Teorema de Stokes.

14. Teorema de Stokes.

El Teorema de Stokes relaciona lo que ocurre en el borde $∂S$ de una superficie $S$ con lo que ocurre en su interior.

Intuitivamente: la "circulación total" de un campo vectorial a lo largo de una curva cerrada (el borde) es exactamente igual a la suma de todas las "rotaciones locales" (el rotacional) del campo sobre la superficie que esa curva encierra. Si medimos cuánto "gira" un fluido a lo largo del contorno, obtenemos el mismo resultado que si sumáramos todo el remolino que hay dentro de la superficie.

Podemos llegar a esa idea siguiendo un hilo simple. Partimos de la rotación más intuitiva que existe —un cuerpo rígido que gira con velocidad angular

w

, donde cada punto se mueve según

w \times r

y esto la usamos para reconocer la "parte rotacional escondida" en cualquier campo

F

. Esa parte rotacional es, precisamente, lo que mide

rot F

. Después veremos que esa misma parte rotacional es la única responsable de que

F

tenga circulación alrededor de un lazo pequeño; y sumar esa circulación microscópica sobre toda una superficie

S

es justamente lo que conecta

\iint_{S} rot F \cdot N d S

con la integral de línea sobre

∂S .

Rotacional. Sea $F = (P, Q, R)$ entonces el rotacional de $F$ es

rot F = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{∂x} & \frac{\partial}{∂y} & \frac{\partial}{∂z} \\ P & Q & R \end{matrix} | = (R_{y} - Q_{z}, P_{z} - R_{x}, Q_{x} - P_{y}) .

Es usual usar la notación $rot F = \nabla \times F$ donde $\nabla$ es el operador $\nabla = (\frac{\partial}{∂x}, \frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂z})$

Orientación positiva de

C = \partial S_{1}

respecto a

N .

El teorema de Stokes (o de "Green el el espacio") requiere que la curva esté orientada "positivamente", esto significa que la orientación de la curva debe ser tal que gire contra-reloj respecto al vector normal unitario

N .

Fig. 9.71: Orientación positiva de

C

respecto a

N .

Teorema 49 — Teorema de Stokes.

Sea $S_{1}$ una superficie orientable, regular a trozos y limitada por una curva $C = \partial S_{1},$ cerrada y regular a trozos. Si $F = (P, Q, R)$ es de clase $C^{1}$ sobre $S_{1}$ y si $N$ (el vector normal unitario) es elegido de tal manera que $C$ tiene orientación positiva, entonces

\int_{C} F \cdot d r = \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS

El teorema de Stokes se puede extender a dos o más curvas cerradas.

Producto cruz y flujo rotacional

En la Subsección 7. nos ocupamos brevemente del "movimiento circular". Ahora vamos a retomar este concepto.
Consideremos un vector fijo

w

y el campo

F (r) = w \times r

. En cada punto

F (r)

se puede ver como un vector tangente (Figura 9.72).

Fig. 9.72:

F (r) = w \times r

Flujo rotacional. Tomamos una malla de puntos

r_{i}

sobre un plano, digamos

z = 0

y hacemos la representación grafica de

F (r)

sobre esa malla y observamos que los que obtenemos es un "flujo rotacional" alrededor de

w

Rotacional

La idea aquí es la siguiente (en "grosso modo"): Los campos

F

se pueden descomponer como una suma de una matriz simétrica y otra antisimétrica.

Si $A$ es antisimétrica ( $A^{T} = - A$ ) entonces existe un único vector $w$ tal que

A r = w \times r

Entonces $F$ tiene una parte "rotacional".

Veamos: Sea $F = (P, Q, R)$ un campo vectorial diferenciable y $J_{F}$ su matriz jacobiana,

J_{F} = (\begin{matrix} P_{x} & P_{y} & P_{z} \\ Q_{x} & Q_{y} & Q_{z} \\ R_{x} & R_{y} & R_{z} \end{matrix}) .

Toda matriz se descompone, de manera única, en una parte simétrica y una parte antisimétrica,

J_{F} = \underset{simétrica}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (J_{F} + J_{F}^{T})}} + \underset{antisimétrica}{\underset{⏟}{\frac{1}{2} (J_{F} - J_{F}^{T})}} .

Cerca de un punto $r_{0}$ , el campo se aproxima (linealización) por

F (r_{0} + h) \approx F (r_{0}) + J_{F} (r_{0}) h .

La parte simétrica de

J_{F}

describe cómo el flujo estira y deforma el espacio en las direcciones de sus autovectores: Es la responsable de la expansión/compresión de volumen, ligada a la divergencia: su traza es exactamente

(\frac{\partial}{∂x}, \frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂z}) \cdot F

La parte antisimétrica de

J_{F}

se identifica con un único vector

w

vía

\begin{matrix} \frac{1}{2} (J_{F} - J_{F}^{T}) h & = & w \times h \end{matrix}

Fig. 9.73:

exactamente la misma forma $w \times r$ que nos da "flujo rotacional". Es decir: localmente, todo campo vectorial gira como un cuerpo rígido con velocidad angular $w$ . Por eso se define

rot F = (\frac{\partial}{∂x}, \frac{\partial}{∂y}, \frac{\partial}{∂z}) \times F = 2 w,

\begin{matrix} \frac{1}{2} (J_{F} - J_{F}^{T}) h & = & w \times h \\ = & \frac{1}{2} (rot F (r_{0})) \times h \end{matrix}

El rotacional mide (el doble de) la velocidad angular local del flujo: en cada punto, la parte antisimétrica de

J_{F}

describe una rotación infinitesimal, y

rot F

es el eje-vector de esa rotación.

Ejemplo302Descomposición simétrica y antisimétrica de un campo lineal

Vamos a ver cómo funciona la teoría. Consideremos el campo vectorial $F (x, y, z) = (- 2 y, 0, 0)$ y el punto $r_{0} = (1, 1, 0) .$

h = (h_{1}, h_{2}, h_{3}),

un punto cercano a

r_{0}

puede escribirse en la forma

r = r_{0} + h, = (1 + h_{1}, 1 + h_{2}, h_{3}),

y, por tanto, $F (r_{0} + h) = F (1 + h_{1}, 1 + h_{2}, h_{3}) = (- 2 (1 + h_{2}), 0, 0) .$

Como el campo $F$ es lineal, su linealización es exacta:

F (r_{0} + h) = F (r_{0}) + J_{F} (r_{0}) h .

La descomposición local del campo queda

F (r_{0} + h) = F (r_{0}) + S h + A h = (- 2, 0, 0) + (- h_{2}, - h_{1}, 0) + \underset{parte rotacional}{\underset{⏟}{(- h_{2}, h_{1}, 0)}} .

Como $rot F (r_{0}) = (0, 0, 2)$ (constante) entonces $A h = (- h_{2}, h_{1}, 0) = \frac{1}{2} rot F (r_{0}) \times h .$

Fig. 9.74: Flechas rojas: Parte antisimétrica en varios puntos

r_{0} + h

Ejemplo303Campo con parte antisimétrica pura

Consideremos ahora el campo vectorial $F (x, y, z) = (- y, x, 0)$ y el punto $r_{0} = (1, 1, 0) .$

Alrededor de $r_{0}$ , el campo se descompone en el vector constante $F (r_{0})$ y una rotación local pura:

F (r_{0} + h) = F (r_{0}) + w \times h .

En este ejemplo, la ausencia de parte simétrica permite aislar con claridad el significado geométrico de la parte antisimétrica del jacobiano.

Fig. 9.75: Las flechas rojas representan la parte antisimétrica

A h

en varios puntos

r_{0} + h .

Las flechas grises representan a

F (r_{0} + h) .

Propósito: Visualizar como la "parte rotacional" de un campo $F$ actúa en una malla de puntos en un plano.

El widget tiene dos botones para elegir entre el campo $F$ y "la parte rotacional" Conviene escalar los vectores para una mejor visualización.

Para que la animación sea sencilla usamos un campo para el que $rot F$ sea constante por eso elegimos $F (x, y, z) = (- y, 0, 0)$ con rotacional $rot F = (0, 0, 1)$ .

La cejilla de campos, en todo caso, ofrece otras opciones de campo $F$

Circulacion. La "circulación" es el movimiento total del fluido a medida que viaja a lo largo de una curva. La circulación de un fluido sobre una circunferencia

C

en un plano

z = c

se mide con la componente tangencial de

F,

es decir, se mide con

F \cdot T

donde

T = \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |} .

Fig. 9.76: Circulación

El "movimiento total" del fluido sobre

C

se obtiene integrando respecto a la longitud de arco.

circulación = \int_{C} F \cdot T ds

Ahora como

$\begin{matrix} T & = & \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |} \\ ds & = & | | r^{'} (t) | | dt \end{matrix}$

Entonces

circulación = \int_{C} F \cdot T ds = \int_{C} F (r (t)) \cdot \frac{r^{'} (t)}{| | r^{'} (t) | |} | | r^{'} (t) | | dt = \int_{C} F \cdot d r

Caso especial. Circulación de $F = (- k y, 0, 0)$ sobre una circunferencia.

Si tenemos una circunferencia

C : r (t) = (a + r cos t) i + (a + r sen t) j + c k

con

t \in [0, 2 π]

y si

F (x, y, z) = (- k y, 0, 0), k \in ℝ

entonces $rot F = (0, 0, k)$ y $N_{z} = (0, 0, 1)$ y

circulación = \int_{C} F \cdot d r = k π r^{2} = (rot F \cdot N_{z})) A_{círculo}

Caso especial. Circulación de

F = (- k y, 0, 0)

sobre un cuadrado.

Sea

C

la frontera de un cuadrado, orientada contrareloj, en el plano

z = c .

Supongamos que cada uno de sus lados miden

L

y que estos lados son paralelos a los ejes.

Como antes

F = (- k y, 0, 0) .

En este caso,

F \cdot T = 0

en los lados paralelos al eje

Y

En el lado de arriba, $y = b + L$ , la velocidad tangencial es $k (b + L)$ y el lado de abajo, $y = b$ , la velocidad tangencial es $- kb;$ por lo tanto,

Fig. 9.77:

circulación = k (b + L) L - kbL = k L^{2} = (rot F \cdot N_{z}) A_{cuadrado}

Solo la parte antisimétrica de $J_{F}$ puede producir circulación. Los dos cálculos anteriores no son casualidad: en ambos, la circulación sobre una curva cerrada pequeña resultó ser exactamente $(rot F \cdot N) \cdot$ (área encerrada). Esto no es un accidente del ejemplo $F = (- ky, 0, 0)$ : vale para cualquier campo, porque solo la parte antisimétrica de $J_{F}$ puede producir circulación.

En efecto, si

S

es la parte simétrica de

J_{F} (r_{0})

, el campo

h \mapsto F (r_{0}) + S h

es un gradiente:

F (r_{0}) + S h = \nabla_{h} [F (r_{0}) \cdot h + \frac{1}{2} h^{T} S h] .

Todo campo gradiente tiene circulación nula alrededor de cualquier curva cerrada. Por lo tanto, en la aproximación lineal, la circulación de $F$ sobre un lazo pequeño centrado en $r_{0}$ proviene únicamente de la parte antisimétrica:

\oint F \cdot d r \approx \oint (w \times h) \cdot d r, w = \frac{1}{2} rot F (r_{0}) .

Es decir: la "parte rotacional" que vimos como campo de velocidad angular es exactamente, y lo único que, puede producir circulación.

Interpretación física: la rueda de paletas

Acabamos de ver que solo la parte antisimétrica de $J_{F}$ puede producir circulación, actuando cerca de $r_{0}$ como una rotación rígida con velocidad angular $w = \frac{1}{2} rot F (r_{0})$ . Hay una manera de "medir" esa circulación con un objeto físico sencillo: una rueda de paletas.

Imaginemos una rueda pequeña, de radio

𝜀

, con aspas rígidas, libre de girar alrededor de un eje que apunta en la dirección

N

, colocada en

r_{0}

e inmersa en el flujo

F

. En la punta de cada aspa,

F

tiene una componente radial (a lo largo del aspa, no produce giro) y una componente tangencial (perpendicular al aspa: es la que empuja). Si esos empujes tangenciales no están equilibrados entre las aspas, aparece una torca neta (o "torque neto") y la rueda gira.

Esa torca neta es, salvo constantes, la circulación de

F

a lo largo del pequeño lazo que barren las puntas de las aspas:

torca \propto \oint_{aspas} F \cdot T ds .

Cuando el número de aspas $n \to \infty$ (el lazo discreto se vuelve un círculo continuo de radio $𝜀 \to 0$ ), esta torca resulta proporcional a $rot F (r_{0}) \cdot N$ : la rueda gira más rápido cuando su eje $N$ se alinea con $rot F (r_{0})$ , y no gira si $N ⊥ rot F (r_{0})$ .

Esta es precisamente la idea que hace natural el Teorema de Stokes: la "circulación microscópica" que la rueda detecta en un punto es, en el límite,

rot F \cdot N

, y sumar esa circulación microscópica sobre toda una superficie da la circulación macroscópica en su frontera —exactamente la cancelación de aristas interiores que vemos con la "grilla" de Green más adelante.

Propósito: Visualizar una rueda de paletas inmersa en distintos campos $F$ , mostrando cómo el desequilibrio de empujes tangenciales entre las aspas produce (o no) un giro neto, y comparar ese giro con $rot F (r_{0}) \cdot N$ .

El punto

r_{0}

se puede arrastrar libremente.

Campos disponibles:

a: Rotación pura $F = (- y, x)$ — la rueda gira a velocidad máxima, pareja en todo el plano.
b: Corte simple (shear) $F = (- 2 y, 0)$ — la rueda gira igual que en (a) (mismo $rot F$ ), aunque las trayectorias de las partículas son líneas rectas: activa "trayectoria real" para verlo.
c: Radial/fuente $F = (x, y)$ — $rot F = 0$ : el empuje tangencial es cero en cada aspa, no solo en la suma.
d: Silla $F = (y, x)$ — $rot F = 0$ : cada aspa siente empuje, pero la suma se cancela.
e: $⋆$ Rotacional variable $F = (- xy, \frac{1}{2} x^{2})$ — $rot F = 2 x k$ depende del punto: al arrastrar la rueda de un lado al otro del eje $Y$ , el giro cambia de sentido.

De la circulación local a la frontera exterior. Dividamos ahora una región rectangular $D$ en muchos rectángulos pequeños $R_{ij}$ . En cada rectángulo, orientado en sentido antihorario, el comportamiento local anterior sugiere que:

\int_{\partial R_{ij}} F \cdot T ds \approx (rot F (P_{ij}) \cdot N) Δ A_{ij},

donde $P_{ij}$ es un punto del rectángulo y $Δ A_{ij}$ es su área.

Sumemos ahora la circulación sobre las fronteras de todos los rectángulos:

\sum_{i, j} \int_{\partial R_{ij}} F \cdot T ds .

Cada lado situado en el interior de $D$ pertenece a dos rectángulos vecinos. Sin embargo, ese lado se recorre en sentidos opuestos al considerar las orientaciones positivas de ambos rectángulos. Por esta razón, las dos contribuciones son:

\int_{γ} F \cdot T ds y \int_{- γ} F \cdot T ds,

y se cancelan exactamente:

\int_{γ} F \cdot T ds + \int_{- γ} F \cdot T ds = 0 .

Por lo tanto, al sumar las circulaciones de todos los pequeños rectángulos, desaparecen todos los lados interiores y permanecen únicamente los lados que forman la frontera exterior

∂D

\sum_{i, j} \int_{\partial R_{ij}} F \cdot T ds = \int_{∂D} F \cdot T ds .

Al mismo tiempo,

\sum_{i, j} (rot F (P_{ij}) \cdot N) Δ A_{ij}

es una suma de Riemann. Cuando la partición se hace cada vez más fina, esta suma tiende al flujo del rotacional a través de la región:

\sum_{i, j} (rot F (P_{ij}) \cdot N) Δ A_{ij} \to \iint_{D} rot F \cdot N dA .

Así, la circulación microscópica acumulada en el interior se transforma en una circulación macroscópica únicamente sobre la frontera exterior:

\int_{∂D} F \cdot T ds = \iint_{D} rot F \cdot N dA

Caso general.

La misma idea se extiende a una superficie orientada $S_{1}$ . La dividimos en pequeños parches orientados de manera compatible. Las integrales sobre las curvas interiores aparecen dos veces, con orientaciones opuestas, y se cancelan; solamente permanece la frontera exterior $\partial S_{1}$ .

En cada pequeño parche, el producto $rot F \cdot N$ mide la circulación microscópica por unidad de área. Al sumar todas estas contribuciones y tomar el límite obtenemos:

\begin{array}{rcl} circulación de F a lo largo de \partial S_{1} & = & flujo de rot F a través de S_{1} \\ \int_{\partial S_{1}} F \cdot T ds & = & \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS \\ = & \iint_{S_{1}} “circulación microscópica de F por unidad de área” dS . \end{array}

Nota histórica: ¿El Teorema de Stokes?.

El “Teorema de Stokes” no es de George Gabriel Stokes (1819–1903), es un teorema de William Thomson (1824–1907), comunicado a Stokes en una carta privada y sin demostración. Stokes lo incluyó como pregunta #8 en el examen “Smith’s Prize” de Cambridge en 1854, sin ganador conocido (desde ahí se asocia con su nombre). La primera demostración conocida del teorema es de Hermann Hankel (1839–1873) en 1861. El Teorema de Green, debido al molinero (casi sin educación formal) George Green (1793–1841), es previo al Teorema de Stokes y constituye un caso particular de éste, en el plano.

Ejemplo304Tereoma de Stokes

Sea

S

la superficie de ecuación

z = 2

tal y como se muestra en la Figura 9.78. La curva

C

es la frontera de

S .

F (x, y, z) = 3 y i - xz j + y z^{2} k,

calcular

\int_{C} F \cdot d r

1: con la definición de integral de línea.
2: utilizando el Teorema de Stokes

Fig. 9.78:

Solución. Una parametrización para $C$ es

r (t) = \underset{x (t)}{\underset{⏟}{2 cos t}} i + \underset{y (t)}{\underset{⏟}{2 sen t}} j + \underset{z (t)}{\underset{⏟}{2}} k, t \in [0, 2 π]

1

Usando la definición de integral de línea.

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int_{C} F (r (t)) \cdot r^{'} (t) dt \\ = & \int_{0}^{2 π} (3 \cdot 2 sen t, - (2 cos t) (2), (2 sen t) {(2)}^{2}) \cdot (- 2 sen t, 2 cos t, 0) dt \\ = & \int_{0}^{2 π} - 12 sen^{2} t - 8 cos^{2} t dt = - 20 π \end{array}

2

La superficie es

S : z = 2

y la proyección es el círculo

x^{2} + y^{2} = 4 .

El vector

N

se debe tomar de acuerdo a la regla de la mano derecha:

N = \frac{(- z_{x}, - z_{y}, 1)}{| | (- z_{x}, - z_{y}, 1) | |} = (0, 0, 1) .

Luego, $rot F = (x + z^{2}, 0, - 3 - z) .$ Entonces,

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \int \int_{S} rot F \cdot N dS \\ = & \int \int_{R_{xy}} (x + z^{2}, 0, - 3 - z) \cdot (0, 0, 1) dA = \int \int_{R_{xy}} - 3 - z dA \\ = & \int \int_{R_{xy}} - 5 dA, pues S : z = 2 \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} - 5 r dr d𝜃 = - 20 π \end{array}

Ejemplo305Tereoma de Stokes

Utilice el teorema de Stokes para calcular

\int_{C} F \cdot d r

donde

F (x, y, z) = 3 y i - xz j + y z^{2} k

C

es la curva de intersección entre el paraboloide

2 z = x^{2} + y^{2}

y el plano

z = 2,

tal y como se muestra en la Figura 9.79.

Fig. 9.79:

Solución. La curva es borde de dos superficies, el plano $z = 2$ y también del paraboloide $2 z = x^{2} + y^{2} .$ ¿Cuál superficie escoger, el paraboloide o el plano?.

De acuerdo al Teorema de Stokes, se puede escoger cualquiera de las dos. La más simple es el plano $z = 2 .$ Si $S : z - 2 = 0$ entonces $N = \pm (0, 0, 1) .$ ¿Cuál signo se escoge?.

Las integrales $\int_{C} F \cdot d r$ y $\iint_{S_{1}} rot F \cdot N d S$ tienen el mismo valor si $N$ se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha (sino, difieren en el signo), en este caso particular y de acuerdo a la orientación de $C,$ el que se debe escoger es $N = (0, 0, 1) .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS \\ = & \iint_{r_{xy}} (z^{2} + x, 0, - z - 3) \cdot (0, 0, 1) dA, \\ = & \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (- z - 3) r dr d𝜃 = \int_{0}^{2 π} \int_{0}^{2} (- 2 - 3) r dr d𝜃 = {- 10 𝜃 |}_{0}^{2 π} = - 20 π . \end{array}

Ejemplo306Tereoma de Stokes

Calcular $\int_{C} F \cdot d r$ si $F (x, y, z) = (yz, x, z^{2})$ y $C$ es la frontera de la superficie $S_{1} : y = x^{2} + 1$ limitada porlos planos $z = 5 - y$ y $z = 0,$ como se ve en la Figura 9.80.

Fig. 9.80:

Fig. 9.81:

Fig. 9.82:

Solución. Vamos a resolver el problema de dos maneras: Proyectando $S_{1}$ sobre $XZ$ y proyectando $S_{1}$ sobre $Y Z .$

1

Proyectando

S_{1}

sobre el plano

XZ .

Como

S_{1} : y = 1 + x^{2},

un vector normal es

N_{1} (x, y, z) = \pm (- y_{x}, 1, - y_{z}) .

El normal adecuado es

N_{1} (x, y, z) = (y_{x}, - 1, y_{z}) = (2 x, - 1, 0) .

En la figura aparece el vector

N_{1} (1, 2, 2) = (2, - 1, 0) .

rot F = (0, y, 1 - z) .

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} (0, y, 1 - z) \cdot (2 x, - 1, 0) dzdx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} - y dz dx = \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} - x^{2} - 1 dzdx = - 48 ∕ 5 . \end{array}

2

Proyectando

S_{1}

sobre el plano

Y Z .

Como

S_{1} : x = \sqrt{y - 1},

un vector normal es

N_{1} (x, y, z) = \pm (1, - x_{y}, - x_{z}) .

El normal adecuado es

N_{1} (x, y, z) = (1, \frac{- 1}{2 \sqrt{y - 1}}, 0) .

rot F = (0, y, 1 - z) .

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS \\ = & \int_{1}^{5} \int_{0}^{5 - y} (0, y, 1 - z) \cdot (1, \frac{- 1}{2 \sqrt{y - 1}}, 0) dzdy \\ = & \int_{1}^{5} \int_{0}^{5 - y} - \frac{y}{2 \sqrt{y - 1}} dzdy = - 48 ∕ 5 . \end{array}

Ejemplo307Tereoma de Stokes

Sea

S_{1} : y = 4 - x^{2} - z^{2}

en el primer octante y

C = \partial S_{1} .

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y, z) = (xy, z, y)

Fig. 9.83: Curva

C .

Solución. La ecuación de la superficie $S_{1}$ es $y = 4 - x^{2} - z^{2} .$ Vamos a proyectar sobre el plano $XZ .$ El vector normal adecuado para que se cumpla la identidad del teorema de Stokes es

N_{1} (x, y, z) = (- y_{x}, 1, - y_{z}) = (2 x, 1, 2 z) .

Para ver esto, tome un punto de la superficie $S,$ digamos $(1, 2, 1) .$ En este caso $N_{1} (1, 2, 1) = (2, 1, 2) .$ Al trasladarlo a la superficie, vemos que es el vector adecuado.

•

rot F = (0, 0, - x) .

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS \\ = & \iint_{D} (0, 0, - x) \cdot (2 x, 1, 2 z) dz dx \\ = & \int_{0}^{2} \int_{0}^{\sqrt{4 - x^{2}}} - 2 xz dz dx = - 4 . \end{array}

Ejemplo308Tereoma de Stokes

Sea

Q

el sólido limitado por las superficies

S_{1} : z = sen (xy), S_{2} : x = \frac{π}{2}

S_{3} : y = x

Calcule

\int_{C} F \cdot d r

F = (z, x, x)

C

es la frontera de la superficie

S_{1} .

Fig. 9.84: Sólido

Q

Solución. Como $S_{1} : z = sen (xy),$ entonces

N_{1} (x, y, z) = (- y cos (xy), - x cos (xy), 1) .

Tomamos un punto de la superficie, digamos

(1, 1, sen (1)),

en la figura de arriba se muestra la traslación a ese punto del vector

N_{1} (1, 1) = (- cos (1), - cos (1), 1);

se nota que la curva

C

no está orientada positivamente, así que debemos tomar

N_{1} = (y cos (xy), x cos (xy), - 1) .

Ahora,

rot F = (0, 0, 1);

proyectamos sobre el plano

XY

la región de integración es el triángulo

0 \leq x \leq π ∕ 2

0 \leq y \leq x .

\begin{matrix} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{x} (0, 0, 1) \cdot (y cos (xy), x cos (xy), - 1) dydx \\ = & \int_{0}^{π ∕ 2} \int_{0}^{x} - 1 dydx = - \frac{π^{2}}{8} \end{matrix}

Ejemplo309Tereoma de Stokes

Calcular

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y, z) = (x + y, 2 x - z, y + z)

C

la frontera de la superficie

S_{1},

esta superficie es la porción del plano

3 x + 2 y + z = 6

en el primer octante.

Fig. 9.85:

Solución. La ecuación de la superficie $S_{1}$ es $z = 6 - 3 x - 2 y .$ La curva está orientada a favor de reloj respecto al vector normal $N_{1} = (- z_{x}, - z_{y}, 1) = (3, 2, 1),$ como se ve en la figura, por lo tanto debemos usar el vector $N_{1} = (z_{x}, z_{y}, - 1) = (- 3, - 2, - 1) .$ Recordemos que no necesitamos hacerlo unitario por la cancelación de normas en la integral de superficie.

• $rot F = (2, 0, 1) .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S_{1}} rot F \cdot N dS \\ = & \iint_{D} (2, 0, 1) \cdot (- 3, - 2, - 1) dydx \\ = & - \int_{0}^{2} \int_{0}^{3 - 3 ∕ 2 x} 7 dydx = - 21 . \end{array}

15.1

Sea

F (x, y, z) = (x^{2} - y, yz - x, x + 2 y) .

Calcule la integral de línea

\int_{C} F \cdot d r

, donde

C

es la curva que se muestra en la Figura 9.86 de la derecha.

Fig. 9.86:

rot (F) = | \begin{matrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{∂x} & \frac{\partial}{∂y} & \frac{\partial}{∂z} \\ x^{2} - y & yz - x & x + 2 y \end{matrix} | = (2 - y, - 1, 0)

Un vector normal para $y = 2 x$ es $N_{1} = (2, - 1, 0),$ pero la curva gira a favor de reloj respecto a $N_{1},$ por lo que ha que ajustar el signo.

Así

\begin{array}{rcl} \int_{C} Fdr & = & - \iint_{S} rot (F) \cdot N dA \\ = & - \iint_{R} (2 - y, - 1, 0) \cdot (2, - 1, 0) dA \\ = & - \iint_{R} (- 2 y - 3) dA \\ = & - \int_{0}^{π / 2} \int_{0}^{1} (- 2 (2 r cos 𝜃) - 3) rdrd𝜃 \\ = & - \int_{0}^{π / 2} {(- 4 \frac{r^{3}}{3} cos 𝜃 - 3 \frac{r^{2}}{2}) |}_{r = 0}^{r = 1} d𝜃 \\ = & - \int_{0}^{π / 2} (\frac{- 4}{3} cos 𝜃 - \frac{3}{2}) d𝜃 \\ = & - {(\frac{- 4}{3} sen 𝜃 - \frac{3 𝜃}{2}) |}_{0}^{\frac{π}{2}} = - \frac{- 4}{3} + \frac{3 π}{4} \end{array}

15.2

Calcule la integral

\int_{C} F \cdot d r

donde

F = (zx, zy, x)

y además

C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}

es la curva que se muestra en la Figura 9.87.

Fig. 9.87:

$C$ es una curva cerrada simple, suave a trozos. Podemos usar el Teorema de Stokes (T. Green en el espacio). Tenemos dos opciones, proyectar sobre el plano $XY$ o sobre el plano $Y Z .$

Proyectando sobre el plano XY. En este caso, $S : z = 4 - x^{2}$ y $N = (- z_{x}, - z_{y}, 1) = (2 x, 0, 1) .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S} rot F \cdot N dS \\ = & - \iint_{r_{xy}} (- y, x - 1, 0) \cdot (2 x, 0, 1) dA \\ = & - \int_{0}^{2} \int_{0}^{x^{2} + 1} - 2 xy dy dx = \frac{62}{3} \approx 20.6667 \end{array}

Proyectando sobre el plano $Y Z$ . En este caso, $S : x = \sqrt{4 - z}$ y $N = (1, - x_{y}, - x_{z}) = (1, 0, \frac{1}{2 \sqrt{4 - z}}) .$

\begin{array}{rcl} \int_{C} F \cdot d r & = & \iint_{S} rot F \cdot N dS \\ = & - \iint_{r_{xy}} (- y, x - 1, 0) \cdot (1, 0, \frac{1}{2 \sqrt{4 - z}}) dA (*) \\ = & - \int_{0}^{4} \int_{0}^{5 - z} - y dy dz = \frac{62}{3} \approx 20.6667 \end{array}

Nota. La integral $(∗)$ no es impropia pues al hacer el producto punto, el integrando es una función acotada. Las discontinuidades en un integrando acotado no afectan la integral sin constituyen un conjunto de medida cero.

15.3

Sea

F (x, y, z) = - y^{2} i + z j + x k .

Consideremos la superficie de la figura,

S = S_{1} ⋃ S_{2}

y la curva

C = C_{1} + C_{2} + C_{3} + C_{4}

el borde de la superficie

S .

1: Calcular $\int_{C} F \cdot d r$ usando la definición de integral de línea.
2: Calcular $\int_{C} F \cdot d r$ usando el Teorema de Stokes

Fig. 9.88:

1

\int_{C} F \cdot d r = \int_{C_{1}} F \cdot d r + \int_{C_{2}} F \cdot d r + \int_{C_{3}} F \cdot d r + \int_{C_{4}} F \cdot d r

a: $- C_{1} : r_{1} (t) = (t, t, 0) t \in [0, 1] ⟹$ $\int_{C_{1}} F \cdot d r = - \int_{0}^{1} - t^{2} dt = \frac{1}{3}$
b: $C_{2} : r_{2} (t) = (0, 0, t) t \in [0, 1] ⟹$ $\int_{C_{2}} F \cdot d r = \int_{0}^{1} 0 dt = 0$
c: $C_{3} : r_{3} (t) = (0, t, 1 - t) t \in [0, 1] ⟹$ $\int_{C_{3}} F \cdot d r = \int_{0}^{1} 1 - t dt = \frac{1}{2}$
d: $C_{4} : r_{4} (t) = (t, 1, 0) t \in [0, 1] ⟹$ $\int_{C_{1}} F \cdot d r = \int_{0}^{1} - 1^{2} dt = - 1$

\int_{C} F \cdot d r = 1 ∕ 3 + 1 ∕ 2 - 1

2

\iint_{S} rot F cot N d S = \iint_{S_{1}} rot F cot N d S + \iint_{S_{2}} rot F cot N d S .

$rot F = (- 1, - 1, 2 y)$

Para $S_{1}$ un vector normal es $N_{1} = (1, - 1, 0)$ (acorde con la orientación de $C$ ).

$\iint_{S_{1}} rot F cot N d S = ∬_{S_{1}} 0 dS = 0$

Para $S_{2}$ un vector normal es $N_{2} = (0, - 1, - 1)$ (acorde con la orientación de $C$ ).

$\iint_{S_{2}} rot F cot N d S = ∫_{0}^{1} ∫_{x}^{1} 1 - 2 y dy dx = - 1 ∕ 2 + 1 ∕ 3 .$

Finalmente, $\iint_{S} rot F cot N d S = 0 + - 1 ∕ 2 + 1 ∕ 3 .$

15.4

Sea

F (x, y, z) = (x + z, 2 y, y - z) .

Calcule la integral de línea

\int_{C} F \cdot d r

, donde

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

tal y como se muestra en la Figura 9.89.

Fig. 9.89:

Se cumplen las condiciones para aplicar el teorema de Stokes (Teo de Green en el espacio). Podemos tomar como la superficie

S,

la porción del plano

z = 2 - x

limitada por el cilindro

x^{2} + y^{2} = 1 .

Entonces un vector normal que nos sirve es

N = (1, 0, 1)

15.5

\int_{C} F \cdot d r

donde

C

es el camino que se representa en la Figura 9.90, y además

F

es el campo de fuerzas

F (x, y, z) = x^{2} i + 4 x y^{3} j + x y^{2} k .

Fig. 9.90:

Se omite.

15.6

Considere el campo de fuerzas

\begin{matrix} F (x, y, z) & = & z^{2} y cos (xy) i \\ + z^{2} x (1 + cos (xy)) j \\ + 2 sen (xy) k \end{matrix}

Calcule

\int_{C} F \cdot d r

C

es el camino que se indica en la Figura 9.91.

Fig. 9.91:

Se omite.

15.7

Usando el Teorema de Stokes calcule la integral

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y, z) = xy i + yz j + xz k

C

es el camino indicado en la Figura 9.92

Fig. 9.92:

Se omite.

15.8

F (x, y, z) = - y i + z j + (x + z) k .

Use el teorema de Stokes para calcular

\int_{C} F \cdot d r

donde

C

es la curva de la Figura 9.93

Fig. 9.93:

Aplique el teorema de Stokes con las superficies de la Figura 9.94

Fig. 9.94:

15.9

F (x, y, z) = 2 yz i - 4 x j - 3 z^{2} k,

y sea

C = C_{1} + C_{2} + C_{3}

la curva que se obtiene al intersecar la superficie

z = 4 - x^{2}

con el plano

y + z = 6

, tal y como se muestra en la Figura 9.95.

1: Calcular $\int_{C_{1}} F \cdot d r$
2: Calcular $\int_{C} F \cdot d r$

Fig. 9.95: Curva

C .

Una parametrización para

C_{1}

r_{1} (t) = (t, 2 - t^{2}, 4 - t^{2}),

con

t \in [0, 2] .

1: $\int_{C_{1}} F \cdot d r = \int_{0}^{2} (2 (2 - t^{2}) (4 - t^{2}), - 4 t, - 3 {(4 - t^{2})}^{2}) \cdot (1, - 2 t, - 2 t) dt$
2: Usamso el teorema de Stokes. Proyectamos sobre $XZ$

$\int_{C} F \cdot d r = \int_{0}^{2} \int_{0}^{4 - x^{2}} (0, 2 y, - 4 - 2 z) \cdot (0, 1, 1) dz dx$

15.10

Plantee las integrales necesarias para calcular

\int_{C} F \cdot d r

F (x, y, z) = 3 y i - xz j + y z^{2} k

C

es el camino indicado en la Figura .

Fig. 9.96:

Se omite.