Integral de linea de campos vectoriales. Trabajo.

5. Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo.

Trabajo. Si se aplica una fuerza (empuje) constante $F$ (en la dirección del movimiento) para mover un objeto a una distancia $d$ en línea recta, entonces el trabajo que hace la fuerza es $W =$ Fuerza $\cdot$ distancia. Si hay un ángulo $𝜃$ entre la dirección en la que se aplica la fuerza constante y la dirección del movimiento, entonces solo la camponente de la fuerza en la dirección del desplazamiento hace algún trabajo.

Supongamos que el vector unitario $Δ r$ es la dirección del desplazamiento. Si $𝜃$ es la medida del ángulo formado por $F$ y $Δ r,$ entonces el escalar $| | F | | cos 𝜃$ es la componente de la fuerza (un escalar) en la dirección del movimiento¹ ( $0$ si $𝜃 = π ∕ 2$ y $| | F | |$ si $𝜃 = 0$ ). Luego el trabajo realizado es

W = | | F | | | | Δ r | | cos 𝜃 = F \cdot Δ r

Figura 8.10: Trabajo.

Figura 8.11:

F (x, y) = (sen y, sen x)

sobre una curva

C

Figura 8.12:

F (x, y, z) = - 0.5 (x sen y, 0, - sen z)

sobre

C

Definición 28 ((Trabajo).).

Sea $F$ un campo vectorial continuo sobre la curva $C .$ Suponemos que $C$ está orientada, es regular y simple. Entonces

W = lim_{\overset{k \to \infty}{| | M | | \to 0}} \sum_{i = 1}^{k} F (r_{i}) \cdot Δ r_{i} : = \int_{C} F \cdot d r ?

si el límite existe cuando es tomado sobre todas las particiones ordenadas $r (t_{0}), r (t_{1}), . . . r (t_{k + 1})$ de $C$ con $| | M | | = max_{i} {| | Δ r_{i} | |}$ y $Δ r_{i} = r (t_{i + 1}) - r (t_{i}), i = 1, . . ., k$

Para calcular el trabajo que hace una fuerza para mover una particula sobre una curva

C : r (t),

usamos como vector de desplazamiento el vector unitario tangente

T = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |} .

C

esta parametrizada por

r (s)

(usando la longitud de arco

s

como parámetro) con

0 \leq s \leq ℓ,

entonces como

d r = r^{'} (t) dt = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |} | | r^{'} (t) | | dt = T ds,

para calcular el trabajo sobre una curva

C

, se consideran pedazos muy pequeños de la curva, tan pequeños que son, aproximadamente, segmentos de recta y la fuerza es casi constante sobre estos pedazos de tamaño

| | T ds | | = | | d r | | .

El trabajo hecho por

F

para mover la partícula desde el inicio hasta el final de

d r

F \cdot d r .

Sumando todos los trabajos (pasando a la integral) obtenemos

$W = \int_{0}^{ℓ} (F \cdot T) ds = \int_{C} F \cdot d r$

El escalar $F \cdot d r$ puede ser positivo o negativo, dependiendo de la orientación de la curva de tal manera que lo que calculamos es "el trabajo neto". La función escalar $F \cdot T$ puede tener discontinuidades de primera espacie ligadas a algún punto esquina de $C .$

En la definición anterior,

C

puede ser regular, cerrada y simple. En particular si

C

es la unión de curvas regulares y simples

C_{1}, C_{2}, . . ., C_{n},

escribimos

C = C_{1} + C_{2} + . . . + C_{n}

y definimos

\int_{C} F \cdot d r = \int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r + \dots + \int_{C_{n}} F \cdot d r

Figura 8.13: Calculando el trabajo

W

Si $C$ está parametrizada por $r (t)$ con $t \in [a, b],$ entonces

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} (F (r (t)) \cdot \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |}) | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} (F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt

F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j

Sea $F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j,$ como $dx = x^{'} (t) dt$ y $dy = y^{'} (t) dt,$ podemos escribir

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt = \int_{a}^{b} P dx + Q dy

Es decir,

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{a}^{b} P dx + Q dy \\ = & \int_{a}^{b} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t)) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t)) dt \end{array}

F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k

Si $F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k,$ como $dx = x^{'} (t) dt,$ $dy = y^{'} (t) dt$ y $dz = z^{'} (t) dt,$ podemos escribir

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt = \int_{a}^{b} P dx + Q dy + R dz

Es decir,

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{a}^{b} P (r (t)) dx + Q (r (t)) dy + R (r (t)) dz \\ = & \int_{a}^{b} (P (x (t), y (t), z (t)), Q (x (t), y (t), z (t)), R (x (t), y (t), z (t))) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t)) dt \end{array}

Cuando una curva $C$ es parametrizada por $r (t)$ con $t \in [a, b],$ entonces inducimos una orientación en $C .$ Distintas parametrizaciones pueden inducir distintas orientaciones.

Por ejemplo, en la figura se tiene la curva $y = 2 sen (x)$ con $x \in [0, 3] .$ Dos parametrizaciones que inducen orientaciones opuestas son $r_{1} (t) = (t, sen t)$ y $r_{2} (t) = (3 - t, sen (3 - t))$ ambas con $t \in [0, 3] .$

Figura 8.14: Orientación inducida por dos parametrizaciones.

Si $r_{1} (t)$ parametriza $C$ en una dirección con vector tangente $T$ y $r_{2} (t)$ parametriza $C$ en sentido contrario, con vector tangente $- T,$ entonces denotamos la segunda curva como $- C$ y admitimos como válido que

Convenio

\int_{- C} F \cdot d r = - \int_{C} F \cdot d r

•: Más adelante, cuando veamos el teorema de Green, usaremos la siguiente noción de orientación: la curva cerrada $C$ está orientada positivamente, respecto a una región $D,$ si al movernos sobre $C,$ la región siempre está a nuestra izquierda.
•: Note que el trabajo $W$ puede ser un número negativo. Esto ocurre cuando la fuerza actúa en contra del desplazamiento de la partícula.
•: En la sección , la integral $\int_{C} F \cdot d r$ se interpreta como "la suma" de las componentes de $F$ tangentes a la curva. Si $C$ es cerrada, esta integral indica cómo $F$ tiende a circular alrededor de la curva. Esta interpretación es la que usamos para el teorema de Green.

Ejemplo221

Consideremos una fuerza constante

F (x, y) = 1 i + 0 j .

Calcule

\int_{C} F \cdot d r

C

el segmento de recta que se muestra en la figura.
Solución. Usamos a

x = t

como parámetro. La parametrización

r (t) = t i + 1 j, t \in [0, 2],

parametriza a “

- C

” pues

r (0) = (0, 1) = B

r (2) = (2, 1) = A .

Figura 8.15: Curva

C

Es costumbre escribir, $- C : r (t) = t i + 1 j, t \in [0, 2] .$ Luego, $r^{'} (t) = 1 i + 0 j$

Como $F (x, y) = 1 i + 0 j$ entonces $P (x, y) = 1$ y $Q (x, y) = 0 .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{- C} F \cdot d r \\ = & - \int_{C} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t))) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t)) dt \\ = & - \int_{0}^{2} (1, 0) \cdot (1, 0) dt = - \int_{0}^{2} 1 dt = - 2 \end{array}

Ejemplo222

Sea

F (x, y) = x i + (x + y) j .

Calcule

\int_{C} F \cdot d r

C

es la curva de ecuación es

y = x^{2}, x \in [- 1, 2]

tal y como se muestra en la figura.
Solución. Usamos a

x = t

como parámetro. La parametrización

r (t) = t i + t^{2} j, t \in [- 1, 2],

parametriza a “

- C

” pues

r (- 1) = (- 1, 1) = B

r (2) = (2, 4) = A .

Es costumbre escribir,

- C : r (t) = t i + t^{2} j, t \in [- 1, 2] .

Figura 8.16: Curva

C

Luego $r^{'} (t) = 1 i + 2 t j$

Como $F (x, y) = x i + (x + y) j$ entonces $P (x, y) = x$ y $Q (x, y) = x + y .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{- C} F \cdot d r \\ = & - \int_{C} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t))) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t)) dt \\ = & - \int_{- 1}^{2} (t, t + t^{2}) \cdot (1, 2 t) dt \\ = & - \int_{- 1}^{2} (t + 2 t^{2} + 2 t^{3}) dt = - 15 \end{array}

Ejemplo223

Calcular

\int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy

donde

C

es la elipse

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1 .

Solución. Podemos usar la parametrización

- C : r (𝜃) = 2 cos 𝜃 i + 3 sen 𝜃 j con 𝜃 \in [0, 2 π] .

Como $F (x, y) = (y^{2}, x^{2})$ entonces $P = y^{2}$ y $Q = x^{2} .$ Entonces,

Figura 8.17: Curva

C .

\begin{array}{rcl} \int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy & = & \int_{C} F \cdot d r \\ = & - \int_{0}^{2 π} (9 {sen}^{2} 𝜃, 4 {cos}^{2} 𝜃) \cdot (- 2 sen 𝜃, 3 cos 𝜃) d𝜃 \\ = & - \int_{0}^{2 π} - 18 {sen}^{3} 𝜃 + 12 {cos}^{3} 𝜃 d𝜃 = 0 (Usar: {cos}^{3} 𝜃 = (1 - {sen}^{2} 𝜃) cos 𝜃 .) \end{array}

Ejemplo224

Sea $F (x, y) = (y^{2}, x^{2}) .$ Calcule $\int_{C} F \cdot d r$ donde $C$ es la curva de la figura .

Solución. Parametrizamos

C,

{\begin{matrix} C_{1} & : & r_{1} (t) = (t, 0) con t \in [0, 1] \\ C_{2} & : & r_{2} (t) = (1, t) con t \in [0, 1] \\ - C_{3} & : & r_{3} (t) = (t, t^{2}) con t \in [0, 1] \end{matrix}

Figura 8.18: Curva

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3} .

\begin{array}{rcl} \int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy & = & \int_{C_{1}} y^{2} dx + x^{2} dy + \int_{C_{2}} y^{2} dx + x^{2} dy - \int_{- C_{3}} y^{2} dx + x^{2} dy \\ = & \int_{0}^{1} (0, t^{2}) \cdot (1, 0) dt + \int_{0}^{1} (t^{2}, 1) \cdot (0, 1) dt - \int_{0}^{1} (t^{4}, t^{2}) \cdot (1, 2 t) dt \\ = & \int_{0}^{1} 0 dt + \int_{0}^{1} 1 dt - \int_{0}^{1} [t^{4} + 2 t^{3}] dt = \frac{3}{10} . \end{array}

Ejemplo225

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y, z) = 2 x ln (yz) i + (\frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x}) j + (\frac{x^{2}}{z} + 2 z) k

y $C$ la curva de la figura.

Figura 8.19: Curva

C = C_{1} \cup C_{2} .

Solución.

${\begin{matrix} - C_{1} : & r_{1} (t) = (0, t, 1) con t \in [1, 3], \\ C_{2} : & r_{2} (t) = (0, 1, t) con t \in [1, 2] . \end{matrix}$

Luego

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r = - \int_{1}^{3} F (r_{1} (t)) \cdot r_{1}^{'} (t) dt + \int_{1}^{2} F (r_{2} (t)) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{1}^{3} F (0, t, 1) \cdot r_{1}^{'} (t) dt + \int_{1}^{2} F (0, 1, t) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{1}^{3} (0, - 5, 2) \cdot (0, 1, 0) dt + \int_{1}^{2} (0, - 5, 2 t) \cdot (0, 0, 1) dt \\ = & - \int_{1}^{3} [0 + (- 5) \cdot 1 + 0] dt + \int_{1}^{2} [0 + 0 + (2 t) \cdot 1] dt = 13 \end{array}

Ejemplo226

Sea $F (x, y, z) = (x + y) i + (y - z) j + (x + z) k$ y sea $C$ la curva de la figura . Calcular $\int_{C} F \cdot d r .$

Solución. Primero parametrizamos $C .$

$C_{1}$ se puede parametrizar usando la fórmula para el segmento de recta que va desde $A_{1} = (1, 2, 0)$ hasta $A_{2} = (0, 4, 2),$ es decir,

C_{1} : r_{1} (t) = A_{1} + t (A_{2} - A_{1}) = (1 - t) i + (2 + 2 t) j + 2 t k, con t \in [0, 1] .

$C_{2}$ se puede parametrizar tomando $z = t .$

Figura 8.20: Curva

C

${\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (1 - t) i + (2 + 2 t) j + 2 t k, t \in [0, 1], \sqrt \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (0, t^{2}, t), t \in [0, 2], r_{2} (0) = (0, 0, 0) y r_{2} (2) = A_{2} . \end{matrix}$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{C_{1}} F \cdot d r - \int_{C_{2}} F \cdot d r \\ = & \int_{0}^{1} F (r_{1} (t)) \cdot r_{1}^{'} (t) dt - \int_{0}^{2} F (r_{2} (t)) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & \int_{0}^{1} (3 + t, 2, 1 + t) \cdot (- 1, 2, 2) dt - \int_{0}^{} (t^{2}, t^{2} - t, t) \cdot (0, 2 t, 1) dt \\ = & \int_{0}^{1} (t + 3) dt - \int_{0}^{2} (t - 2 t^{2} + 2 t^{3}) dt = - \frac{23}{6} \end{array}

Ejemplo227

Sea

F (x, y, z) = (z + cos x) i + (2 z + x cos x) j + x k .

Calcular $\int_{C} F \cdot d r$ si $C = C_{1} + C_{2} + C_{3},$ tal y como se muestra en la figura de la derecha.

Solución. Una parametrización para $C$ es

$C : {\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) = (2, 1, t), t \in [0, 2] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (t, 1, 0), t \in [0, 2] \\ - C_{3} : r_{3} (t) = (0, t, 0), t \in [0, 1] \end{matrix}$

Figura 8.21:

Así

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{0}^{2} (t + cos (2), 2 t + 2 cos (2), 2) \cdot r_{1}^{'} (t) dt - \int_{0}^{2} (cos t, t cos t, t) \cdot r_{2}^{'} (t) dt - \int_{0}^{1} (t, 0, 0) \cdot r_{3}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{0}^{2} (t + cos (2), 2 t + 2 cos (2), 2) \cdot (0, 0, 1) dt - \int_{0}^{2} (cos t, t cos t, t) \cdot (1, 0, 0) dt - \int_{0}^{1} (t, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) dt \\ = & - \int_{0}^{2} 2 dt - \int_{0}^{2} cos t dt - 0 = {- 2 t |}_{0}^{2} - {sen t |}_{0}^{2} = - 4 - sen (2) \end{array}