Demostrar que la ecuación diferencial $\left(2e^y+3x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)\mathit{dx}+\left(x{e}^y+x^2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)\mathit{dy}=0$ no es exacta, pero si se multiplica toda la ecuación por $x$ se obtiene una ecuación diferencial exacta.

En efecto, esta ecuación no es exacta ya que:

$$\frac{\partial }{\mathit{\partial y}}\left(2e^y+3x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)=2e^y+3x\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\ne \frac{\partial }{\mathit{\partial x}}\left(x{e}^y+x^2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)=e^y+2x\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y.$$

Si ahora se multiplica la ecuación por $x$, se obtiene la ecuación diferencial:

$$\left(2x{e}^y+3x^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)\mathit{dx}+\left(x^2{e}^y+x^3\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)\mathit{dy}=0,$$

que sí es diferencial exacta ya que:

$$\frac{\partial }{\mathit{\partial y}}\left(2x{e}^y+3x^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right)=2x{e}^y+3x^2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y=\frac{\partial }{\mathit{\partial x}}\left(x^2{e}^y+x^3\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y\right).$$

Al factor $\mu (x,y)$ tal que, al multiplicar una ecuación diferencial por dicho factor, ésta se convierte en exacta, se le llama factor integrante.

Puede abrir página interactiva Ecuación diferencial con factor integrante para comprobar dichos resultados.

Comprobar que $\mu (x,y)=x{y}^2$ es factor integrante de la ecuación:

$$(2y-6x)\mathit{dx}+(3x-4x^2{y}^{-1})\mathit{dy}=0,$$

(3.9)

y posteriormente resolverla.

Al multiplicar 3.9 por la función $x{y}^2$ se obtiene:

$$\left(2x{y}^3-6x^2{y}^2\right)\mathit{dx}+\left(3x^2{y}^2-4x^{3}y\right)\mathit{dy}=0,$$

(3.10)

que sí es exacta. (puede utilizar página interactiva Ecuación diferencial Exacta para verificarlo).

Al resolver la ecuación 3.10, se tendría que su solución será de la forma $F(x,y)=C$, siendo $F$ una función tal que

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial x}}=2x{y}^3-6x^2{y}^2,$$

(3.11)

y

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial y}}=3x^2{y}^2-4x^{3}y.$$

(3.12)

Integrando 3.11 respecto de $x$ se tiene que

$$F(x,y)=\int \; <!--\; nolimits\; -->(2x{y}^3-6x^2{y}^2)\mathit{dx}=x^2{y}^3-2x^3{y}^2+\phi (y).$$

Derivando esta expresión respecto de $y$, :

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial y}}=3x^2{y}^2-4x^{3}y+{\phi }^{\prime }(y).$$

Igualando esta ecuación con la ecuación 3.12:

$$3x^2{y}^2-4x^{3}y+{\phi }^{\prime }(y)=3x^2{y}^2-4x^{3}y,$$

de donde al despejar ${\phi }^{\prime }(y)$ se tiene que ${\phi }^{\prime }(y)=0$,

y de esta forma se obtiene que $\phi (y)=k,$ tome $k=0$.

Por tanto, $F(x,y)=x^2{y}^3-2x^3{y}^2$ y la solución general de la ecuación diferencial 3.10 esta dada por

$$x^2{y}^3-2x^3{y}^2=C.$$

Como se ha comentado, al multiplicar 3.9 por el factor integrante $\mu (x,y)$ es posible ganar o perder soluciones. En este caso, al multiplicar la ecuación 3.9 por $x{y}^2,$ se ha obtenido $y=0$ como solución de 3.10, pero no lo es de 3.9.

Puede abrir página interactiva Ecuación diferencial con factor integrante para comprobar dichos resultados.

Resolver cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales:

(a) $(2x^2+y)\mathit{dx}+\left(x^{2}y-x\right)\mathit{dy}=0.$

(b) $y(x+y+1)\mathit{dx}+x(x+3y+2)\mathit{dy}=0.$

En efecto, considerando las ecuaciones dadas y utilizando la teoría antes descrita se verifica lo siguiente para cada una de ellas:

(a) Esta ecuación no es exacta ya que:

$$\frac{\partial }{\mathit{\partial y}}(2x^2+y)=1\ne \frac{\partial }{\mathit{\partial x}}\left(x^{2}y-x\right)=\left(2\mathit{xy}-1\right).$$

En este caso se tiene que $\frac{\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}-\frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}}{N}=\frac{1-(2\mathit{xy}-1)}{\left(x^{2}y-x\right)}=\frac{-2\mathit{xy}+2}{-x(1-\mathit{xy})}=\frac{2(1-\mathit{xy})}{-x(1-\mathit{xy})}=-\frac{2}{x},$
.

por tanto, sí existe un factor de la forma $\mu (x)$, y esta dado por:

$$\mu (x)=e^{\int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{-2}{x}\mathit{dx}}=x^{-2}$$

Puede abrir página interactiva Ecuación diferencial con factor integrante para comprobar dichos resultados.

Al multiplicar la ecuación diferencial por este factor integrante, se obtiene la ecuación:

$$\left(2+\frac{y}{x^2}\right)\mathit{dx}+\left(y-\frac{1}{x}\right)\mathit{dy}=0,$$

que sí es exacta. La solución general viene dada por $F(x,y)=C$, siendo $F$ una función tal que:

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial x}}=2+\frac{y}{x^2}$$

(3.16)

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial y}}=y-\frac{1}{x}$$

(3.17)

Si se integra a ambos lados la ecuación 3.17, con respecto a $y$ entonces:

$$F(x,y)=\int \; <!--\; nolimits\; -->\left(y-\frac{1}{x}\right)\mathit{dy}=\frac{y^2}{2}-\frac{y}{x}+\mathrm{\Psi }(x).$$

Luego derivando esta expresión respecto de $x:$

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial x}}=\frac{y}{x^2}+{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x).$$

Igualando esta ecuación con la ecuación 3.16 se obtiene:

$$\frac{y}{x^2}+{\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x)=2+\frac{y}{x^2},$$

despejando ${\mathrm{\Psi }}^{\prime }(x)$ e integrando respecto de $x$ se tiene

$$\mathrm{\Psi }(x)=2x,$$

y de esta forma se obtiene la solución general

$$\frac{y^2}{2}-\frac{y}{x}+2x=C.$$

(b) La ecuación $y(x+y+1)\mathit{dx}+x(x+3y+2)\mathit{dy}=0$ no es exacta ya que:

$$\frac{\partial }{\mathit{\partial y}}(y(x+y+1))=x+2y+1\ne \frac{\partial }{\mathit{\partial x}}(x(x+3y+2))=2x+3y+2.$$

En este caso:

$$\frac{\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}-\frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}}{N}=\frac{x+2y+1-(2x+3y+2)}{x(x+3y+2)}=\frac{-x-y-1}{x(x+3y+2)},$$

no depende sólo de $x$, por tanto, no existe un factor de la forma $\mu (x)$.

Luego se busca si es posible un factor $\mu (y)$, y para ello se procede:

$$\frac{\frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}-\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}}{M}=\frac{2x+3y+2-(x+2y+1)}{y(x+y+1)}=\frac{x+y+1}{y(x+y+1)}=\frac{1}{y},$$

de donde al depender la expresión anterior de solo $y$, se calcule el factor integrante de la siguiente forma:

$$\mu (y)=e^{\int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{1}{y}\mathit{dy}}=e^{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y}=y.$$

Al multiplicar la ecuación diferencial por este factor integrante, se obtiene la ecuación exacta:

$$y^2(x+y+1)\mathit{dx}+\mathit{xy}(x+3y+2)\mathit{dy}=0.$$

La cual solución general viene dada por $F(x,y)=C$, siendo $F$ una función tal que

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial x}}=y^2(x+y+1),$$

(3.18)

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial y}}=\mathit{xy}(x+3y+2).$$

(3.19)

Para hallar $F$, se integra la ecuación 3.18 con respecto a $x$:

$$F(x,y)=\int \; <!--\; nolimits\; -->\left(y^{2}x+y^3+y^2\right)\mathit{dx}=\frac{x^2{y}^2}{2}+y^{3}x+\phi (y).$$

(3.20)

Para hallar $\phi (y)$, se deriva esta expresión respecto de $y$

$$\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial y}}=x^{2}y+3y^{2}x+2\mathit{yx}+{\phi }^{\prime }(y),$$

e igualando a la expresión dada con 3.19 se tendría:

$$x^{2}y+3y^{2}x+2\mathit{yx}+{\phi }^{\prime }(y)=\mathit{xy}(x+3y+2).$$

Despejando ${\phi }^{\prime }(y)$ de la ecuación anterior e integrando con respecto a $y$ se tiene que

$$\phi (y)=k\text{ siendo }k\text{ cualquier constante}.$$

Puesto que se puede elegir cualquier valor constante para $k$, se elige de esta forma $\phi (y)=0$ y se sustituye en 3.20 para obtener la expresión de $F$, de donde finalmente la solución general es:

$$\frac{x^2{y}^2}{2}+y^{3}x+y^{2}x=C.$$

Puede verificarse que la solución $y=0$ también es solución de la ecuación diferencial original.

Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$$\left(2\mathit{xy}+y^4\right)\mathit{dx}+\left(3x^2+6x{y}^3\right)\mathit{dy}=0(1)$$

En este caso dado que :

como $\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}\ne \frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial X}}$, tenemos que (1) no es una ecuación diferencial exacta. Ahora se buscará un factor integrante $\mu (x)$, $\mu (y)$ para (1), a saber:

$$\begin{array}{rcll}\frac{\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}-\frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}}{N}& =& \frac{2x+4y^3-6x-6y^3}{3x^2+6x{y}^3}(2)& \\ & =& \frac{-(2y^3+4x)}{3x^2+6x{y}^3}& \end{array}$$

La expresión en (2) no es una función exclusivamente de $x$, por lo que no admite factor integrante $\mu (x)$, sin embargo, si uno $\mu (y)$, como se muestra a continuación :

$$\begin{array}{rcll}\frac{\frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}-\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}}{M}& =& \frac{6x+6y^3-2x-4y^3}{2\mathit{xy}+y^4}(3)& \\ & =& \frac{2(y^3+2x)}{y(y^3+2x)}& \\ & =& \frac{2}{y}& \end{array}$$

La expresión en (3) si es una función exclusivamente de $y$, luego un factor integrante es de la forma

$$e^{\int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{2}{y}\mathit{dy}}=e^{2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y}=e^{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->y^2}=y^2$$

Así: $\mu (y)=y^2$.

Puede abrir página interactiva Ecuación diferencial con factor integrante para comprobar dichos resultados.

Ya que se conoce un factor integrante de (1), multiplicamos dicha ecuación por $y^2$, se tiene :

$$\begin{array}{rcll}(2x{y}^3+y^6)\mathit{dx}+(3x^2{y}^2+6x{y}^5)\mathit{dy}& =& 0(4)& \end{array}$$

Note la ecuación diferencial (4) es exacta, ya que :

de donde resolviendo (4) se tiene que la solución general está definida implícitamente en la ecuación

$$x^2{y}^3+x{y}^6=C$$

Determinar la solución general de la ecuación diferencial

$$\left(\frac{y}{x^2}+2\right)\mathit{dx}+\frac{1}{x}\left(1+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})\right)\mathit{dy}=0(1)$$

Según la ecuación diferencial (1), se tiene que:

De modo que (1) no es una ecuación diferencial exacta. Observe que (1) admite un factor integrante en $x$, ya que :

$$\begin{array}{rcll}\frac{\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}-\frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}}{N}& =& \frac{\frac{1}{x^2}+\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})}{x^2}}{\frac{1+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})}{x}}=\frac{1}{x}(2)& \end{array}$$

Observe que (2) es exclusivamente función de $x$, por lo que un factor integrante es

$$\mu (x)=e^{\int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{\mathit{dx}}{x}}=e^{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}=x$$

luego multiplicamos (1) por $\mu (x)$ y obtenemos la ecuación:

$$\left(\frac{y}{x}+2x\right)\mathit{dx}+(1+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy}))\mathit{dy}=0$$

la cual es una ecuación diferencial exacta y al resolverla se obtiene que por solución general la curva definida implícitamente en la ecuación

$$y\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\mathit{xy})+x^2=C$$

Considere la ecuación diferencial

$$(2y^2+4x^{2}y)\mathit{dx}+(4\mathit{xy}+3x^3)\mathit{dy}=0(1)$$

Esta ecuación no es exacta pero admite factor integrante de la forma $\mu (x,y)=x\cdot f(y)$. Halle función $f(y)>0$ y luego determine la solución general de dicha ecuación diferencial.

En efecto, primero se multiplica la ecuación diferencial (1) por $\mu (x,y)=x\cdot f(y)$:

$$\underbrace{\left(2x{y}^2+4x^{3}y\right)f(y)}\mathit{dx}+\underbrace{\left(4x^{2}y+3x^4\right)f(y)}\mathit{dy}=0$$

      $M(x,y)N(x,y)$
.

Para que la ecuación obtenida sea exacta, se debe cumplir que $M_y=N_x$, es decir:

$$(4\mathit{xy}+4x^3)f(y)+(2x{y}^2+4x^{3}y)f{(y)}^{\prime }=(8\mathit{xy}+12x^3)f(y)$$

$$\begin{array}{rcll}& \Rightarrow & \frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}=\frac{2}{y}& \\ & \Rightarrow & \int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{f^{\prime }(y)}{f(y)}\mathit{dy}=\int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{2}{y}\mathit{dy}& \\ & \Rightarrow & \text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(f(y))=\mathit{ln}{y}^2& \\ & \Rightarrow & f(y)=y^2& \end{array}$$

$\therefore \mu (x,y)=x{y}^2$

Ahora al multiplicar $\mu (x,y)=x{y}^2$ por la ecuación diferencial se obtiene:

$$\underbrace{(2x{y}^4+4x^3{y}^3)}\mathit{dx}+\underbrace{(4x^2{y}^3+3x^4{y}^2)}\mathit{dy}=0$$

      $M(x,y)N(x,y)$

Note que esta ecuación es exacta pues:

$$M_y=8x{y}^3+12x^3{y}^2=N_x$$

Por lo que existe una función $F(x,y)$ tal que, $\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial x}}=M(x,y)$ [1] y $\frac{\mathit{\partial F}}{\mathit{\partial y}}=N(x,y)$ [2]. De esta forma usando [1] entonces tenemos :

$$\begin{array}{rcll}F(x,y)=\int \; <!--\; nolimits\; -->(2x{y}^4+4x^3{y}^3)\mathit{dx}+h(y)\Rightarrow F(x,y)=x^2{y}^4+x^4{y}^3+h(y)& & & \end{array}$$

luego de acuerdo a resultado anterior y [2] debe darse que

$4x^2{y}^3+3x^4{y}^2+h^{\prime }(y)=4x^2{y}^3+3x^4{y}^2\Rightarrow h(y)=K$ con $k\in ℝ$.

Así

$$\begin{array}{rcll}F(x,y)& =& x^2{y}^4+x^4{y}^3+K& \\ & =& x^2{y}^4+x^4{y}^3(K=0)& \end{array}$$

Finalmente de esta forma la solución general viene dada de forma implícita por

$$x^2{y}^4+x^4{y}^3=C$$

Considere la ecuacion $(x^2{y}^3+2y)\mathit{dx}+(2x-2x^3{y}^2)\mathit{dy}=0$, verifique que no es exacta y que no admite factor integrante dependiente de solo de $x$ o solo de $y$, sino admite factor integrante una función $f(\mathit{xy})$. Luego resuelvala y determine su solución general.

Como $\frac{M_y-N_x}{N}=\frac{9x{y}^2}{2-2x^2{y}^2}$ no aplica $P1$ y ademas como $\frac{M_y-N_x}{-M}=-\frac{9x^{2}y}{x^2{y}^2+2}$ no aplica $P2$.

Por otro lado como $\frac{M_y-N_x}{\mathit{yN}-\mathit{xM}}=\frac{-3}{\mathit{xy}}$ si aplica $P3$. Así $\mu =e^{\int \frac{-3}{\mathit{xy}}d(\mathit{xy})}=e^{\int \frac{-3}{u}\mathit{du}}=u^{-3}=x^{-3}{y}^{-3}$ es un factor integrante de la ED.

Al multiplicar $(x^2{y}^3+2y)\mathit{dx}+(2x-2x^3{y}^2)\mathit{dy}=0$ por $\mu =x^{-3}{y}^{-3}$ se obtiene la ecuación diferencial exacta

$$(x^{-1}+2x^{-3}{y}^{-2})\mathit{dx}+(2x^{-2}{y}^{-3}-2y^{-1})\mathit{dy}=0[1]$$

Dicha ecuación diferencial [1] al resolverla se obtiene por solución general

$$F(x,y)=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|x|-x^{-2}{y}^{-2}-2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|y|=C$$

.

Encuentre los valores de $n$ y $m$ para que $x^n{y}^m$ sea un factor integrante de $y^2\mathit{dx}+(\mathit{xy}-x^3)\mathit{dy}=0$ y verifique para los valores obtenidos, que efectivamente es exacta.

Si en la ED dada $y^2\mathit{dx}+(\mathit{xy}-x^3)\mathit{dy}=0$ multiplicamos por el factor integrante de la forma $x^n{y}^m$, tenemos la nueva ED:

$(x^n{y}^{m+2})\mathit{dx}+(x^{n+1}{y}^{m+1}-x^{n+3}{y}^m)\mathit{dy}=0$ [1]

Para que la ecuación diferencial resultante [1] sea exacta debe ahora cumplirse:

$$\begin{array}{rcll}& & (m+2)x^n{y}^{m+1}=(n+1)x^n{y}^{m+1}-(n+3)x^{n+2}{y}^m& \\ & \Rightarrow & (m+2-n-1)x^m{y}^{m+1}+(n+3)x^{n+2}{y}^m=0& \\ & \Rightarrow & n+3=0\wedge m-n+1=0& \\ & \Rightarrow & n=-3\wedge m=-4& \end{array}$$

Así la ecuación diferencial [1] tiene la forma:

$$(x^{-3}{y}^{-2})\mathit{dx}+(x^{-2}{y}^{-3}-y^{-4})\mathit{dy}=0[2]$$

De [2] $M(x,y)=x^{-3}{y}^{-2}\Rightarrow \frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}=-2x^{-3}{y}^{-3}$; $N(x,y)=x^{-2}{y}^{-3}-y^{-4}\Rightarrow \frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}=-2x^{-3}{y}^{-3}$

Por lo tanto, de esta forma se comprueba que la ecuación diferencial dada por [2] es exacta.

Puede visualizar explicación y solución general bajo los valores de $n$ y $m$ encontrados de la ecuación diferencial asociada. Eso mediante el video a través del link: https://youtu.be/UjYmutO_KfM o en su defecto escaneando el código QR adjunto que lleva a página respectiva para comprobar paso a paso dichos resultados.

Hallar un factor integrante de la forma $\eta =\eta (x^2+y^2)$ para la ecuación diferencial

$$-\mathit{ydx}+\mathit{xdy}=0$$

Es fácil comprobar que $\frac{\mathit{\partial M}}{\mathit{\partial y}}=\frac{\mathit{\partial N}}{\mathit{\partial x}}$ y por tanto cumple no ser una ED exacta. Luego en teoría si se multiplica $-\mathit{ydx}+\mathit{xdy}=0$ por un factor integrante de la forma $\eta =\eta (x^2+y^2)$ esta seria exacta, es decir,

Por lo tanto, deberá cumplir $\frac{\partial }{\mathit{\partial y}}(-y\cdot \eta (x^2+y^2))=\frac{\partial }{\mathit{\partial x}}(x\cdot \eta (x^2+y^2))$, es decir,

$$-\eta (x^2+y^2)-y{\eta }^{\prime }(x^2+y^2)\cdot 2y=\eta (x^2+y^2)+x{\eta }^{\prime }(x^2+y^2)\cdot 2x$$

de donde agrupando en términos de $\eta$ y ${\eta }^{\prime }$ se tiene

$-2\eta (x^2+y^2)=(2x^2+2y^2){\eta }^{\prime }(x^2+y^2)$

$\iff \frac{{\eta }^{\prime }(x^2+y^2)}{\eta (x^2+y^2)}=-\frac{1}{x^2+y^2}$

Importante notar que todos los términos tienen argumento $x^2+y^2$, de lo contrario nos se puede esperar un factor integrante de la forma supuesta.

Ahora si se hace $v=x^2+y^2$ se tiene

$$\frac{{\eta }^{\prime }(v)}{\eta (v)}=\frac{-1}{v}$$

$$\iff \frac{\frac{\mathit{d\eta }}{\mathit{dv}}}{\eta }=\frac{-1}{v}$$

luego al separar variables

$$\iff \frac{\mathit{d\eta }}{\eta }=\frac{-\mathit{dv}}{v}$$

e integrando $\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->|\eta |=-\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->v+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->k$. Note que $v=x^2+y^2>0$ y $k>0$ es una constante, de donde

$$|\eta |=\frac{k}{v}\iff \eta (v)=\pm \frac{k}{v}$$

Como es suficiente un factor integrante se puede escoger $\eta (v)=\frac{1}{v}$, es decir, $\eta (x^2+y^2)=\frac{1}{x^2+y^2}$.

finalmente para resolver $-\mathit{ydx}+\mathit{xdy}=0$ se multiplica por el factor integrante hallado $\frac{1}{x^2+y^2}$ y se obtiene la ED exacta

$$-\frac{y}{x^2+y^2}\mathit{dx}+\frac{x}{x^2+y^2}\mathit{dy}=0$$

y cuya solución general al resolver se obtiene $-\text{arctan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{x}{y}\right)=C$.

1. Considere la ecuación diferencial $y\cdot \mathit{dx}+(x^2-\mathit{xy})\mathit{dy}=0$. Halle una función $f(y)$ de tal forma que ED tenga un factor integrante de la forma $\mu =\frac{f(y)}{x^2}$.

Puede ingresar al link https://youtu.be/kGrPaa2esqM o en su defecto escanear el código QR adjunto para visualizar explicación de tal ejercicio.