1. Cónicas con rotación y vectores y valores propios.

Con esto, $M$ se diagonaliza ortogonalmente y desaparece el término $\mathit{xy}$. La ecuación queda

donde ${\lambda }_1,{\lambda }_2$ son los autovalores de $M$.

• Si $B^2-4\mathit{AC}<0$, entonces ${\lambda }_1{\lambda }_2>0$ (mismo signo): elipse.
• Si $B^2-4\mathit{AC}>0$, entonces ${\lambda }_1{\lambda }_2<0$ (signos opuestos): hipérbola.
• Si $B^2-4\mathit{AC}=0$, un autovalor es cero y queda una sola cuadrática: parábola.

La condición $\mathrm{\Delta }\ne 0$ garantiza que la cónica no es degenerada.

1..1 Recuperación de elementos en el sistema original.

Sea $P=[v_1{v}_2]$ la matriz de autovectores unitarios de $M=\left[\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B∕2\hfill \end{array}\right]$.

Si $(h,k)$ es el centro, la transformación inversa es

Por tanto, un punto canónico $(x^{″},y^{″})$ se rota por $P$ y se traslada por $(h,k)$.

1..2 Un desarrollo más formal

Demostración del Teorema.

1

1. Formulación matricial. Podemos escribir

$$\left[\begin{array}{}\end{array}\right]M\left[\begin{array}{c}\hfill x\hfill \end{array}\right]+\left[\begin{array}{}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hfill x\hfill \end{array}\right]+F=0,$$

donde

$$M=\left[\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B∕2\hfill \end{array}\right].$$

Definimos también la matriz ampliada de $3\times 3$:

$$\tilde{M}=\left[\begin{array}{ccc}\hfill A\hfill & \hfill B∕2\hfill & \hfill D∕2\hfill \\ \hfill B∕2\hfill & \hfill C\hfill & \hfill E∕2\hfill \end{array}\right].$$

2

2. Rotación para eliminar el término $\mathit{xy}$. La matriz $M$ es simétrica, por lo tanto es diagonalizable mediante una matriz ortogonal $R$ (que representa una rotación). Existe una rotación tal que:

$$R^T\mathit{MR}=\left[\begin{array}{cc}\hfill {\lambda }_1\hfill & \hfill 0\hfill \end{array}\right],$$

donde ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ son los valores propios de $M$.

En las nuevas coordenadas $(x^{\prime },y^{\prime })$ definidas por $\left[\begin{array}{c}\hfill x^{\prime }\hfill \end{array}\right]=R^T\left[\begin{array}{c}\hfill x\hfill \end{array}\right]$, la ecuación se transforma en:

$${\lambda }_1{x{}^{\prime }}^2+{\lambda }_2{y{}^{\prime }}^2+D^{\prime }{x}^{\prime }+E^{\prime }{y}^{\prime }+F=0,\text{(1)}$$

donde $\left[\begin{array}{}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{}\end{array}\right]R$.

3

3. Relación con $\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)$ y $B^2-4\mathit{AC}$. Calculamos el determinante de $M$:

$$\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)={\lambda }_1{\lambda }_2=\mathit{AC}-\frac{B^2}{4}=-\frac{1}{4}(B^2-4\mathit{AC}).\text{(2)}$$

Por lo tanto:

$$B^2-4\mathit{AC}=-4\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M).$$

4

4. Completando cuadrados en (1). Completamos cuadrados para $x^{\prime }$ e $y^{\prime }$:

$${\lambda }_1{\left(x^{\prime }+\frac{D^{\prime }}{2{\lambda }_1}\right)}^2+{\lambda }_2{\left(y^{\prime }+\frac{E^{\prime }}{2{\lambda }_2}\right)}^2=\frac{{D{}^{\prime }}^2}{4{\lambda }_1}+\frac{{E{}^{\prime }}^2}{4{\lambda }_2}-F,$$

válido cuando ${\lambda }_1\ne 0$ y ${\lambda }_2\ne 0$ (elipses e hipérbolas).

Haciendo la traslación:

$$x^{″}=x^{\prime }+\frac{D^{\prime }}{2{\lambda }_1},y^{″}=y^{\prime }+\frac{E^{\prime }}{2{\lambda }_2},$$

obtenemos la ecuación reducida:

$${\lambda }_1{x{}^{″}}^2+{\lambda }_2{y{}^{″}}^2=K,\text{(3)}$$

donde

$$K=\frac{{D{}^{\prime }}^2}{4{\lambda }_1}+\frac{{E{}^{\prime }}^2}{4{\lambda }_2}-F.$$

5

5. El papel del determinante $3\times 3$ ($\mathrm{\Delta }$). Se puede demostrar mediante álgebra directa que:

$$\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\tilde{M})=-{\lambda }_1{\lambda }_{2}K=-\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)\cdot K.\text{(4)}$$

En efecto, el determinante de $\tilde{M}$ es invariante bajo rotaciones y traslaciones, y un cálculo explícito en las coordenadas reducidas produce:

$$\mathrm{\Delta }=\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\tilde{M})=\frac{1}{4}\left(4\mathit{ACF}-A{E}^2-B^{2}F+\mathit{BDE}-C{D}^2\right).$$

Despejando $K$ de (4):

$$K=-\frac{\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\tilde{M})}{\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)}=-\frac{\mathrm{\Delta }}{\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)}.\text{(5)}$$

6

6. Análisis según $\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)$.

Caso 1: $\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)>0$ ($B^2-4\mathit{AC}<0$). Los valores propios ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ tienen el mismo signo. La ecuación (3) representa:

• Una elipse real si $K$ tiene el mismo signo que ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$ (es decir, $K∕{\lambda }_1>0$).
• Un punto (elipse degenerada) si $K=0$.
• Una elipse imaginaria si $K$ tiene signo contrario a ${\lambda }_1$ y ${\lambda }_2$.

Por (5), $K$ y $\mathrm{\Delta }$ tienen signos opuestos cuando $\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)>0$ (pues $K=-\mathrm{\Delta }∕\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)$). Por lo tanto:

$$\mathrm{\Delta }\ne 0\Rightarrow K\ne 0\Rightarrow \text{elipse real (no degenerada)}.$$

Caso 2: $\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)=0$ ($B^2-4\mathit{AC}=0$). Uno de los valores propios es cero. Supongamos ${\lambda }_1\ne 0$ y ${\lambda }_2=0$. La ecuación (1) se reduce a:

$${\lambda }_1{x{}^{\prime }}^2+D^{\prime }{x}^{\prime }+E^{\prime }{y}^{\prime }+F=0.$$

Si $E^{\prime }\ne 0$, podemos despejar $y^{\prime }$ obteniendo una parábola. Si $E^{\prime }=0$, completamos cuadrado en $x^{\prime }$ y obtenemos dos rectas paralelas (caso degenerado). La condición $\mathrm{\Delta }\ne 0$ equivale, en este caso, a $E^{\prime }\ne 0$, asegurando que sea una parábola propia.

Caso 3: $\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)<0$ ($B^2-4\mathit{AC}>0$). Los valores propios tienen signos opuestos. La ecuación (3) representa una hipérbola si $K\ne 0$. Si $K=0$, obtenemos dos rectas que se cruzan (hipérbola degenerada). La condición $\mathrm{\Delta }\ne 0$ garantiza $K\ne 0$ por (5), pues $\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)\ne 0$.

7

7. Conclusión de la demostración.

$$\begin{array}{ccc}\hfill & \text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)=\mathit{AC}-B^2∕4\text{ determina el tipo de cónica:}\hfill & \hfill \\ \hfill & \text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)>0\Rightarrow \text{elipse},\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)=0\Rightarrow \text{parábola},\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)<0\Rightarrow \text{hipérbola}.\hfill \\ \hfill & \mathrm{\Delta }=\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\tilde{M})\text{ determina si es degenerada:}\hfill \\ \hfill & \mathrm{\Delta }=0\Rightarrow \text{cónica degenerada (punto, rectas)},\mathrm{\Delta }\ne 0\Rightarrow \text{cónica propia no degenerada}.\hfill \end{array}$$

En términos del discriminante clásico $B^2-4\mathit{AC}=-4\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)$, obtenemos exactamente el enunciado del Teorema 50.

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Centro, vértices y focos sin escribir la ecuación canónica

En esta sección describimos cómo obtener directamente los elementos geométricos de una cónica con rotación, sin necesidad de desarrollar explícitamente toda la ecuación canónica. Consideremos la cónica

$$A{x}^2+\mathit{Bxy}+C{y}^2+\mathit{Dx}+\mathit{Ey}+F=0.$$

Escribimos

$$x=\left[\begin{array}{c}\hfill x\hfill \end{array}\right],M=\left[\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B∕2\hfill \end{array}\right],d=\left[\begin{array}{c}\hfill D\hfill \end{array}\right].$$

Entonces la ecuación se escribe como

$$x^{T}Mx+d^{T}x+F=0.$$

1. Caso con centro: elipse e hipérbola

Si

$$\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)\ne 0,$$

la cónica tiene centro. El centro se obtiene resolviendo

$$2Mc+d=0.$$

Por tanto,

$$c=-\frac{1}{2}{M}^{-1}d$$

es decir,

$$\left[\begin{array}{c}\hfill h\hfill \end{array}\right]=-\frac{1}{2}{\left[\begin{array}{cc}\hfill A\hfill & \hfill B∕2\hfill \end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}\hfill D\hfill \end{array}\right].$$

Si $x=c+u$, entonces la ecuación queda

$$u^{T}Mu=K,$$

donde

$$K=\frac{1}{4}{d}^T{M}^{-1}d-F.$$

Equivalente a lo anterior,

$$K=-\frac{\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\tilde{M})}{\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)}.$$

Ahora se calculan los valores propios de $M$:

$${\lambda }_1,{\lambda }_2,$$

y se toman vectores propios unitarios correspondientes

$$e_1,e_2.$$

Estos vectores dan las direcciones de los ejes de la cónica.

9

Elipse. Si la cónica es una elipse real, entonces

$$\frac{K}{{\lambda }_1}>0,\frac{K}{{\lambda }_2}>0.$$

Definimos

$$r_1^2=\frac{K}{{\lambda }_1},r_2^2=\frac{K}{{\lambda }_2}.$$

Los semiejes son

$$r_1=\sqrt{\frac{K}{{\lambda }_1}},r_2=\sqrt{\frac{K}{{\lambda }_2}}.$$

Si $a=\text{max}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\{r_1,r_2\}$ y $b=\text{min}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\{r_1,r_2\}$, entonces el eje mayor está en la dirección del vector propio asociado al semieje mayor.

Si, por ejemplo, $a=r_1$, entonces la dirección del eje mayor es $e_1$ y la dirección del eje menor es $e_2$. En ese caso:

$$\text{Vértices principales: }c\pm a{e}_1$$

$$\text{Vértices secundarios: }c\pm b{e}_2$$

La distancia focal satisface

$$c_f^2=a^2-b^2.$$

Por tanto,

$$c_f=\sqrt{a^2-b^2}$$

y los focos son

$$F_1=c+c_f{e}_1,F_2=c-c_f{e}_1.$$

Si el eje mayor estuviera en la dirección $e_2$, se intercambian los papeles de $e_1$ y $e_2$.

10

Hipérbola. Si la cónica es una hipérbola, los valores propios tienen signos opuestos. La dirección del eje transverso es aquella para la cual

$$\frac{K}{{\lambda }_i}>0.$$

Supongamos que esta dirección es $e_1$. Entonces definimos

$$a^2=\frac{K}{{\lambda }_1},b^2=-\frac{K}{{\lambda }_2}.$$

La ecuación reducida corresponde a

$$\frac{s^2}{a^2}-\frac{t^2}{b^2}=1,$$

donde $s$ mide distancia en la dirección $e_1$ y $t$ en la dirección $e_2$.

Los vértices son

$$V_1=c+a{e}_1,V_2=c-a{e}_1.$$

La distancia focal satisface

$$c_f^2=a^2+b^2.$$

Por tanto,

$$c_f=\sqrt{a^2+b^2}$$

y los focos son

$$F_1=c+c_f{e}_1,F_2=c-c_f{e}_1.$$

Si la dirección transversa fuera $e_2$, se intercambian los papeles de $e_1$ y $e_2$.

2. Caso sin centro: parábola

Si

$$\text{det}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(M)=0$$

y la cónica no es degenerada, entonces tenemos una parábola. En este caso la matriz $M$ tiene un valor propio no nulo y un valor propio igual a cero.

Sea $\lambda \ne 0$ el valor propio no nulo, y sea $u$ un vector propio unitario asociado a $\lambda$:

$$Mu=\lambda u.$$

Sea $v$ un vector unitario en el núcleo de $M$:

$$Mv=0.$$

Los vectores $u$ y $v$ son perpendiculares. La dirección $v$ es la dirección del eje de la parábola.

Todo punto se puede escribir como

$$x=su+tv.$$

Entonces

$$x^{T}Mx=\lambda s^2.$$

Además,

$$d^{T}x=(d\cdot u)s+(d\cdot v)t.$$

Definimos

$$\alpha =d\cdot u,\beta =d\cdot v.$$

La ecuación toma la forma

$$\lambda s^2+\mathit{\alpha s}+\mathit{\beta t}+F=0.$$

Para una parábola propia se cumple

$$\beta \ne 0.$$

Completando el cuadrado:

$$\lambda {\left(s+\frac{\alpha }{2\lambda }\right)}^2+\mathit{\beta t}+F-\frac{{\alpha }^2}{4\lambda }=0.$$

Por tanto, las coordenadas del vértice en el sistema rotado son

$$s_0=-\frac{\alpha }{2\lambda },t_0=\frac{{\alpha }^2}{4\mathit{\lambda \beta }}-\frac{F}{\beta }.$$

El vértice en coordenadas originales es

$$V=s_{0}u+t_{0}v.$$

Si ponemos

$$S=s-s_0,T=t-t_0,$$

la ecuación queda

$$\lambda S^2+\mathit{\beta T}=0,$$

es decir,

$$S^2=4\mathit{pT},$$

donde

$$p=-\frac{\beta }{4\lambda }.$$

Por tanto, el foco es

$$F=V+pv.$$

La directriz es la recta perpendicular al eje de la parábola dada por

$$v\cdot (x-V)=-p.$$

Equivalentemente,

$$v\cdot x=v\cdot V-p.$$