Integral de linea de campos vectoriales. Trabajo.

8. Integral de línea de campos vectoriales. Trabajo.

Trabajo. Si se aplica una fuerza (empuje) constante $F$ (en la dirección del movimiento) para mover un objeto a una distancia $”d”$ en línea recta, entonces el trabajo que hace la fuerza es

W = | | F | | \cdot d .

Si hay un ángulo $𝜃$ entre la dirección en la que se aplica la fuerza constante y la dirección del movimiento, entonces solo la componente de la fuerza en la dirección del desplazamiento hace algún trabajo.

Supongamos que $Δ r$ es el vector desplazamiento, es decir, $| | Δ r | | = d$ y su dirección es la dirección del movimiento. Si $𝜃$ es la medida del ángulo formado por $F$ y $Δ r,$ entonces el escalar $| | F | | cos 𝜃$ es la componente de la fuerza (un escalar) en la dirección del movimiento¹ ( $0$ si $𝜃 = π ∕ 2$ y $| | F | |$ si $𝜃 = 0$ ).

Luego el trabajo realizado es

W = | | F | | | | Δ r | | cos 𝜃 = F \cdot Δ r .

Fig. 9.32: Trabajo.

Definición 49 — Trabajo.

Sea $F$ un campo vectorial continuo sobre la curva $C .$ Suponemos que $C$ está orientada y regular . Entonces

W = lim_{\overset{k \to \infty}{| | M | | \to 0}} \sum_{i = 1}^{k} F (r_{i}) \cdot Δ r_{i} : = \int_{C} F \cdot d r

si el límite existe cuando es tomado sobre todas las particiones ordenadas $r (t_{0}), r (t_{1}), . . . r (t_{k + 1})$ de $C$ con $| | M | | = max_{i} {| | Δ r_{i} | |}$ y $Δ r_{i} = r (t_{i + 1}) - r (t_{i}), i = 1, . . ., k$

La curva debe ser simple?. La hipótesis de que $C$ sea simple no es necesaria para que el límite anterior exista: Basta con que la curva sea regular y orientada, pues la suma de Riemann y la norma de la malla $| | M | |$ dependen únicamente de la partición $t_{0}, t_{1}, . . .$ y no de si la curva se autointersecta. Más adelante, sin embargo, "la simplicidad" de $C$ será una hipótesis esencial en otros resultados, por ejemplo, en el Teorema de Green (que requiere una curva cerrada simple para que la región interior esté bien definida) y en los teoremas de independencia de la trayectoria (donde se compara el trabajo sobre distintas curvas que comparten los mismos extremos).

Para calcular el trabajo realizado por una fuerza al mover una partícula sobre una curva orientada

C : r (t),

consideramos pequeños desplazamientos a lo largo de la curva. La dirección del movimiento está determinada por el vector tangente unitario

T (t) = \frac{r^{'} (t)}{∥ r^{'} (t) ∥} .

Si $s$ denota la longitud de arco sobre $C$ , entonces

ds = ∥ r^{'} (t) ∥ dt

y, por tanto,

d r = r^{'} (t) dt = \frac{r^{'} (t)}{∥ r^{'} (t) ∥} ∥ r^{'} (t) ∥ dt = T (t) ds .

Para definir el trabajo sobre $C$ , dividimos la curva en arcos muy pequeños. Cada uno de estos arcos puede aproximarse por un segmento de recta y la fuerza puede considerarse casi constante sobre él. Si $Δ s_{i}$ es la longitud del $i$ -ésimo arco, entonces su vector de desplazamiento satisface

Δ r_{i} \approx T (t_{i}) Δ s_{i} .

El trabajo realizado por $F$ sobre este pequeño desplazamiento es, aproximadamente,

Δ W_{i} \approx F (r (t_{i})) \cdot Δ r_{i} .

Usando la aproximación anterior,

F (r (t_{i})) \cdot Δ r_{i} \approx [F (r (t_{i})) \cdot T (t_{i})] Δ s_{i} .

Al sumar los trabajos elementales y hacer que la norma de la partición tienda a cero, obtenemos

W = lim_{∥ M ∥ \to 0} \sum_{i = 1}^{k} F (r (t_{i})) \cdot Δ r_{i} = lim_{∥ M ∥ \to 0} \sum_{i = 1}^{k} [F (r (t_{i})) \cdot T (t_{i})] Δ s_{i} .

Por consiguiente,

W = \int_{0}^{ℓ} (F \cdot T) ds = \int_{C} F \cdot d r .

El escalar

F \cdot d r

puede ser positivo, negativo o cero, dependiendo de la orientación de la curva y de la dirección de la fuerza. Por ello, la integral calcula el trabajo neto.

Si $F \cdot T > 0$ , la fuerza favorece el movimiento; si $F \cdot T < 0$ , se opone a él; y si $F \cdot T = 0$ , la fuerza es perpendicular al movimiento y no realiza trabajo en ese instante.

La función escalar $F \cdot T$ puede presentar discontinuidades de primera especie asociadas con puntos esquina de una curva regular por partes.

En la definición anterior, $C$ puede ser una curva regular y cerrada. Más generalmente, si $C$ es la unión orientada de curvas regulares y simples $C_{1}, C_{2}, \dots, C_{n}$ , escribimos

C = C_{1} + C_{2} + \dots + C_{n}

y definimos

\int_{C} F \cdot d r = \int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r + \dots + \int_{C_{n}} F \cdot d r .

Propósito: Visualizar el trabajo realizado por una fuerza a lo largo de una curva como el límite de una suma de Riemann. En la escena tridimensional se muestran la fuerza $F (r (t_{i}))$ , el desplazamiento tangente y la componente de la fuerza en la dirección del movimiento. Al estirar la curva sobre un eje de longitud de arco, cada trabajo elemental se representa mediante una barra cuya base es $Δ s_{i}$ y cuya altura es $F (r (t_{i})) \cdot T (t_{i})$ . El área con signo de la barra aproxima

[F (r (t_{i})) \cdot T (t_{i})] Δ s_{i} \approx F (r (t_{i})) \cdot Δ r_{i} .

C

está parametrizada por

r (t)

, con

t \in [a, b]

, entonces

\begin{matrix} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{a}^{b} (F (r (t)) \cdot \frac{r^{'} (t)}{∥ r^{'} (t) ∥}) ∥ r^{'} (t) ∥ dt \\ = & \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt . \end{matrix}

Caso I. Si

F (x, y) = P (x, y) i + Q (x, y) j .

Si $r (t) = (x (t), y (t)),$ entonces

d r = (dx, dy) = (x^{'} (t), y^{'} (t)) dt .

Como $dx = x^{'} (t) dt y dy = y^{'} (t) dt,$ podemos escribir

\begin{matrix} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt \\ = & \int_{a}^{b} [P (x (t), y (t)) x^{'} (t) + Q (x (t), y (t)) y^{'} (t)] dt \\ = & \int_{C} P dx + Q dy . \end{matrix}

Es decir,

\int_{C} F \cdot d r = \int_{C} P dx + Q dy

o, en términos de una parametrización,

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t))) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t)) dt .

Caso II. Si

F (x, y, z) = P (x, y, z) i + Q (x, y, z) j + R (x, y, z) k

Como $dx = x^{'} (t) dt,$ $dy = y^{'} (t) dt$ y $dz = z^{'} (t) dt,$ podemos escribir

\int_{C} F \cdot d r = \int_{a}^{b} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt = \int_{a}^{b} P dx + Q dy + R dz

Es decir,

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{a}^{b} P (r (t)) dx + Q (r (t)) dy + R (r (t)) dz \\ = & \int_{a}^{b} (P (x (t), y (t), z (t)), Q (x (t), y (t), z (t)), R (x (t), y (t), z (t))) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t), z^{'} (t)) dt \end{array}

Cuando una curva

C

es parametrizada por

r (t)

con

t \in [a, b],

entonces inducimos una orientación en

C .

Distintas parametrizaciones pueden inducir distintas orientaciones.

Por ejemplo, en la Figura 9.33 se tiene la curva $y = 2 sen (x)$ con $x \in [0, 3] .$ Dos parametrizaciones que inducen orientaciones opuestas son $r_{1} (t) = (t, sen t)$ y $r_{2} (t) = (3 - t, sen (3 - t))$ ambas con $t \in [0, 3] .$

Fig. 9.33: Orientación inducida por dos parametrizaciones.

r_{1} (t)

parametriza

C

en una dirección con vector tangente

T

r_{2} (t)

parametriza

C

en sentido contrario, con vector tangente

- T,

entonces denotamos la segunda curva como

- C

y admitimos como válido que

Convenio

\int_{- C} F \cdot d r = - \int_{C} F \cdot d r

1: Más adelante, cuando veamos el teorema de Green, usaremos la siguiente noción de orientación: la curva cerrada $C$ está orientada positivamente, respecto a una región $D,$ si al movernos sobre $C,$ la región siempre está a nuestra izquierda.
2: Note que el trabajo $W$ puede ser un número negativo. Esto ocurre cuando la fuerza actúa en contra del desplazamiento de la partícula.
3: En la sección 14., la integral $\int_{C} F \cdot d r$ se interpreta como "la suma" de las componentes de $F$ tangentes a la curva. Si $C$ es cerrada, esta integral indica cómo $F$ tiende a circular alrededor de la curva. Esta interpretación es la que usamos para el teorema de Green.

Ejemplo288Trabajo

Consideremos una fuerza constante

F (x, y) = 1 i + 0 j

Calcule $\int_{C} F \cdot d r$ si $C$ el segmento de recta que se muestra en la Figura 9.34.

Fig. 9.34: Curva

C

Solución. Usamos a $x = t$ como parámetro.

La parametrización $r (t) = t i + 1 j, t \in [0, 2],$ parametriza a “ $- C$ ” pues $r (0) = (0, 1) = B$ y $r (2) = (2, 1) = A .$

Es costumbre escribir,

- C : r (t) = t i + 1 j, t \in [0, 2]

Luego, $r^{'} (t) = 1 i + 0 j$

Como $F (x, y) = 1 i + 0 j$ entonces $P (x, y) = 1$ y $Q (x, y) = 0 .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{- C} F \cdot d r \\ = & - \int_{C} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t))) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t)) dt \\ = & - \int_{0}^{2} (1, 0) \cdot (1, 0) dt = - \int_{0}^{2} 1 dt = - 2 \end{array}

Ejemplo289Calcular trabajo

Sea

F (x, y) = x i + (x + y) j .

Calcule

\int_{C} F \cdot d r

C

es la curva de ecuación es

y = x^{2}, x \in [- 1, 2]

tal y como se muestra en la Figura 9.35.

Fig. 9.35: Curva

C

Solución. Usamos a $x = t$ como parámetro.

La parametrización $r (t) = t i + t^{2} j, t \in [- 1, 2],$ parametriza a “ $- C$ ” pues $r (- 1) = (- 1, 1) = B$ y $r (2) = (2, 4) = A .$

Es costumbre escribir,

- C : r (t) = t i + t^{2} j, t \in [- 1, 2] .

Luego $r^{'} (t) = 1 i + 2 t j$

Como $F (x, y) = x i + (x + y) j$ entonces $P (x, y) = x$ y $Q (x, y) = x + y .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{- C} F \cdot d r \\ = & - \int_{C} (P (x (t), y (t)), Q (x (t), y (t))) \cdot (x^{'} (t), y^{'} (t)) dt \\ = & - \int_{- 1}^{2} (t, t + t^{2}) \cdot (1, 2 t) dt \\ = & - \int_{- 1}^{2} (t + 2 t^{2} + 2 t^{3}) dt = - 15 \end{array}

Ejemplo290Trabajo

Calcular

\int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy

La curva es

C

es la elipse

\frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{9} = 1

(Figura 9.36)

Fig. 9.36: Curva

C .

Solución. Podemos usar la parametrización

- C : r (𝜃) = 2 cos 𝜃 i + 3 sen 𝜃 j con 𝜃 \in [0, 2 π] .

Como $F (x, y) = (y^{2}, x^{2})$ se tiene $P = y^{2}$ y $Q = x^{2} .$ Entonces,

\begin{array}{rcl} \int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy & = & \int_{C} F \cdot d r \\ = & - \int_{0}^{2 π} (9 sen^{2} 𝜃, 4 cos^{2} 𝜃) \cdot (- 2 sen 𝜃, 3 cos 𝜃) d𝜃 \\ = & - \int_{0}^{2 π} - 18 sen^{3} 𝜃 + 12 cos^{3} 𝜃 d𝜃 = 0 \\ (Para el cálculo usar: cos^{3} 𝜃 = (1 - sen^{2} 𝜃) cos 𝜃) . \end{array}

Ejemplo291Trabajo

Sea

F (x, y) = (y^{2}, x^{2}) .

Calcule

\int_{C} F \cdot d r

con

C

la curva de la Figura 9.37.

Fig. 9.37: Curva

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3} .

Solución. Parametrizamos $C,$

{\begin{matrix} C_{1} & : & r_{1} (t) = (t, 0) con t \in [0, 1] \\ C_{2} & : & r_{2} (t) = (1, t) con t \in [0, 1] \\ - C_{3} & : & r_{3} (t) = (t, t^{2}) con t \in [0, 1] \end{matrix}

\begin{array}{rcl} \int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy & = & \int_{C_{1}} y^{2} dx + x^{2} dy + \int_{C_{2}} y^{2} dx + x^{2} dy - \int_{- C_{3}} y^{2} dx + x^{2} dy \\ = & \int_{0}^{1} (0, t^{2}) \cdot (1, 0) dt + \int_{0}^{1} (t^{2}, 1) \cdot (0, 1) dt - \int_{0}^{1} (t^{4}, t^{2}) \cdot (1, 2 t) dt \\ = & \int_{0}^{1} 0 dt + \int_{0}^{1} 1 dt - \int_{0}^{1} [t^{4} + 2 t^{3}] dt = \frac{3}{10} . \end{array}

Ejemplo292

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

\begin{matrix} F (x, y, z) & = & 2 x ln (yz) i \\ + & (\frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x}) j \\ + & (\frac{x^{2}}{z} + 2 z) k \end{matrix}

C

la curva de la Figura 9.38

Fig. 9.38:

C = C_{1} \cup C_{2}

Solución.

${\begin{matrix} - C_{1} : & r_{1} (t) = (0, t, 1) con t \in [1, 3], \\ C_{2} : & r_{2} (t) = (0, 1, t) con t \in [1, 2] . \end{matrix}$

Luego

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r \\ = & - \int_{1}^{3} F (r_{1} (t)) \cdot r_{1}^{'} (t) dt + \int_{1}^{2} F (r_{2} (t)) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{1}^{3} F (0, t, 1) \cdot r_{1}^{'} (t) dt + \int_{1}^{2} F (0, 1, t) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{1}^{3} (0, - 5, 2) \cdot (0, 1, 0) dt + \int_{1}^{2} (0, - 5, 2 t) \cdot (0, 0, 1) dt \\ = & - \int_{1}^{3} [0 + (- 5) \cdot 1 + 0] dt + \int_{1}^{2} [0 + 0 + (2 t) \cdot 1] dt = 13 \end{array}

Ejemplo293Trabajo

Sea $F (x, y, z) = (x + y) i + (y - z) j + (x + z) k$ y sea $C$ la curva de la Figura 9.39.

Calcular $\int_{C} F \cdot d r .$

Solución. Primero parametrizamos $C .$

$C_{1}$ se puede parametrizar usando la fórmula para el segmento de recta que va desde $A_{1} = (1, 2, 0)$ hasta $A_{2} = (0, 4, 2),$ es decir,

C_{1} : r_{1} (t) = A_{1} + t (A_{2} - A_{1}) = (1 - t) i + (2 + 2 t) j + 2 t k, con t \in [0, 1] .

$C_{2}$ se puede parametrizar tomando $z = t .$

Fig. 9.39: Curva

C = C_{1} + C_{2},

{\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (1 - t) i + (2 + 2 t) j + 2 t k, t \in [0, 1], \sqrt \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (0, t^{2}, t), t \in [0, 2], r_{2} (0) = (0, 0, 0) y r_{2} (2) = A_{2} . \end{matrix}

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{C_{1}} F \cdot d r - \int_{C_{2}} F \cdot d r \\ = & \int_{0}^{1} F (r_{1} (t)) \cdot r_{1}^{'} (t) dt - \int_{0}^{2} F (r_{2} (t)) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & \int_{0}^{1} (3 + t, 2, 1 + t) \cdot (- 1, 2, 2) dt - \int_{0}^{} (t^{2}, t^{2} - t, t) \cdot (0, 2 t, 1) dt \\ = & \int_{0}^{1} (t + 3) dt - \int_{0}^{2} (t - 2 t^{2} + 2 t^{3}) dt = - \frac{23}{6} \end{array}

Ejemplo294Trabajo

Sea

F (x, y, z) = (z + cos x) i + (2 z + x cos x) j + x k .

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

C = C_{1} + C_{2} + C_{3},

tal y como se muestra en la Figura 9.40.

Fig. 9.40:

Solución. Una parametrización para $C$ es

$C : {\begin{matrix} - C_{1} : r_{1} (t) = (2, 1, t), t \in [0, 2] \\ - C_{2} : r_{2} (t) = (t, 1, 0), t \in [0, 2] \\ - C_{3} : r_{3} (t) = (0, t, 0), t \in [0, 1] \end{matrix}$

Así

\begin{matrix} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{0}^{2} (t + cos (2), 2 t + 2 cos (2), 2) \cdot r_{1}^{'} (t) dt \\ - \int_{0}^{2} (cos t, t cos t, t) \cdot r_{2}^{'} (t) dt - \int_{0}^{1} (t, 0, 0) \cdot r_{3}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{0}^{2} (t + cos (2), 2 t + 2 cos (2), 2) \cdot (0, 0, 1) dt \\ - \int_{0}^{2} (cos t, t cos t, t) \cdot (1, 0, 0) dt - \int_{0}^{1} (t, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) dt \\ = & - \int_{0}^{2} 2 dt - \int_{0}^{2} cos t dt - 0 = {- 2 t |}_{0}^{2} - {sen t |}_{0}^{2} = - 4 - sen (2) \end{matrix}

9.1Calcule

I = \int_{C} x dx + 3 y^{2} dy + 2 z dz .

La curva

C

es el semento de recta que va de

P (1, 1, 0),

Q (1, 2, 2) .

Use la parametización:

C : r (t) = (1, 1, 0) + t [(1, 2, 2) - (1, 1, 0)], t \in [0, 1]

9.2

Calcule

I = \int_{C} x dx + y^{2} dy .

La curva

C = C_{1} \cup C_{2}

es la curva que aparece en la Figura 9.41.

Fig. 9.41: Curva

C

Se omite.

9.3

Calcule

I = \int_{C} x dx + z dy + dz .

La curva

C = C_{1} \cup C_{2}

es la curva que aparece en la Figura 9.42.

$C_{1}$ es un trozo de la circunferencia $x^{2} + y^{2} = 1$ y $C_{2}$ es el segmento que va de $(0, 1, 0)$ a $B = (2, 2, 3) .$

Fig. 9.42: Curva

C

Parametrizamos las curvas,

C_{1} : r_{1} (t) = cos t i + sen t j + 0 k

con

t \in [0, π ∕ 2] .

C_{2} : r_{2} (t) = A + t (B - A) = 2 t i + (t + 1) j + 3 t k, t \in [0, 1] .

\begin{array}{rcl} \int_{C} x dx + z dy + dz & = & \int_{C_{1}} x dx + z dy + dz + \int_{C_{2}} x dx + z dy + dz \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} - cos t sen t dt + \int_{0}^{1} 4 t + 3 t + 3 dt \\ = & - \frac{1}{2} + \frac{13}{2} = 6 . \end{array}

9.4

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y) = x i - y j

donde $C = C_{1} \cup C_{2}$ con ${\begin{matrix} C_{1} : & y = 2 x - x^{2} \\ C_{2} : & {(x - 3)}^{2} + y^{2} = 1 \end{matrix}$

Fig. 9.43: Curva

C

Se omite.

9.5

Calcule

\int_{C} x dy - y dx

donde

C = C_{1} \cup C_{2}

con

{\begin{matrix} C_{1} : & {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1 \\ C_{2} : & {(y - 1)}^{2} + x^{2} = 1 \end{matrix}

Fig. 9.44: Curva

C

Se omite.

9.6

Calcule la integral

\int_{C} F \cdot d r

donde

F (x, y) = (2 y + \sqrt{9 + x^{3}}) i + (5 x + e^{arctan y}) j

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}

(Figura 9.68)

Fig. 9.45:

Se omite

9.7

Calcule

\int_{C} x^{2} z dx - y x^{2} dy + 3 xz dz

donde

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}

(Figura 9.46).

Fig. 9.46:

Se omite.

9.8

Considere el campo de fuerzas

F (x, y, z) = 4 x e^{z} i + y cos (z) j + 2 x^{2} e^{z} k .

Sea $C$ la curva de la Figura 9.47. Calcule $\int_{C} F \cdot d r .$

Fig. 9.47: Curva

C

Se omite