Integral de linea para campos escalares.

3. Integral de línea para campos escalares.

Masa de un alambre. Consideremos un trozo de alambre delgado cuya masa varía continuamente y tiene valor $ρ (x)$ gramos por centímetro en el punto $x$ sobre $C .$

Para estimar la masa total sobre $C,$ hacemos una partición de $C :$ ${r (t_{0}), r (t_{1}), . . ., r (t_{k + 1})}$ donde $r$ es una parametrización de $C .$

Si $Δ s_{i} = | | r (t_{i + 1}) - r (t_{i}) | |$ centímetros, la masa del segemento que va de $r (t_{i + 1})$ a $r (t_{i})$ es aproximadamente $ρ (r (t_{i})) Δ s_{i}$ gramos y la masa total $m$ del alambre sería

m \approx \sum_{i = 1}^{k} ρ (r (t_{i})) Δ s_{i}

Esta es una suma de Riemman y por tanto podemos tomar el límite (si existe): $m = \int_{C} ρ (x) ds$

Generalizando la fórmula, si

Δ s_{i} = | | r (t_{i + 1}) - r (t_{i}) | | = | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t

, entonces

\int_{C} f ds = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{k} f (r (t_{i})) | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t

Definición 27.

Sea $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ$ continua y $C$ una curva suave y simple, contenida en $U$ y parametrizada por $r (t)$ con $t \in [a, b],$ entonces la integral de línea de $f$ sobre $C$ es

\int_{C} f ds = \int_{a}^{b} f (r (t)) | | r^{'} (t) | | dt

Ejemplo217

Sea $C$ el arco de parábola $x = y^{2}$ con $y \in [0, \sqrt{2}] .$ Calcular $\int_{C} (2 x - 2 y^{2} + 8 y) ds$

Solución. Usemos $y = t$ como parámetro,

C : r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{t^{2}}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{t}} j con t \in [0, \sqrt{2}] .

r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{2 t}} i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{1}} j

Entonces $ds = | | r^{'} (t) | | dt = \sqrt{{[x^{'} (t)]}^{2} + {[y^{'} (t)]}^{2}} dt = \sqrt{{(2 t)}^{2} + 1^{2}} dt$

\begin{array}{rcl} \int_{C} (2 x - 2 y^{2} + 8 y) ds & = & \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 t^{2} - 2 t^{2} + 8 t) \sqrt{{(2 t)}^{2} + 1^{2}} dt \\ = & \int_{0}^{\sqrt{2}} 8 t \sqrt{4 t^{2} + 1} dt \\ = & {\frac{2}{3} {(4 t^{2} + 1)}^{3 ∕ 2} |}_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{52}{3} \end{array}

Ejemplo218

Calcular $\int_{C} {(x^{2} + y^{2})}^{5} ds$ con $C$ la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 4 .$

Solución. Una parametrización de la circunferencia es

C : r (t) = 2 cos t i + 2 sen t j, con t \in [0, 2 π] .

Como $ds = | | r^{'} (t) | | dt = | | 4 {sen}^{2} t + 4 {cos}^{2} t | | dt = 2 dt$ entonces

\int_{C} {(x^{2} + y^{2})}^{5} ds = \int_{0}^{2 π} 4^{5} 2 dt = 2 \cdot 4^{5} \cdot 2 π .

Ejemplo219

Calcular $\int_{C} \frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2}} ds$ con $C$ la espira (una vuelta) de la hélice $x (t) = 2 cos (t), y (t) = 2 sen (t), z (t) = 2 t .$

Solución. Como $| | r^{'} (t) | | = | | 4 {sen}^{2} t + 4 {cos}^{2} t + 4 | | = \sqrt{8},$ entonces

\int_{C} \frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2}} ds = \int_{0}^{2 π} \frac{4 t^{2}}{4} \sqrt{8} dt = \frac{16 \sqrt{2}}{3} π^{3} .