Teorema de Green (en el plano).

12. Teorema de Green (en el plano).

El siguiente teorema, llamado “Teorema de Green en el plano”, aplica para regiones planas limitadas por curvas cerradas y simples, regulares a trozos. Una idea intuitiva, en términos de "circulación", se puede ver en la sección 14..

Teorema 47 — Teorema de Green en el plano.

Sean $P$ y $Q$ campos escalares derivables con continuidad en un conjunto abierto $S$ del plano $XY .$ Sea $C$ una curva simple cerrada regular a trozos y sea $D$ la región encerrada por $C$ (es decir, $C = ∂D$ ). Si $D$ está contenida en $S,$ se tiene la identidad

\oint_{C} P dx + Q dy = \iint_{D} \frac{\partial Q}{∂x} - \frac{\partial P}{∂y} dA

donde

C

es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj.

Intuitivamente,

C

es recorrida en sentido contrario a las agujas del reloj si al caminar a lo largo de

C

la región

D

está siempre a la izquierda. Notar que

C = ∂D

indica que

C

es la frontera de

D .

Área como una integral de línea. Si entonces $Q_{x} - P_{y} = 1,$ aplicando el teorema de Green (si se cumplen las condiciones) obtenemos otra manera para calcular el área de $A_{D}$ siendo la frontera de la región $D$ una curva orientada contra-reloj. Por ejemplo si $P (x, y) = 0$ y $Q (x, y) = x$ entonces

\oint_{C} 0 dx + x dy = \iint_{D} 1 dA = A_{D}

Lo cual puede ser conveniente si la integral de línea no ofrece gran dificultad.

Teorema 48 — Área con el Teorema de Green..

Si $D$ es una región plana limitada por una curva $C,$ cerrada simple, regular a trozos y orientada contra-reloj. Si $F = ⟨ P, Q ⟩$ es un campo vectorial tal que $\frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y} = 1$ en $D$ , entonces

A_{D} = \iint_{D} 1 d A = \oint_{C} Pdx + Qdy

En particular (para ciertas escogencias de $F$ )

a

A_{D} = \oint_{C} xdy

b

A_{D} = - \oint_{C} ydx

c

A_{D} = \frac{1}{2} \oint_{C} xdy - ydx

d

P

es un polígono simple de

n

vértices

{(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})},

con

(x_{n}, y_{n}) = (x_{0}, y_{0})

, entonces (fórmula de "shoelace" o "lazada")

A = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}) .

Hay varias situaciones que hacen que la fórmula preferida sea

$A_{D} = \frac{1}{2} \oint_{C} xdy - ydx$

porque trata a las coordenadas $x$ e $y$ de manera equitativa. Las otras dos fórmulas dependen de proyectar la curva sobre un solo eje. Si la curva tiene comportamientos "extraños" o es muy alargada en una dirección, una de las fórmulas puede ser numéricamente menos estable o más propensa a errores si la parametrización no es uniforme.

La fórmula de ’lazada’ es el algoritmo base que utilizan los topógrafos en sus instrumentos para calcular el área de un terreno a partir de sus vértices

Ejemplo297Teorema de Green

Calcular

\int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy

C

es la curva de la Figura 9.62.

Solución.

En este caso, $P (x, y) = y^{2}$ y $Q (x, y) = x^{2} .$ Como se cumplen las condiciones del teorema de Green entonces,

\begin{array}{rcl} \int_{C} y^{2} dx + x^{2} dy & = & \iint_{D} \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y} dA \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2}} 2 x - 2 y dy dx \\ = & \int_{0}^{1} 2 x^{3} - x^{4} dx = \frac{3}{10} \end{array}

Fig. 9.62:

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}

Ejemplo298Teorema de Green

Calcular

I = \int_{C} (x + y) dx + (3 x + arctan y) dy

C

es la curva de la Figura 9.63.

Solución. En este ejemplo,

P (x, y) = x + y

Q (x, y) = 3 x + arctan (y) .

Como se cumplen las condiciones del teorema de Green, entonces

\begin{array}{rcl} I & = & \iint_{D} \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y} dA \\ = & \int_{- 1}^{1} \int_{x^{2} - 1}^{(3 - 3 x) / 2} 3 - 1 dy dx \\ = & \int_{- 1}^{1} 5 - 3 x - 2 x^{2} dx = \frac{26}{3} \end{array}

Fig. 9.63:

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}

Ejemplo299Teorema de Green

Calcular

I = \int_{C} (x + arcsen x) dx + (2 x + ln (y^{2} - 3)) dy

C

es la curva de la Figura 9.64.

Solución. En este ejemplo,

P (x, y) = x + arcsen x

Q (x, y) = 2 x + ln (y^{2} - 3) .

Como se cumplen las condiciones del teorema de Green podemos poner

Fig. 9.64:

C = C_{1} \cup C_{2}

$\begin{matrix} I & = & \iint_{D} \frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y} d A \\ = & \int_{- 2}^{2} \int_{1 - x^{2} ∕ 4}^{4 - x^{2}} 2 dy dx \\ = & \int_{- 2}^{2} 6 - \frac{3 x^{2}}{2} dx = 16 . \end{matrix}$

Ejemplo300Área

-

Teorema de Green

Calcular el área de la región encerrada por la elipse $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 .$

Solución. Debemos calcular $A_{D} = \int_{C} x dy$ .

Parametrizamos la elipse con

$r (t) = a cos t i + b sen t j$ con $t \in [0, 2 π [.$

Esta parametrización orienta la elipse contra-reloj. En este caso

$x (t) = a cos t$

$y (t) = b sen t$

$dy = b cos t dt,$

A_{D} = \int_{C} x dy = \int_{0}^{2 π} a cos t \cdot b cos t dt = πab .

Ejemplo301Área de un polígono simple

Sea $P$ un polígono simple de $n$ vértices ${(x_{0}, y_{0}), (x_{1}, y_{1}), \dots, (x_{n - 1}, y_{n - 1})},$ con $(x_{n}, y_{n}) = (x_{0}, y_{0})$ .

1

Verifique que su área es

A = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(x_{k + 1} + x_{k}) (y_{k + 1} - y_{k})}{2} .

2

Verifique que la fórmula anterior es equivalente a la clásica de shoelace:

A = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}) .

Solución.

1

Asumimos que

C = C_{0} + C_{1} + \dots + C_{n - 1}

está orientada en sentido antihorario.

Cada lado $C_{k}$ (del vértice $(x_{k}, y_{k})$ al vértice $(x_{k + 1}, y_{k + 1})$ ), se parametriza por

r_{k} (t) = ((x_{k + 1} - x_{k}) t + x_{k}, (y_{k + 1} - y_{k}) t + y_{k}), t \in [0, 1] .

Por el teorema de Green en el plano,

A = \oint_{C} x dy = \iint_{D} 1 dA .

Entonces

\begin{matrix} A & = & \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{C_{k}} x dy \\ = & \sum_{k = 0}^{n - 1} \int_{0}^{1} [(x_{k + 1} - x_{k}) t + x_{k}] (y_{k + 1} - y_{k}) dt \\ = & \sum_{k = 0}^{n - 1} (y_{k + 1} - y_{k}) {[(x_{k + 1} - x_{k}) \frac{t^{2}}{2} + x_{k} t]}_{0}^{1} \\ = & \sum_{k = 0}^{n - 1} (y_{k + 1} - y_{k}) (\frac{x_{k + 1} - x_{k}}{2} + x_{k}) \end{matrix}

Si el recorrido es horario, la fórmula entrega $- A$ .

2

La fórmula obtenida es equivalente a la clásica de shoelace:

A = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}) .

En efecto, desarrollando el sumando de nuestra fórmula,

\frac{(x_{k + 1} + x_{k}) (y_{k + 1} - y_{k})}{2} = \frac{x_{k + 1} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k} + x_{k} y_{k + 1} - x_{k} y_{k}}{2},

y al sumar sobre $k$ los términos $x_{k + 1} y_{k + 1}$ y $x_{k} y_{k}$ producen una suma telescópica que se anula porque $(x_{n}, y_{n}) = (x_{0}, y_{0})$ :

\sum_{k = 0}^{n - 1} (x_{k + 1} y_{k + 1} - x_{k} y_{k}) = x_{n} y_{n} - x_{0} y_{0} = 0 .

Por tanto,

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{(x_{k + 1} + x_{k}) (y_{k + 1} - y_{k})}{2} = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}) .

13.1

Sea

F

un campo vectorial dado por

F (x, y) = (x + y) i - (x^{2} + y^{2}) j .

La curva

C

es la frontera del trapecio limitado por las curvas

y = 0,

x = 1,

x = 3

y = x

como se muestra en la Figura 9.65.

Fig. 9.65:

1: Calcular la integral $\int_{C} F \cdot d r$ usando el teorema de Green.

$- \frac{64}{3}$
2: Calcular la integral $\int_{C} F \cdot d r$ sin utilizar el teorema de Green.
$\int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r + \int_{C_{3}} F \cdot d r + \int_{C_{4}} F \cdot d r = 4 - 36 + 28 ∕ 3 + 4 ∕ 3 = - \frac{64}{3}$

13.2

Considere el campo vectorial

F (x, y) = x i + (x + y^{2}) j .

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

donde

C = C_{1} + C_{2}

tal y como se muestra en la Figura 9.66.

Fig. 9.66:

Como se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Green en el plano, excepto la orientación de la curva, entonces

$\begin{matrix} \int_{C} F \cdot d r & = & - \int_{- 2}^{2} \int_{3 y^{2} ∕ 4}^{3} 1 - 0 dx dy = - 8 . \end{matrix}$

13.3

Considere el campo vectorial

F (x, y, z) = y i + x^{2} j

Calcule la integral de línea $\int_{C} F \cdot d r$ donde $C$ es la curva que se muestra en la Figura 9.67.

Fig. 9.67:

Por el teorema de Green:

\begin{array}{rcl} \int_{nC} F \cdot d r & = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2} + 1} (\frac{∂Q}{∂x} - \frac{∂P}{∂y}) dydx \\ = & \int_{0}^{1} \int_{0}^{x^{2} + 1} (2 x - 1) dydx \\ = & \int_{0}^{1} (2 x - 1) (x^{2} + 1) dx = \frac{1}{6} . \end{array}

13.4

Calcule la integral

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y) = (x y^{2} + \sqrt{2 + cos x}) i + (y x^{2} - y e^{sen y}) j

C = C_{1} \cup C_{2} \cup C_{3}, y

(Figura 9.68).

Fig. 9.68:

Se omite.

13.5

Calcule

\int_{C} (4 y + arctan (x / 5) dx + (x^{2} + ln (y + 1)) dy

C

es el camino representado en la Figura 9.69.

Fig. 9.69:

Se omite

13.6La finca “La Esperanza” tiene la forma poligonal que se muestra en la Figura 9.70. Sus vértices, medidos en kilómetros respecto a un origen en la esquina suroeste, son:


$k$	0	1	2	3	4	5	6	7	8

$x_{k}$	2	8	15	18	17	14	9	5	1
$y_{k}$	1	$\frac{1}{2}$	2	6	12	16	15	13	8

Fig. 9.70: Mapa

(a)

Estime el área de la finca contando cuadrados completos y fracciones de los cuadrados parciales. (Cada cuadrado de la malla mide

2 \times 2

km.)

(b)

Calcule el área exacta aplicando el teorema de Green en la forma

A = \frac{1}{2} \oint_{C} (- y dx + x dy) = \frac{1}{2} \sum_{k = 0}^{n - 1} (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}),

con $(x_{n}, y_{n}) = (x_{0}, y_{0})$ . Exprese el resultado en km $^{2}$ y en hectáreas.

La curva

C

que recorre el contorno de la finca está formada por los segmentos rectos

C_{0}, C_{1}, \dots, C_{8}

que unen los vértices

P_{k} = (x_{k}, y_{k})

en sentido antihorario. Como cada lado es un segmento recto, la integral de línea se reduce a la suma de las contribuciones de cada lado, es decir, a la fórmula de shoelace:

A = \frac{1}{2} | \sum_{k = 0}^{8} (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}) |, (x_{9}, y_{9}) = (x_{0}, y_{0}) .

Calculamos cada término:

\begin{matrix} P_{0} \to P_{1} : & 2 \cdot \frac{1}{2} - 8 \cdot 1 & = - 7, \\ P_{1} \to P_{2} : & 8 \cdot 2 - 15 \cdot \frac{1}{2} & = \frac{17}{2}, \\ P_{2} \to P_{3} : & 15 \cdot 6 - 18 \cdot 2 & = 54, \\ P_{3} \to P_{4} : & 18 \cdot 12 - 17 \cdot 6 & = 114, \\ P_{4} \to P_{5} : & 17 \cdot 16 - 14 \cdot 12 & = 104, \\ P_{5} \to P_{6} : & 14 \cdot 15 - 9 \cdot 16 & = 66, \\ P_{6} \to P_{7} : & 9 \cdot 13 - 5 \cdot 15 & = 42, \\ P_{7} \to P_{8} : & 5 \cdot 8 - 1 \cdot 13 & = 27, \end{matrix}

Sumando:

\sum_{k = 0}^{8} (x_{k} y_{k + 1} - x_{k + 1} y_{k}) = - 7 + \frac{17}{2} + 54 + 114 + 104 + 66 + 42 + 27 - 15 = \frac{787}{2} .

Por tanto,

A = \frac{1}{2} \cdot \frac{787}{2} = \frac{787}{4} = 196.75 {km}^{2} .

Como $1 {km}^{2} = 100$ hectáreas,

A = 196.75 {km}^{2} = 19 675 ha .

Una estimación por conteo de cuadrados debería dar un valor cercano a

196.75 {km}^{2}

(aproximadamente entre

180

210

^{2}

según la precisión en la aproximación de los cuadrados parciales).