Campos conservativos. Independencia de la trayectoria.

10. Campos conservativos. Independencia de la trayectoria.

Una condición para que la integral de línea no dependa de la trayectoria que une a $A$ con $B$ es que exista $φ$ tal que $F = \nabla φ$ con $φ \in C^{1} .$ En este caso podemos calcular la integral de línea usando cualquier camino que una $A$ con $B$ o también, usando el Teorema Fundamental para la integral de línea.

Definición 50.

Un conjunto $D \subset ℝ^{n}$ se dice conexo si todo par de puntos de $D$ se pueden unir con una curva regular a trozos contenida en $D .$ Es decir, $D$ es de "una sola pieza".

Un conjunto $D \subset ℝ^{n}$ abierto y conexo se dice simplemente conexo si toda curva cerrada simple $C$ en $D,$ encierra una región que está también en $D .$ Es decir, los conjuntos simplemente conexos no tienen "agujeros".

Un conjunto $D \subset ℝ^{n}$ se dice convexo si para todo par de puntos $A, B \in D,$ el segmento de recta que une $A$ con $B$ está contenido en $D,$ es decir, ${A + t (B - A) : t \in [0, 1]} \subset D .$

Fig. 9.48:

Definición 51.

Sea $F$ un campo vectorial definido sobre un conjunto abierto $U .$ Si $φ$ es una función diferenciable sobre $U$ tal que $F = \nabla φ,$ decimos que $φ$ es una función potencial de $F .$ También decimos que $F$ es conservativo.

U

es conexo y

F

conservativo, las funciones potenciales de

F

son iguales salvo constantes. También se puede mostrar que si

F = (P, Q)

y si

P_{y} \neq Q_{x},

entonces

F

no es conservativo (no tiene función potencial). La condición

P_{y} = Q_{x}

es solo necesaria para que

F

sea conservativo. La condición es necesaria y suficiente si

U

es simplemente conexo² .

Teorema 44 — Test de derivadas mixtas.

1

Sea

F = P i + Q j

es de clase

C^{1}

en un conjunto simplemente conexo

D

del plano.

F

es conservativo sii

\frac{\partial P}{∂y} = \frac{\partial Q}{∂x}

2

Sea

F = P i + Q j + R k

es de clase

C^{1}

en un conjunto simplemente conexo

D

del espacio.

F

es conservativo sii

\frac{\partial P}{∂y} = \frac{\partial Q}{∂x}, \frac{\partial P}{∂z} = \frac{\partial R}{∂x}, \frac{\partial Q}{∂z} = \frac{\partial R}{∂y}

Esto es equivalente a que la matriz jacobiana de $F$ sea simétrica:

$J F = (\begin{matrix} \frac{∂P}{∂x} & \frac{∂P}{∂y} & \frac{∂P}{∂z} \\ \frac{∂Q}{∂x} & \frac{∂Q}{∂y} & \frac{∂Q}{∂z} \end{matrix})$

Si $F$ es conservativo, las derivadas mixtas que enuncia el teorema son iguales, sin pedir nada sobre $D$ .

Pero lo recíproco es lo delicado: si $D$ es simplemente conexo y las derivadas mixtas son iguales, entonces sí se puede afirmar que $F$ es conservativo. Sin $D$ simplemente conexo, la igualdad de las derivadas mixtas podría no implicar que $F$ sea conservativo.

Un ejemplo clásico es $F = \frac{- y}{x^{2} + y^{2}} i + \frac{x}{x^{2} + y^{2}} j .$ Tiene derivadas mixtas iguales!. Pero $F$ no es conservativo.

Este campo es de clase $C^{1}$ en $D = ℝ^{2} ∖ {(0, 0)}$ , que no es simplemente conexo (tiene un "agujero" en el origen).

Teorema 45 — Teorema Fundamental para integrales de línea.

Sea $φ : D \subset ℝ^{n} \to ℝ$ una función de clase $C^{1}$ donde $D$ es conexo y abierto. Sea $C$ una curva regular a trozos en $D$ parametrizada por $r$ y sean $A = r (a)$ y $B = r (b);$ se tiene

\int_{C} \nabla φ \cdot d r = φ (B) - φ (A)

Teorema 46 — Campos conservativos.

Sea $D$ simplemente conexo. Sea $C$ una curva orientada y simple contenida en $D$ y parametrizada por $r .$ Suponemos que $C$ inicia en $A$ y termina en $B .$ Sea $F$ un campo definido en $D .$

1: $F$ es conservativo $⟺$ existe $φ$ de clase $C^{1}$ tal que $F = \nabla φ,$ sobre $D .$
2: Si $F$ es conservativo, existe $φ$ de clase $C^{1}$ tal que $\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A)$
3: Independencia del camino. Si $F$ es conservativo, $\int_{C} F \cdot d r = \int_{C^{'}} F \cdot d r$ donde $C^{'}$ es cualquier curva, contenida en $D,$ regular a trozos y que va de $A$ a $B .$
4: $F$ es conservativo $⟺$ $\int_{C} F \cdot d r = 0$ para cualquier curva cerrada simple $C$ contenida en $D$ .

Observe que si

\int_{C} F \cdot d r = 0

para alguna curva cerrada simple

C,

esto no significa que

F

sea conservativo. En la parte 3.) del Ejemplo 292 tenemos un campo con integral nula sobre una elipse pero que no es conservativo.

Ejemplo295Cálculo con una función potencial

Sea $F (x, y, z) = (2 x ln (yz) - 5 y e^{x}) i + (\frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x}) j + (\frac{x^{2}}{z} + 2 z) k$

Sea $C$ una curva simple que une $A = (2, 2, 1)$ con $B = (3, 1, e) .$

Calcule $\int_{C} F \cdot d r$ .

Solución. Vamos a calcular con una función potencial $φ$ , es decir,

\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A)

1

Región simplemente conexa. Hay muchas curvas que unen

A = (2, 2, 1)

con

B = (3, 1, e)

en el primer octante (sin tomar fronteras). Esta región no tiene huecos, es simplemente conexa.

$F$ es de clase $C^{1}$ en la región $D = {(x, y, z) : x > 0, y > 0, z > 0} .$ Esta región es simplemente conexa.

2

El campo es conservativo en esta región. Aplicamos el test:

\frac{∂P}{∂y} = - 5 e^{x} + \frac{2 x}{y} = \frac{∂Q}{∂x}, \frac{∂P}{∂z} = \frac{2 x}{z} = \frac{∂R}{∂x}, \frac{∂Q}{∂z} = 0 = \frac{∂R}{∂y}

Para algunos podría ser más cómodo expresarlo en términos de la simetría de la matriz Jacobiana:

J F J = (\begin{matrix} \frac{∂P}{∂x} & \frac{∂P}{∂y} & \frac{∂P}{∂z} \\ \frac{∂Q}{∂x} & \frac{∂Q}{∂y} & \frac{∂Q}{∂z} \\ \frac{∂R}{∂x} & \frac{∂R}{∂y} & \frac{∂R}{∂z} \end{matrix}) = (\begin{matrix} \frac{∂P}{∂x} & - 5 e^{x} + \frac{2 x}{y} & \frac{2 x}{z} \\ - 5 e^{x} + \frac{2 x}{y} & \frac{∂Q}{∂y} & 0 \\ \frac{2 x}{z} & 0 & \frac{∂R}{∂z} \end{matrix})

3

Función potencial. Podemos ahora calcular la integral usando una función potencial

φ .

Como existe $φ (x, y, z)$ tal que $\nabla φ = F,$ entonces $φ_{x} = P, φ_{y} = Q,$ y $φ_{z} = R .$

\begin{matrix} φ_{x} & = & 2 x ln (yz) - 5 y e^{x} & ⟹ & φ = \int 2 x ln (yz) - 5 y e^{x} dx = x^{2} ln (yz) - 5 y e^{x} + K_{1} (y, z) . \\ φ_{y} & = & \frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x} & ⟹ & φ = \int \frac{x^{2}}{y} - 5 e^{x} dy = x^{2} ln y - 5 y e^{x} + K_{2} (x, z) . \\ φ_{z} & = & \frac{x^{2}}{z} + 2 z & ⟹ & φ = \int \frac{x^{2}}{z} + 2 z dz = x^{2} ln z + z^{2} + K_{3} (x, y) . \end{matrix}

Observemos que $x^{2} ln y + x^{2} ln z = x^{2} ln (yz) .$

Recolectando primitivas podemos "adivinar" que

φ (x, y, z) = x^{2} ln (yz) - 5 y e^{x} + z^{2} + K

lo cual podemos aceptar después de verificar que $φ_{x} = P, φ_{y} = Q,$ y $φ_{z} = R .$

Finalmente,

\int_{C} F \cdot d r = φ (B) - φ (A) = - 5 e^{3} + 11 e^{2} + 8 - 4 log (2) \approx - 13.9207 .

Ejemplo296Cálculo con "independencia del camino" y "función potencial"

Considere el campo de fuerzas

F (x, y, z) = 4 x e^{z} i + cos (y) j + 2 x^{2} e^{z} k .

Sea

C

la curva de la Figura 9.49.

Calcule

\int_{C} F \cdot d r .

Fig. 9.49: Curva

C .

Solución. Vamos a verificar que $F$ es conservativo. Eso nos da derecho a calcular usando un camino $C^{'}$ más sencillo o, usando la función potencial. Lo vamos a hacer de las dos maneras.

a

Simplemente conexo.

F

es de clase

C^{1}

sobre

D = ℝ^{3}

que es simplemente conexo (sin huecos).

b

Conservativo.

F

es conservativo. En efecto

\frac{\partial P}{∂y} = 0 = \frac{\partial Q}{∂x}, \frac{\partial P}{∂z} = 4 x e^{z} = \frac{\partial R}{∂x}, y \frac{\partial Q}{∂z} = 0 = \frac{\partial R}{∂y}

Cálculo.

1

Primer Manera: Como el campo es conservativo podemos usar un camino

C^{'}

que una

A

con

B

En este caso escogemos un camino

C^{'}

sencillo que inicia en

(2, 0, 4)

y termina en

(0, 0, 0)

(Figura 9.50).

{\begin{matrix} - C_{1} & : & r_{1} (t) = (t, 0, 4) con t \in [0, 2] \\ - C_{2} & : & r_{2} (t) = (0, 0, t) con t \in [0, 4] \end{matrix}

Fig. 9.50:

C^{'} = C_{1} \cup C_{2} .

\begin{array}{rcl} \int_{C^{'}} F \cdot d r & = & \int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r \\ = & - \int_{0}^{2} F (t, 0, 4) \cdot r_{1}^{'} (t) dt - \int_{0}^{4} F (0, 0, t) \cdot r_{2}^{'} (t) dt \\ = & - \int_{0}^{2} (4 e^{4} t, 1, 2 e^{4} t^{2}) \cdot (1, 0, 0) dt - \int_{0}^{4} (0, 1, 0) \cdot (0, 0, 1) dt \\ = & - \int_{0}^{2} 4 t e^{4} dt = - 8 e^{4} . \end{array}

2

Segunda Manera: Con una función potencial

φ .

Como existe $φ (x, y, z)$ tal que $\nabla φ = F = (P, Q, R),$ entonces $φ_{x} = P, φ_{y} = Q,$ y $φ_{z} = R .$

${\begin{matrix} φ_{x} & = & 4 x e^{z} & ⟹ & φ = \int 4 x e^{z} dx = 2 x^{2} e^{z} + K_{1} (y, z), \\ φ_{y} & = & cos (y) & ⟹ & φ = \int cos y dy = sen y + K_{2} (x, z) \\ φ_{z} & = & 2 x^{2} e^{z} & ⟹ & φ = \int 2 x^{2} e^{z} dz = 2 x^{2} e^{z} + K_{3} (x, y) . \end{matrix}$

Recolectando primitivas podemos "adivinar" que

φ (x, y, z) = 2 x^{2} e^{z} + sen y + K

lo cual podemos aceptar después de verificar que $φ_{x} = P, φ_{y} = Q,$ y $φ_{z} = R .$

Finalmente, $\int_{C} F \cdot d r = φ (0, 0, 0) - φ (2, 0, 4) = - 8 e^{4} .$

11.1Sea

F

un campo de fuerzas tal que

F (x, y, z) = (2 xy + z^{3}) i + x^{2} j + 3 x z^{2} k .

a.): Demostrar que $F$ es un campo de fuerzas conservativo.
b.): Hallar una función potencial de $F$ .
c.): Determinar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo en este campo desde la posición $(1, 1, 1)$ hasta $(1, 1, 2)$ .

Se omite.

Elabore su respuesta. Si tiene dudas, consulte con su prefesor preferiblemente. También puede comparar su respuesta con una consulta a la IA, para este ejercicio particular

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11.2Sea

F

un campo de fuerzas tal que

F (x, y, z) = (yz - y^{2} + 2 xz) i + (xz - 2 xy) j + (xy + x^{2}) k .

a.): Demostrar que $F$ es un campo de fuerzas conservativo.
b.): Hallar una función potencial de $F$ .
c.): Determinar el trabajo realizado para desplazar un cuerpo en este campo desde la posición $(0, 1, 0)$ hasta $(- 1, - 1, 0)$ .

Una función potencial es

ϕ (x, y, z) = xyz - y^{2} x + x^{2} z

11.3

Sea

F (x, y, z) = (2 x + 5) i + (3 y^{2}) j + \frac{1}{z} k

Sea

C

la trayectoria que va de

A = (0, 1, 1)

hasta

B = (1, 0, 1)

de acuerdo a la Figura 9.51.

1.: Verifique que el campo vectorial $F$ es conservativo.
2.: Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ utilizando una función potencial.
3.: Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ , sin usar una función potencial.

Fig. 9.51:

C

(a): Como Rot $F = (0, 0, 0)$ , entonces $F$ es conservativo sobre cualquier región simplemente conexa donde $z \neq 0 .$
(b): $\nabla ϕ = F ⟹ \begin{matrix} ϕ & = & \int 2 x + 5 dx & = & x^{2} + 5 x + K_{1} (y, z) \\ ϕ & = & \int 3 y^{2} dy & = & y^{3} + K_{2} (x, z) \\ ϕ & = & \int \frac{1}{z} dz & = & ln | z | + K_{3} (x, y) \end{matrix} ⟹ ϕ (x, y, z) = x^{2} + 5 x + y^{3} + ln z .$

Luego, $\int_{C} F \cdot d r = ϕ (B) - ϕ (A) = 6 - 1 = 5$
(c): Como $F$ es conservativo en regiones simplemente conexas, donde $z$ no se anula, podemos tomar el camino $C^{'} = C_{1} + C_{2}$ para integrar.

$\begin{matrix} - C_{1} & : & r_{1} (t) = (0, t, 1) con t \in [0, 1] . r_{1}^{'} (t) = (0, 1, 0) \\ C_{2} & : & r_{2} (t) = (t, 0, 1) con t \in [0, 1] . r_{2}^{'} (t) = (1, 0, 0) \end{matrix}$

Fig. 9.52: $C$

Entonces,
$\int_{C^{'}} F \cdot d r = - \int_{0}^{1} (5, 3 t^{2}, 1) \cdot (0, 1, 0) dt + \int_{0}^{1} (2 t + 5, 0, 1) \cdot (1, 0, 0) dt = - 1 + 6 = 5$

11.4

Sea

F

definido por

F (x, y, z) = (yz + y cos (xy)) i + (xz + x cos (xy)) j + xy k

y $C$ la trayectoria que va de $A$ hasta $B$ de acuerdo a la Figura 9.53.

1.: Verifique que el campo vectorial $F$ es conservativo.
2.: Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ utilizando una función potencial.
3.: Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ sin usar una función potencial.

Fig. 9.53:

C

1.

\begin{array}{rcl} rot F = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{∂x} & \frac{\partial}{∂y} & \frac{\partial}{∂z} \end{matrix} | & = & (x - x) i + (- y + y) j \\ + (z + cos (xy) + xy cos (xy) - (z + cos (xy) + xy cos (xy))) k \\ = & (0, 0, 0) \end{array}

2.

Sea

G (x, y, z)

una función potencial, así

• $G_{x} (x, y, z) = yz + y cos (xy) ⟹ G (x, y, z) = xyz + sen (xy) + C_{1} (y, z)$

• $\frac{\partial}{∂y} (xyz + sen (xy) + C_{1} (y, z)) = xz + x cos (xy) ⟹ {C_{1}}_{y} (y, z) = 0 ⟹ C_{1} (y, z) = C_{2} (z)$

• $\frac{\partial}{∂z} (xyz + sen (xy) + C_{2} (z)) = xy ⟹ {C_{2}}^{'} (z) = 0 ⟹ C_{2} (z) = K$

Así, $G (x, y, z) = xyz + sen (xy) + K$ , por lo que

\int_{C} F \cdot d r = G (0, 0, 0) - G (2, 1, 2) = K - (4 + sen (2) + K) = - 4 - sen (2) .

•Se seguirá la siguiente ruta

- C_{1} : r_{1} (t) = (2, 1, t), t \in [0, 2]

- C_{2} : r_{2} (t) = (t, 1, 0), t \in [0, 2]

- C_{3} : r_{3} (t) = (0, t, 0), t \in [0, 1]

Fig. 9.54:

C

Así

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{0}^{2} (t + cos (2), 2 t + 2 cos (2), 2) \cdot (0, 0, t) dt - \int_{0}^{2} (cos t, t cos t, t) \cdot (1, 0, 0) dt - \int_{0}^{1} (t, 0, 0) \cdot (0, 1, 0) dt \\ = & - \int_{0}^{2} 2 t dt - \int_{0}^{2} cos t dt - 0 \\ = & - t^{2} |_{0}^{2} - sen t |_{0}^{2} = - 4 - sen (2) \end{array}

11.5

Sea

F

definido por

F (x, y, z) = x i - y j + z k

y $C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}$ la curva que se muestra en la Figura 9.55.

1.: Verifique que el campo vectorial $F$ es conservativo.
2.: Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ utilizando una función potencial.
3.: Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ sin usar una función potencial.

Fig. 9.55:

C

\int_{C} F \cdot d r = 0

11.6

Sea

F

un campo de fuerzas tal que

F (x, y, z) = (y cos (xy) + \frac{1}{x + 1}, x cos (xy), \frac{1}{z + 1}) .

a.): Demostrar que $F$ es un campo de fuerzas conservativo.
b.): Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ donde $C$ se muestra en la Figura 9.56.

Fig. 9.56:

C

Se omite.

11.7

Sea

F

un campo de fuerzas

\begin{matrix} F (x, y, z) & = & - (2 x + 3 x^{2} z^{2}) i \\ - (2 y + 3 y^{2} z^{4}) j \\ - (2 x^{3} z + 4 y^{3} z^{3}) k \end{matrix}

a.): Demostrar que $F$ es un campo de fuerzas conservativo.
b.): Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ donde $C$ se muestra en la Figura 9.57.

Fig. 9.57:

C

Calcule usando el camino que va de

(2, 5, 0)

(- 2, 5, 0)

11.8

Considere el campo vectorial

\begin{matrix} F (x, y, z) & = & (y z^{2} - sen x sen (π - y)) i \\ + (x z^{2} - cos (π - y) cos x) j \\ + 2 xyz k \end{matrix}

Sea

C

la curva que une los puntos

(π, 0, 0)

con

(0, π, 0),

como se ve en la Figura 9.58.

1.: Verifique que $F$ es conservativo.
2.: Calcule $\int_{C} F \cdot d r$ usando una función potencial.

Fig. 9.58:

C

• $F = (P, Q, R)$ es conservativo pues $P_{y} = z^{2} + sen x cos (π - y) = Q_{x},$ $r_{y} = 2 xz = Q_{z}$ y $r_{x} = 2 yz = P_{z} .$

•una función potencial es $ϕ (x, y, z) = xy z^{2} + cos (x) sen (π - y) + K .$ Por lo tanto

\int_{C} F \cdot d r = ϕ (0, π, 0) - ϕ (π, 0, 0) = 0

11.9 Sea

F (x, y) = (\frac{- y}{x^{2} + y^{2}}, \frac{x}{x^{2} + y^{2}})

definido en

ℝ^{2} - {(0, 0)}

1.: Verifique que $P_{y} = Q_{x}$
2.: Verifique que $\int_{C} F \cdot dr = 2 π$ si $C$ es la curva cerrada circunferencia $x^{2} + y^{2} = 1$
3.: ¿Es $F$ conservativo?

F

fuera conservativo,

\int_{C} F \cdot dr = 0

pero eso no es cierto. No se cumple la hipótesis de que el dominio de

F

sea simplemente conexo, tiene un hueco en

(0, 0)

11.10 Considere la curva orientada

C

y la superficie

S

tal y como se muestran en la Figura 9.59.

La curva

C

es la unión de dos curvas:

C = C_{1} + C_{2}

La superficie

S : y^{2} = x - 1

está limitada por el plano

S_{1} : y + z = 2 .

Sea

F (x, y, z) = cos x sen z i + 5 j + cos z sen x k .

1.: Calcular la longitud de $C_{2}$
2.: Calcular $\iint_{S} F \cdot N dS$
3.: Calcular $\int_{C} F \cdot dr$
4.: Calcule el área de la superficie $S$

Fig. 9.59:

C

1.

y = t,

$C_{2} : r_{2} (t) = (t^{2} + 1, t, 2 - t),$ $t \in [0, 2]$

$s = \int_{C} 1 \cdot ds = \int_{0}^{2} \sqrt{4 t^{2} + 2} dt \approx 5.12401$

Si $x = t ⟹ s = \int_{1}^{5} \sqrt{\frac{1}{2 (t - 1)} + 1} dt .$ Impropia convergente. Singularidad en $t = 1$

2.

Primera manera: Proyectando sobre $Y Z$

$S : x = y^{2} + 1 .$ $N_{1} = (1, - 2 y, 0)$

$\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N d S & = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - y} (cos x sen z, 5, cos z sen x) \cdot (1, - 2 y, 0) dz dy \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{2 - y} (cos (y^{2} + 1) sen z - 10 y) dz dy \\ = & \int_{0}^{2} {- cos (y^{2} + 1) cos z - 10 yz |}_{0}^{2 - y} dy \\ = & \int_{0}^{2} - cos (y^{2} + 1) cos (2 - y) - 10 y (2 - y) + cos (y^{2} + 1) dy \end{matrix}$

Fig. 9.60:

Segunda manera: Proyectando sobre $XZ$

$S : y = \sqrt{x - 1} .$ $N_{2} = (\frac{1}{2 \sqrt{x - 1}}, 1, 0) .$

Este vector $N_{2}$ es opuesto a $N_{1},$ por tanto la integral de flujo quedará con signo contrario.

La integral es impropia en ambos órdenes " $dzdx$ " y " $dxdz$ ".

Además en el orden " $dxdz$ " aparecen funciones sin primitiva elemental.

$(cos (x) sen (z), 5, sen (x) cos (z)) \cdot (\frac{1}{4 \sqrt{x - 1}}, 1, 0) = 5 - \frac{cos (x) sen (z)}{2 \sqrt{x - 1}}$

$\begin{matrix} \iint_{S} F \cdot N d S & = & \int_{1}^{5} \int_{0}^{2 - \sqrt{x - 1}} (5 - \frac{cos (x) sen (z)}{2 \sqrt{x - 1}}) dz dx \\ = & \int_{1}^{5} (5 (2 - \sqrt{x - 1}) + \frac{cos (2 - \sqrt{x - 1}) cos (x)}{2 \sqrt{x - 1}} - \frac{cos (x)}{2 \sqrt{x - 1}}) dx \\ \approx & 13.1613 \end{matrix}$

Fig. 9.61:

3.

F

es conservativo pues Rot

F = (0, 0, 0)

. Podemos aplicar "Independencia del camino" o resolver la integral con una función potencial.

Primera manera: Resolver la integral con una función potencial

$\nabla ϕ = F ⟹ {\begin{matrix} ϕ_{x} = \int cos x sen z dx & = & sen x sen z + K_{1} (y, z) \\ ϕ_{y} = \int 5 dy & = & 5 y + K_{2} (x, z) \\ ϕ_{z} = \int cos z sen x dz & = & sen x sen z + K_{3} (x, y) \end{matrix}$

ϕ (x, y, z) = sen x sen z + 5 y + K

\int_{C} F \cdot dr = ϕ (1, 0, 2) - ϕ (1, 0, 0) = sen (1) sen (2) \approx 0.765147

Segunda manera: Usar independencia del camino.

Podemos usar el camino $C^{'} : (1, 0, t), t \in [0, 2] .$ Este camino es el segmento que une el punto $(1, 0, 0)$ con el punto $(1, 0, 2) .$

$\begin{matrix} \int_{C} F \cdot dr & = & \int_{0}^{2} (cos (1) sen t, 5, cos t sen 1) \cdot (0, 0, 1) dt \\ = & \int_{0}^{2} sen (1) cos t dt = sen (1) sen (2) \approx 0.765147 \end{matrix}$

Tercera manera: Resolver la integral "a pie"

$C : {\begin{matrix} C_{1} : r_{1} (t) & = & (t^{2} + 1, t, 0), t \in [0, 2] \\ - C_{2} : r_{2} (t) & = & (t^{2} + 1, t, 2 - t), t \in [0, 2] \end{matrix}$

$\begin{matrix} \int_{C} F \cdot dr & = & \int_{C_{1}} F \cdot dr \\ + \int_{C_{2}} F \cdot dr \\ = & \int_{0}^{2} (0, 5, sen (t^{2} + 1)) \cdot (2 t, 1, 0) dt \\ - \int_{0}^{2} (sen (2 - t) cos (t^{2} + 1), 5, sen (t^{2} + 1) cos (2 - t)) \cdot (2 t, 1, - 1) dt \\ = & \int_{0}^{2} 5 dt - \int_{0}^{2} (2 t sen (2 - t) cos (t^{2} + 1) + 5 - sen (t^{2} + 1) cos (2 - t)) dt \\ = & 10 - \frac{1}{2} (20 - cos (1) + cos (3)) \approx 0.765147 \end{matrix}$