canónica de una hipérbola en el plano $yz,$ de centro $(2, 1) .$ Abre en dirección del eje $z$

Una parametrización es ${\begin{matrix} r_{1} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 + \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \\ r_{2} (t) = (2 + \sqrt{\frac{1}{2}} senh (t), 1 - \sqrt{\frac{1}{2}} cosh (t)), t \in ℝ \end{matrix}$

Figura 8.5: ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$

Figura 8.6: ${(z - 1)}^{2} - {(y - 2)}^{2} = \frac{1}{2}$

Segmentos de recta. Recordemos del capítulo que el segmento de recta que va de

A

hasta

B

se puede parametrizar con

r (t) = A + t (B - A) con t \in [0, 1] .

El punto inicial es $r (0) = A + 0 \cdot (B - A) = A;$ el punto final es $r (1) = A + 1 \cdot (B - A) = B .$

Los segmentos paralelos a los ejes es mejor parametrizarlos usando $x = t,$ $y = t$ o $z = t,$ según corresponda.

Ejemplo210

Considere la curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

tal y como se muestra en la figura. Parametrizar

C .

Solución.

•: $C_{1}$ es un segmento de recta sobre el eje $Y$ por tanto $x (t) = 0$ y $z (t) = 0 .$ Una parametrización es $r_{1} (t) = (0, t, 0) con t \in [0, 3] .$
•: $C_{2}$ es un cuarto de circunferencia de radio $3,$ en el plano $Y Z .$ Lo podemos parametrizar con

r_{2} (t) = (0, 3 cos t, 3 sen t) con t \in [0, π ∕ 2] .

•

C_{3}

es un segmento de recta que va de

(2, 1, 2)

hasta

(0, 0, 3) .

Podemos parametrizar con

r_{3} (t) = (2, 1, 2) + t [(0, 0, 3) - (2, 1, 2)] = (2 - 2 t, 1 - t, 2 + 2 t) con t \in [0, 1]

Ejemplo211

Determine una parametrización para $C = C_{1} + C_{2} + C_{3}$ de la figura adjunta.

Figura 8.7: Curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

Solución. El segmento $C_{1}$ lo parametrizamos con la fórmula $r_{1} (t) = A + t \cdot (B - A), t \in [0, 1]$ . Para el segmento $C_{2}$ podemos usar $x = t$ como parámetro y para el segmento $C_{3}$ podemos usar $y = t$ como parámetro. En los tres casos la orientación queda invertida.

C : {\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) = (2, 0, 2) + t \cdot [(0, 2, 0) - (2, 0, 2)] = (2 - 2 t) i + 2 t j + (2 - 2 t) k, t \in [0, 1] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = t i + 2 j, t \in [0, 3] \end{matrix}

Ejemplo212

Considere las curvas

C_{1} : z = 4 - x^{2}, y = 0

C_{2}

la curva de intersección entre las superficies

S_{1} : z = 4 - x^{2}

y el plano

S_{2} : x + y = 3

en el primer octante. Determine una parametrización para

C_{1}

C_{2}

Solución.

• Si tomamos a $x = t,$ entonces ${\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) & = & (t, 0, 4 - t^{2}), t \in [0, 2] \\ C_{2} : r_{2} (t) & = & (t, 3 - t, 4 - t^{2}), t \in [0, 2] \end{matrix}$

• Si tomamos a

y = t,

entonces

- C_{2} : r_{2} (t) = (3 - t, t, 4 - {(3 - t)}^{2}), t \in [1, 3]

• Si tomamos a

z = t,

entonces

{\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (\sqrt{4 - t}, 0, t), t \in [0, 4] \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (\sqrt{4 - t}, 3 - \sqrt{4 - t}, t), t \in [0, 4] \end{matrix}

Ejemplo213

Considere la curva

C

de intersección entre el plano

2 x - 2 y + z = 2

y el cilindro

y^{2} + z^{2} = 4 .

Determine una parametrización para

C

.
Solución. Los puntos de

C

son puntos

(x (t), y (t), z (t))

en donde

y (t)

z (t)

están en la circunferencia

y^{2} + z^{2} = 4

, es decir, podemos poner

y (t) = 2 cos t

z (t) = 2 sen t .

Como $x (t)$ está en el plano $2 x - 2 y + z = 2$ , despejando: $x (t) = 1 - z (t) ∕ 2 + y (t),$ ahora podemos escribir

C : r (t) = (1 + 2 cos t - sen t, 2 cos t, 2 sen t) con t \in [0, π ∕ 2]

Ejemplo214

Considere la curva

C

de intersección entre el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1

y el plano

z = 2 - x

. Parametrizar

C .

Solución. Hay varias maneras de parametrizar

C .

Veamos dos maneras.

•: Primera manera: Los puntos de $C$ son puntos $(x (t), y (t), z (t))$ con $x (t)$ y $y (t)$ sobre la circunfe-rencia $x^{2} + y^{2} = 1,$ por lo tanto podemos poner $x (t) = cos t$ y $y (t) = sen t$ . Como $z (t)$ está en el plano $z = 2 - x,$ entonces $z (t) = 2 - x (t) .$

Una parametrización podría ser

C : r (t) = (cos t, sen t, 2 - cos t) con t \in [0, π ∕ 2]

Observe que $r (0) = (1, 0, 1)$ y que $r (π ∕ 2) = (0, 1, 2) .$

•

Segunda manera: Ver los puntos de

C

con

x (t)

z (t)

sobre la recta

z = 2 - x

y (t)

en el el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1 .

Una parametrización se podría obtener tomando a

x = t

como paramétro:

- C : r (t) = (t, \sqrt{1 - t^{2}}, 2 - t) con t \in [0, 1]

La parametrización invierte la orientación, eso lo indicamos con $” - C”$ .