(∗) Longitud de arco en coordenadas polares.

Ahora el parámetro será

𝜃 .

C

esta dada por

r = r (𝜃)

con

𝜃_{1} \leq 𝜃 \leq 𝜃_{2},

entonces

{\begin{matrix} x (𝜃) & = & r (𝜃) cos (𝜃) \\ y (𝜃) & = & r (𝜃) sen (𝜃) \end{matrix} ⟹ \begin{matrix} x^{'} & = & r^{'} (𝜃) cos (𝜃) - r (𝜃) sen (𝜃) \\ y^{'} & = & r^{'} (𝜃) sen (𝜃) + r (𝜃) cos (𝜃) \end{matrix}

Luego, desarrollando y simplificando: $| | (x^{'}, y^{'}) | | = \sqrt{{(x^{'})}^{2} + {(y^{'})}^{2}} = \sqrt{{(r^{'} (𝜃))}^{2} + r^{2} (𝜃)} .$ Así,

Longitud de arco en coordenadas polares

\int_{C} f ds = \int_{𝜃_{1}}^{𝜃_{2}} f (r (𝜃) cos (𝜃), r (𝜃) sen (𝜃)) \sqrt{{[r^{'} (𝜃)]}^{2} + r^{2} (𝜃)} d𝜃

Ejemplo220

Calcular

\int_{C} x \sqrt{x^{2} - y^{2}} ds

con

C

la curva de ecuación

{(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 (x^{2} - y^{2}), x \geq 0 .

Figura 8.9: Curva

C

Solución. Cambiando a polares la curva queda con ecuación

r = 2 \sqrt{cos (2 𝜃)}

donde

- \frac{π}{4} \leq 𝜃 \leq \frac{π}{4} .

Además

{(x^{'})}^{2} + {(y^{'})}^{2} = {[r^{'} (𝜃)]}^{2} + r^{2} (𝜃) = {(- \frac{2 sen (2 𝜃)}{\sqrt{cos 2 𝜃}})}^{2} + {(2 \sqrt{cos (2 𝜃)})}^{2} = \frac{4}{cos 2 𝜃}

\begin{array}{rcl} \int_{C} x \sqrt{x^{2} - y^{2}} ds & = & \int_{- π ∕ 4}^{π ∕ 4} r cos 𝜃 \sqrt{r^{2} {cos}^{2} 𝜃 - r^{2} {sen}^{2} 𝜃} \sqrt{\frac{4}{cos (2 𝜃)}} d𝜃 \\ = & 8 \int_{- π ∕ 4}^{π ∕ 4} cos 2 𝜃 cos 𝜃 d𝜃 (sustituyendo r y simplificando). \\ = & 8 \int_{- π ∕ 4}^{π ∕ 4} cos 𝜃 - 2 {sen}^{2} 𝜃 cos 𝜃 d𝜃 (sustituyendo cos 2 𝜃 = {cos}^{2} 𝜃 - {sen}^{2} 𝜃) \\ = & {sen 𝜃 - 2 \frac{{sen}^{3} 𝜃}{3} |}_{- π ∕ 4}^{π ∕ 4} = \frac{16 \sqrt{2}}{3 .} \end{array}