Teorema de existencia y unicidad en ecuaciones diferenciales ordinarias de rimer orden

4. Teorema de existencia y unicidad en ecuaciones diferenciales ordinarias de rimer orden

Ante un problema de valor inicial surgen dos cuestiones fundamentales, ¿ existe solución al problema?, ¿es única? Antes de resolver un problema es interesante saber si tiene solución y si es única. Geométricamente, equivale a preguntarse si de toda la familia de curvas integrales existe alguna que pase por el punto definido por la condición inicial y si por dicho punto pasa una única curva.

Poder asegurar la existencia de una solución no implica que se sea capaz de hallarla, aunque sí es importante conocer su existencia y unicidad; para ello se utilizará el siguiente teorema que nos garantiza la existencia y unicidad de soluciones en un P.V.I para una ecuación diferencial ordinaria de primer orden.

Teorema 1 — Existencia de una solución única: TEU.

Sea $R$ un región rectangular en el plano $xy$ definida por $a \leq x \leq b$ , $c \leq y \leq d$ que contiene el punto $(x_{0}, y_{0})$ en su interior. Si $f (x, y)$ y $\frac{∂f}{∂y}$ son continuas en la región $R$ , entonces existe algún intervalo $I_{0} =] x_{0} - h, x_{0} + h [$ con $h > 0$ contenido en $[a, b]$ , y una función única $y (x)$ , definida en $I_{0}$ que es una solución del problema de valores iniciales. Dichos resultados se pueden reflejar en la figura 1.11

\frac{dy}{dx} = f (x, y), y (x_{0}) = y_{0} .

(1.10)

Fig. 1.11: región Rectangular

R

Fuente: elaboración propia con Inkscape 0.47.

Ejemplo30

Considerando la ecuación diferencial $x y^{'} = 2 y$ se observa que $f (x, y) = \frac{2 y}{x}$ de donde por TEU sólo garantiza la existencia de soluciones en la parte del plano donde $x \neq 0$ y además por otra parte que como $\frac{∂f}{∂y} = - \frac{2 y}{x^{2}}$ la unicidad también se garantiza en la misma parte.

Ejemplo31

En la ecuación diferencial $y^{'} = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}$ se tiene que $f (x, y) = \frac{1}{\sqrt{x^{2} - y^{2}}}$ es continua en ${(x, y) : x^{2} > y^{2}}$ . ${(x, y) : x^{2} = y^{2}}$ está formado por las dos rectas que pasan por el origen: $y = x$ , $y = - x$ la región del plano buscada es $R = {(x, y) : | y | < x}$

Ejemplo32

Considere el problema de valor inicial $y^{'} (x) = y (x) con y (0) = 3$ . Se quiere determinar mediante el teorema de existencia y unicidad para EDO1 si ¿existe solución única?.

Para ello, observe que tanto $f (x, y) = y$ como $\frac{∂f}{∂y}$ $= 1$ son funciones continuas en $ℝ^{2}$ , por tanto son continuas en un entorno de $(0, 3),$ luego por el Teorema de existencia y unicidad (TEU) se puede asegurar que existe un entorno de $x_{0} = 0$ donde existe solución y además cumple ser única. De hecho, en ejemplo 3.19 se determinó que dicha solución es $y = 3 e^{x}$ y también mostrada en la figura 1.8.

Ejemplo33

Al considerar el problema de valor inicial, $y^{'} (x) = \sqrt{y (x)}$ con $y (0) = 0$ , se puede verificar que no satisface las condiciones del teorema de existencia y unicidad para EDO1.

En efecto, en el ejemplo 3.20, se determinó que la solución total de la ecuación diferencial $y^{'} (x) = \sqrt{y (x)}$ esta formada por la solución general $\sqrt{y (x)} = \frac{1}{2} (x + C)$ y la solución singular $y (x) = 0 .$ Asimismo mediante la figura 1.5 se observa que por el punto $(0, 0)$ pasan dos curvas solución, y por tanto no hay unicidad.

Ahora se puede comprobar existencia y unicidad del problema $y^{'} (x) = \sqrt{y (x)}$ con $y (0) = 0$ mediante teorema de existencia y unicidad para $(x_{0}, y_{0}) = (0, 0) .$ De donde:

y^{'} = \sqrt{y}, es decir, f (x, y) = \sqrt{y (x)} = y {(x)}^{\frac{1}{2}}, y derivando se tiene \frac{∂f}{∂y} = \frac{1}{2 \sqrt{y (x)}} .

Las funciones $f (x, y)$ y $\frac{∂f}{∂y}$ son continuas en el semiplano $y > 0$ , pero no son continuas en un rectángulo que contenga a $(0, 0) .$ En cambio, sí podríamos asegurar que $\forall$ $(x_{0}, y_{0})$ con $y_{0}$ $> 0$ existe un intervalo centrado en $x_{0}$ en el que el problema dado tiene solución única. Lo obtenido anteriormente se puede apreciar mediante la figura 1.12.

Fig. 1.12: región Rectangular

R

, para

y^{'} = \sqrt{y}

con

y (0) = 0

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Ejemplo34

Considere el problema de valor inicial $y^{'} = - 3 + \sqrt{3 x + y}$ con $y (a) = b$ ; $a, b \in ℝ$ .

a) Determinar la región $R$ del plano real $xy$ para la cual la ecuación diferencial dada admite solución única que pase por el punto de la región $R$ .

b) Sabiendo que la solución general de la ecuación diferencial propuesta es $y = {(\frac{x + C}{2})}^{2} - 3 x$ ¿ se puede hallar una solución para $y (- 1) = 3$ ? En caso afirmativo, ¿ es esta solución única? Justifique.

Solución

a) Buscando la región R del plano real:

1.: La función $f (x, y) = \sqrt{y + 3 x} - 3$ es continua sii $y \geq - 3 x$ .
2.: La función $\frac{∂f}{∂y} = \frac{1}{2 \sqrt{y + 3 x}}$ es continua sii $y > - 3 x$ .

Se concluye que la región del plano $xy$ en la cual se garantiza solución única para el problema de valor inicial propuesto, está dada por $R = {(x, y) \in ℝ^{2} ∕ y > - 3 x}$ .

b) Como la solución general de la ecuación diferencial es $y = {(\frac{x + C}{2})}^{2} - 3 x$ entonces para $y (- 1) = 3$ se tiene que

$3 = {(\frac{- 1 + C}{2})}^{2} - 3 (- 1)$ , sii $C = 1 .$

Por lo tanto, sí hay solución para el punto $(- 1, 3)$ , la cual está dada por

y = {(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 3 x .

Dicha solución NO es única, pues en $y^{'} = - 3 + \sqrt{3 x + y}$ se puede verificar que tiene otra solución que pasa por el punto $(- 1, 3)$ ; a saber, la función $y (x) = - 3 x$ , la cual es una solución singular. De donde finalmente, se determina que la ecuación diferencial $y^{'} = - 3 + \sqrt{3 x + y}$ tiene al menos dos soluciones que satisfacen la condición inicial $y (- 1) = 3$ , a saber

y = {(\frac{x + 1}{2})}^{2} - 3 x \lor y = - 3 x .

Por otra parte, la gráfica dada en la figura 1.13 muestra los resultados obtenidos en dicho ejemplo.

Fig. 1.13: región Rectangular

R

, para

y^{'} = - 3 + \sqrt{3 x + y}

con

y (- 1) = 3 .

Fuente: elaboración propia con Mathematica 9.0.

Ejercicios 1.3 — Ejercicios de Retroalimentación

Ejercicio 4.1

Realizar un estudio de existencia y unicidad para el problema de valor inicial

{\begin{matrix} \frac{dy}{dx} & = & \frac{- y^{2} (x)}{x^{2}} \\ y (0) & = & 0 \end{matrix}

El teorema de existencia y unicidad no es aplicable:

f (x, y) = \frac{- y^{2}}{x^{2}}

\frac{∂f}{∂y} = \frac{- 2 y}{x^{2}}

no son continuas en ningún rectángulo que contenga a

(0, 0)

. De hecho el PVI tiene infinitas soluciones,

y = \frac{- x}{1 + Cx}

con

C \in ℝ

, además de

y \equiv 0

; por lo tanto no hay unicidad.

Ejercicio 4.2

Dado el problema de valor inicial

y^{'} = x^{2} - x y^{3}, y (1) = 6

. Estudiar la existencia y unicidad de su solución.

f (x, y) = x^{2} - x y^{3}

\frac{∂f}{∂y} = - 3 x y^{2}

son continuas en todo

ℝ^{2}

, en particular en un rectángulo centrado en

(1, 6)

; por lo tanto existe una única solución del PVI en algún intervalo abierto alrededor de

x = 1

Ejercicio 4.3

Determinar si se verifica el teorema de existencia y unicidad en los siguientes casos:

1.: $y^{'} = \sqrt{xy},$ $y (- 1) = - 1$ .
2.: $y^{'} = x \sqrt{y},$ $y (1) = 1$ .
3.: $y^{'} = {(x - y)}^{\frac{1}{2}}, y (2) = 2$
4.: $y^{'} = \frac{2 x}{y - 1}, y (1) = 0$ .
5.: $y^{'} = x^{2} + y^{2} - xy, y (0) = 2$ .

1.: No.
2.: Sí.
3.: No.
4.: Sí.
5.: Sí.

Ejercicio 4.4

Demostrar que en el intervalo

0 \leq x \leq 2

, las funciones

y_{1} (x) = 2

y_{2} (x) = 2 cos x

satisfacen el problema de valor inicial

{\begin{matrix} y^{'} + {(4 - y^{2})}^{\frac{1}{2}} & = & 0 \\ y (0) & = & 2 \end{matrix}

(Sugerencia: Comprobar que no se verifican las hipótesis del teorema de existencia y unicidad).

Ambas funciones satisfacen la ecuación y la condición

y (0) = 2

[0, 2]

. No hay contradicción con el teorema pues

\frac{∂f}{∂y} = \frac{y}{\sqrt{4 - y^{2}}}

no es continua en

y = 2

, de modo que no se garantiza unicidad.

Ejercicio 4.5

Considere la ecuación diferencial

y^{'} = \sqrt{4 - (x^{2} + y^{2})} + ln (x^{2} + y^{2})

1.: Determine y gráfique la mayor región del plano $xy$ en donde el teorema de existencia y unicidad (T.E.U) garantiza solución única.
2.: Justifique si T.E.U garantiza que existe una solución que pase por el punto $(1, \sqrt{3})$ .

1.
2.

Ejercicio 4.6

Considere la ecuación diferencial

y^{'} = 2 \sqrt{y - x^{2}} + 2 x

1.: Determine y gráfique la mayor región del plano $xy$ en donde el teorema de existencia y unicidad (T.E.U) garantiza solución única.
2.: Compruebe que $y = x^{2}$ es solución singular.

1.
2.

Ejercicio 4.7

Considere el problema de valor inicial

{\begin{matrix} y^{'} (x) & = & 2 + \sqrt{2 x - y} \\ y (x_{0}) & = & y_{0} \end{matrix}

1.: Determine y gráfique la mayor región del plano $xy$ para la cual la ecuación diferencial admite solución única por el punto $(x_{0}, y_{0})$ de la región $R$ .
2.: Sabiendo que la solución general en su forma explícita esta dada por $y = 2 x - {(\frac{x + C}{2})}^{2}$ .

¿ Se puede hallar una solución para $y (- 1) = - 2$ ?. En caso afirmativo ¿ Es esta solución única?. Justifique.

1.
2.

Ejercicio 4.8

Determine la región del plano

xy

en la cual la ecuación diferencial

y^{'} = 2 + \sqrt{y - 2 x + 3}

tiene solución única para cada punto $(x_{0}, y_{0})$ de la región. La ecuación anterior posee una solución singular. Determínela. ? Afecta la existencia de tal solución a la unicidad establecida en el punto anterior?

Región de unicidad:

y - 2 x + 3 > 0

. Solución general:

y = 2 x - 3 + \frac{{(x + C)}^{2}}{4}

. Solución singular:

y = 2 x - 3

. Dicha solución singular está sobre la frontera

y - 2 x + 3 = 0

(donde falla la hipótesis del teorema), por lo que no afecta la unicidad establecida en la región abierta.

Ejercicio 4.9

Considere el siguiente problema de valor inicial

{\begin{matrix} \frac{dy}{dx} & = & \sqrt{9 - x^{2} - y^{2}} \\ y (x_{0}) & = & y_{0} \end{matrix}

entonces

1.: Determine la región $ℝ$ del plano $xy$ sobre la cual podemos garantizar con certeza la existencia y unicidad de soluciones. Haga una representación gráfica de la región $ℝ$ .
2.: ¿Garantiza el teorema de existencia y unicidad, solución única en los siguientes casos: $y (1) = 2$ , $y (2) = 3$ $y (\sqrt{5}) = 2$ ?. Justifique su respuesta.

1.
2.

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