Integral de linea para campos escalares.

5. Integral de línea para campos escalares.

Masa de un alambre. Consideremos un trozo de alambre delgado cuya masa varía continuamente y tiene valor $ρ (x)$ gramos por centímetro en el punto $x$ sobre $C .$

Para estimar la masa total sobre $C,$ hacemos una partición de $C :$ ${r (t_{0}), r (t_{1}), . . ., r (t_{k})}$ donde $r$ es una parametrización de $C .$

Si $Δ s_{i} = | | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | |$ centímetros, la masa del segmento que va de $r (t_{i - 1})$ a $r (t_{i})$ es aproximadamente $ρ (r (t_{i})) Δ s_{i}$ gramos y la masa total $m$ del alambre sería

m \approx \sum_{i = 1}^{k} ρ (r (t_{i})) Δ s_{i}

Esta es una suma de Riemann y por tanto podemos tomar el límite (si existe):

$m = \int_{C} ρ (x) ds$

Generalizando la fórmula, si

s (t)

denota la longitud de arco recorrida hasta el parámetro

t,

entonces

s^{'} (t) = | | r^{'} (t) | |

y, aplicando el Teorema del Valor Medio a la función escalar

s,

existe

ξ_{i} \in (t_{i - 1}, t_{i})

tal que

Δ s_{i} = | | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | | = | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t

entonces

\int_{C} f ds = lim_{k \to \infty} \sum_{i = 1}^{k} f (r (t_{i})) | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t

1: Tenemos una función $z = f (x, y)$ y la evaluamos en una trayectoria $C : r (t), t \in [a, b]$ (Figura 9.24)
2: En la trayectoria hacemos una partición de $C : r (t_{0}), r (t_{1}), . . ., r (t_{n})$ .
La medida de cada segmento (Figura 9.25) que va de $r (t_{i - 1})$ a $r (t_{i})$ se puede expresar como $| | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | | = | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t con ξ_{i} \in (t_{i - 1}, t_{i})$
3: Tenemos entonces una suma de Riemann (Figura 9.26) $\sum_{i = 1}^{k} f (r (t_{i})) | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t$
4: Ahora la idea intuitiva es que la curva $C$ se estira (Figura 9.27) sobre el eje $t$ , en el intervalos $[a, b]$ y calculamos la integral como un límite $\int_{C} f ds = lim_{k \to \infty} \sum_{i = 1}^{k} f (r (t_{i})) | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t$

Fig. 9.24:

f (r (t))

Fig. 9.25:

| | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | | = | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t

Fig. 9.26:

\sum_{i = 1}^{k} f (r (t_{i})) | | r^{'} (ξ_{i}) | | Δ t

Fig. 9.27: Curva

C

estirada

Definición 48 — Integral de línea respecto a la longitud de arco.

Sea $f : U \subset ℝ^{n} \to ℝ$ continua y $C$ una curva suave y simple, contenida en $U$ y parametrizada por $r (t)$ con $t \in [a, b],$ entonces la integral de línea de $f$ sobre $C$ es

\int_{C} f ds = \int_{a}^{b} f (r (t)) | | r^{'} (t) | | dt

Ejemplo284Integral de línea

Sea $C$ el arco de parábola $x = y^{2}$ con $y \in [0, \sqrt{2}] .$ Calcular $\int_{C} (2 x - 2 y^{2} + 8 y) ds$

Solución. Usemos $y = t$ como parámetro,

C : r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{t^{2}}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{t}} j con t \in [0, \sqrt{2}] .

r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{2 t}} i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{1}} j

Entonces $ds = | | r^{'} (t) | | dt = \sqrt{{[x^{'} (t)]}^{2} + {[y^{'} (t)]}^{2}} dt = \sqrt{{(2 t)}^{2} + 1^{2}} dt$

\begin{array}{rcl} \int_{C} (2 x - 2 y^{2} + 8 y) ds & = & \int_{0}^{\sqrt{2}} (2 t^{2} - 2 t^{2} + 8 t) \sqrt{{(2 t)}^{2} + 1^{2}} dt \\ = & \int_{0}^{\sqrt{2}} 8 t \sqrt{4 t^{2} + 1} dt \\ = & {\frac{2}{3} {(4 t^{2} + 1)}^{3 ∕ 2} |}_{0}^{\sqrt{2}} = \frac{52}{3} \end{array}

Ejemplo285Integral de línea

Calcular $\int_{C} {(x^{2} + y^{2})}^{5} ds$ con $C$ la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 4 .$

Solución. Una parametrización de la circunferencia es

C : r (t) = 2 cos t i + 2 sen t j, con t \in [0, 2 π] .

Como $ds = | | r^{'} (t) | | dt = | | 4 sen^{2} t + 4 cos^{2} t | | dt = 2 dt$ entonces

\int_{C} {(x^{2} + y^{2})}^{5} ds = \int_{0}^{2 π} 4^{5} 2 dt = 2 \cdot 4^{5} \cdot 2 π .

Ejemplo286Integral de línea

Calcular $\int_{C} \frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2}} ds$ con $C$ la espira (una vuelta) de la hélice

x (t) = 2 cos (t), y (t) = 2 sen (t), z (t) = 2 t

Solución. Como $| | r^{'} (t) | | = | | 4 sen^{2} t + 4 cos^{2} t + 4 | | = \sqrt{8},$ entonces

\int_{C} \frac{z^{2}}{x^{2} + y^{2}} ds = \int_{0}^{2 π} \frac{4 t^{2}}{4} \sqrt{8} dt = \frac{16 \sqrt{2}}{3} π^{3} .

6.1 Calcular

\int_{C} x y^{2} ds

donde

C

es la mitad superior de la circunferencia de ecuación

x^{2} + y^{2} = 16

La circunferencia se parametriza como

r (t) = (4 cos t, 4 sen t)

con

t \in [0, π]

$\int_{C} x y^{2} ds = 64 \int_{0}^{π} cos t sen^{2} t dt = 0$

6.2 Calcular

\int_{C} x ds

donde

C

es el arco de parábola

C : y = x^{2}

con

x \in [- 1, 1] .

\int_{C} x ds = \int_{- 1}^{1} t \sqrt{1 + 4 t^{2}} dt = 0

6.3 Calcular

\int_{C} \frac{xy + z}{2 x - y} ds

donde

C

es el segmento de recta que va de

(0, 0, 0)

(1, 1, 0) .

C : r (t) = (t, t, 0)

con

t \in [0, 1] .

$\int_{C} \frac{xy + z}{2 x - y} ds = \int_{0}^{1} t \sqrt{2} dt$

6.4

Calcule la integral de línea

\int_{C} \frac{x + y + z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} ds

donde $C$ es el segmento de recta que va desde $A = (1, 1, 1)$ hasta el punto $B = (2, 2, 2),$ tal y como se muestra en la Figura 9.28

Fig. 9.28:

Una parametrización de

C

r (t) = (t, t, t)

con

t \in [1, 2] .

Luego,

r^{'} (t) = (1, 1, 1)

y entonces

\begin{array}{rcl} \int_{C} \frac{x + y + z}{x^{2} + y^{2} + z^{2}} ds & = & \int_{1}^{2} \frac{t + t + t}{t^{2} + t^{2} + t^{2}} \sqrt{1^{2} + 1^{2} + 1^{2}} dt \\ = & \int_{1}^{2} \frac{\sqrt{3}}{t} dt = \sqrt{3} ln | t | |_{1}^{2} = \sqrt{3} ln 2 \end{array}

6.5

Calcule la integral de línea

\int_{C} \frac{x^{2} + 2 y}{\sqrt{33 - 8 z}} ds

donde $C$ es la curva que se muestra en la Figura 9.29

Fig. 9.29:

\int_{C} \frac{x^{2} + 2 y}{\sqrt{33 - 8 z}} ds = \int_{- 1}^{1} 8 - t^{2} dt

6.6

Calcule la integral de línea

\int_{C} x + y + z - 2 ds

donde $C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$ es la curva que se muestra en la Figura 9.30

Fig. 9.30:

Se omite