Ejercicios

3.1 Calcular

\int_{C} x y^{2} ds

donde

C

es la mitad superior de la circunferencia de ecuación

x^{2} + y^{2} = 16

La circunferencia se parametriza como

r (t) = (4 cos t, 4 sen t)

con

t \in [0, π]

.

$\int_{C} x y^{2} ds = 64 \int_{0}^{π} cos t {sen}^{2} t dt = 0$

3.2 Calcular

\int_{C} x ds

donde

C

es el arco de parábola

C : y = x^{2}

con

x \in [- 1, 1] .

\int_{C} x ds = \int_{- 1}^{1} t \sqrt{1 + 4 t^{2}} dt = 0

3.3 Calcular

\int_{C} \frac{xy + z}{2 x - y} ds

donde

C

es el segmento de recta que va de

(0, 0, 0)

a

(1, 1, 0) .

C : r (t) = (t, t, 0)

con

t \in [0, 1] .

$\int_{C} \frac{xy + z}{2 x - y} ds = \int_{0}^{1} t \sqrt{2} dt$

3.4

Calcule la integral de línea

\int_{C} \frac{x + y + z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} ds

donde $C$ es el segmento de recta que va desde $A = (1, 1, 1)$ hasta el punto $B = (2, 2, 2),$ tal y como se muestra en la figura a la derecha

Una parametrización de

C

es

r (t) = (t, t, t)

con

t \in [1, 2] .

Luego,

r^{'} (t) = (1, 1, 1)

y entonces

\begin{array}{rcl} \int_{C} \frac{x + y + z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} ds & = & \int_{1}^{2} \frac{t + t + t}{t^{2} + t^{2} + t^{2}} \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} dt \\ = & \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{3}}{t} dt = \sqrt{3} ln | t | |_{1}^{2} = \sqrt{3} ln 2 \end{array}

3.5

Calcule la integral de línea

\int_{C} \frac{x^{2} + 2 y}{\sqrt{33 - 8 z}} ds

donde $C$ es la curva que se muestra en la figura a la derecha

\int_{C} \frac{x^{2} + 2 y}{\sqrt{33 - 8 z}} ds = \int_{- 1}^{1} 8 - t^{2} dt

3.6

Calcule la integral de línea

\int_{C} x + y + z - 2 ds

donde $C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$ es la curva que se muestra en la figura a la derecha