Longitud de una curva.

3. Longitud de una curva.

Consideremos una curva $C$ regular y simple, parametrizada por $r$ en $[a, b] .$ Para calcular la longitud de $C$ la idea es partir el intervalo $[a, b]$ en $n$ partes $[a, t_{1}] \cup [t_{1}, t_{2}] \cup . . . \cup [t_{n - 1}, b]$ y considerar una línea poligonal inscrita en $C$

La longitud de la curva (“rectificable”) se define como el límite al cual tiende la suma de las longitudes de los segmentos de la línea poligonal cuando

| | P | | = Máx (t_{i - 1} - t_{i}) \to 0

n \to \infty,

es decir

s = lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} | | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | |

Si $C$ es regular, por el teorema del valor medio podemos poner $| | r (t_{i}) - r (t_{i - 1}) | | = | | r^{'} (ξ_{i}) (t_{i} - t_{i - 1}) | |$ con $ξ_{i} \in] t_{i}, t_{i - 1} [$ y concluir

lim_{n \to \infty} \sum_{i = 1}^{n} | | r^{'} (ξ_{i}) △ t | | = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt

Definición 47 — Longitud de una curva.

Sea $C$ regular, simple y parametrizada por $r (t), t \in [a, b] .$ Si $ds = | | r^{'} (t) | | dt,$ entonces la longitud (de arco) de $C$ es

s = \int_{C} 1 \cdot ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt

(9.1)

Además, la longitud de arco no depende de la parametrización de $C$ (ni, por tanto, de la orientación).

1.: Una curva $C$ es rectificable si tiene longitud finita bien definida, es decir si la integral 9.1 existe. Si $C$ es regular y simple significa que no hay "cúspides" ni paradas y que, al no intersecarse, solo medimos el recorrido una sola vez.
2.: Aunque $r$ sea continua, eso no garantiza que sea rectificable (la integral 9.1 podría ser divergente).
3.: La integral $s = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt$ generalmente es una "integral elíptica". Estas integrales no se pueden calcular con una primitiva elemental. Así que aproximamos numéricamente. Si hay casos simples: línea recta, círcunferencia, hélice circular, catenaria, cicloide.

Longitud de una curva

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Sea

C

parametrizada por

r (t)

con

t \in [a, b] .

I Caso. Si

C : r (t) = x (t) i + y (t) j

Si $r (t) = x (t) i + y (t) j$ con $t \in [a, b]$ entonces

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2}} dt

II Caso: Si

C : y = f (x)

Si $y = f (x)$ entonces tomando $x = t$ tenemos

s = \int_{C} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{1 + {(f^{'} (x))}^{2}} dx

III Caso: Si

C : r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k

Si $r (t) = x (t) i + y (t) j + z (t) k$ con $t \in [a, b]$ entonces

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{a}^{b} \sqrt{{(x^{'} (t))}^{2} + {(y^{'} (t))}^{2} + {(z^{'} (t))}^{2}} dt

Ejemplo281Longitud de una circunferencia

Calcular la longitud de la circunferencia de un círculo de radio $a .$

Solución. La circunferencia $C$ se puede parametrizar con

C : r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{a cos (t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{a sen (t)}} j con t \in [0, 2 π [.

r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{- a sen (t)}} + i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{a cos (t)}} j

s = \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{0}^{2 π} \sqrt{{(a sen t)}^{2} + {(a cos t)}^{2}} dt = \int_{0}^{2 π} a dt = 2 aπ

Ejemplo282Longitud de una hélice

Calcular la longitud de la hélice $x (t) = 2 cos (t), y (t) = 2 sen (t), z (t) = t ∕ 4$ con $t \in [0, 2 π] .$

Solución.

$r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{2 cos (t)}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{2 sen (t)}} j + \underset{z (t)}{\underset{⏟}{t ∕ 4}} k$ con $t \in [0, 2 π] .$

$r^{'} (t) = \underset{x^{'} (t)}{\underset{⏟}{- 2 sen (t)}} i + \underset{y^{'} (t)}{\underset{⏟}{2 cos (t)}} j + \underset{z^{'} (t)}{\underset{⏟}{1 ∕ 4}} k$

\begin{array}{rcl} \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt & = & \int_{0}^{2 π} \sqrt{4 sen^{2} (t) + 4 cos^{2} (t) + \frac{1}{16}} dt \\ = & \int_{0}^{2 π} \sqrt{\frac{65}{16}} dt = 2 π \sqrt{\frac{65}{16}} . \end{array}

Ejemplo283

Plantear la integral para el cálculo de la longitud de la curva

C

(Figura ??). La curva

C

es la curva de intersección entre

S_{1} : 1 = {(x - 1)}^{2} + y^{2}

$S_{2} : x^{2} + y^{2} + z^{2} = 4$ con $z \geq 0$ .

Fig. 9.20:

Solución.

Parametrización. Proyectamos sobre el plano $XY$ . Una parametrización de la curva no requiere tener cuidado con la orientación. Por ejemplo podemos tomar

\begin{matrix} x (t) & = & 1 + cos (t) \\ y (t) & = & sen (t) \\ C : r (t) & = & (x (t), y (t), \sqrt{4 - y^{2} (t) - x^{2} (t)}), t \in [0, 2 π] \\ Ingredientes \\ r^{'} (t) & = & (- sen (t), cos (t), \frac{- (x (t) x^{'} (t) + y (t) y^{'} (t))}{\sqrt{4 - x^{2} (t) - y^{2} (t)}}) \\ = & (- sen (t), cos (t), \frac{sen t}{\sqrt{2 (1 - cos t)}}) \\ | | r^{'} (t) | | & = & \sqrt{{sen}^{2} t + {cos}^{2} t + \frac{{sen}^{2} t}{4 {sen}^{2} (t / 2)}} \\ = & \sqrt{1 + \frac{{(2 sen (t / 2) cos (t / 2))}^{2}}{4 {sen}^{2} (t / 2)}} \end{matrix}

Plantear la integral.

\begin{array}{rcl} \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt & = & \int_{0}^{2 π} \sqrt{1 + \frac{{(2 sen (t / 2) cos (t / 2))}^{2}}{4 {sen}^{2} (t / 2)}} dt \end{array}

La integral es "elíptica" y no tiene primitiva elemental y tiene singularidades en

t = 0

y en

t = 2 π

, pero es convergente.

4.1Calcular la longitud de la curva

C : y = \sqrt{x^{3}}, x \in [0, 44]

s = \int_{0}^{44} \sqrt{1 + 9 ∕ 4 t} dt = 296

4.2Calcular la longitud de la curva

C : x = \frac{2}{3} {(y - 1)}^{3 ∕ 2}, y \in [1, 4]

s = 2 \int_{1}^{4} \sqrt{t} dt = 14 ∕ 3

4.3Calcular la longitud de la curva

C : y^{2} = {(2 x - 1)}^{3}, x \in [1 ∕ 2, 4]

(Ayuda: La curva tiene dos ramas).

s = 2 \int_{1 ∕ 2}^{4} \sqrt{1 + 9 (2 t - 1)} dt = 1022 ∕ 27

4.4Calcular la longitud de la curva

C : y = log (sec x), x \in [0, π ∕ 4]

Recuerde que

\int sec xdx = ln | sec x + tan x | .

s = \int_{0}^{π ∕ 4} sec t dt = ln (\sqrt{2} + 1)

4.5Calcular la longitud de la curva

C : y = \frac{x^{3}}{6} + \frac{1}{2 x}, x \in [1, 2]

4.6 Plantear la o las integrales que dan la longitud de las curvas de las Figuras 9.29 y 9.22.

a.)

Fig. 9.21:

b.)

Fig. 9.22:

Se omite

4.7 La curva

C

(Figura 9.23), es la curva de intersección entre

S_{1} : y^{2} = x^{2} + z^{2}

S_{2} : x^{2} + y^{2} = 1, z \geq 0, y \geq 0 .

Plantear la integral que da la longitud de $C$

Fig. 9.23:

Proyectamos sobre el plano

XY

1.

x (t) = cos (t) y y (t) = sen (t)

2.

Curva de intersección

r (t) = (x (t), y (t), \sqrt{{sen}^{2} (t) - {cos}^{2} (t)}), t \in [\frac{π}{4}, - \frac{π}{4}]

${sen}^{2} t - {cos}^{2} t = - cos (2 t)$ , y para $t \in [- \frac{π}{4}, \frac{π}{4}]$ se tiene $cos (2 t) \geq 0$ , así que $z (t) = \sqrt{- cos (2 t)}$ está bien definida. La curva vive sobre el cono $z^{2} = y^{2} - x^{2}$ (con $z \geq 0$ ) y el cilindro $x^{2} + y^{2} = 1$ .

3.

Longitud

\begin{array}{rcl} r^{'} (t) & = & (- sen (t), cos (t), z^{'} (t)) \\ | | r^{'} (t) | |^{2} & = & \frac{{cos}^{2} (2 t) + cos (2 t) - 1}{cos (2 t)} \\ \int_{C} ds = \int_{a}^{b} | | r^{'} (t) | | dt & = & \int_{- π ∕ 4}^{π ∕ 4} \sqrt{\frac{{cos}^{2} (2 t) + cos (2 t) - 1}{cos (2 t)}} dt \end{array}

Esta integral no tiene primitiva elemental pero se puede calcular numéricamente.