Resuelva y determine la solución general de la ecuación:

$$y^{\prime }+y^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=2\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$$

sabiendo que $y_1=\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$ es una solución de la ecuación.

Se toma el cambio de variable $y=\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z$ cuya derivada $y^{\prime }=\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^{\prime }$ y se sustituye en la ecuación original.

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & y^{\prime }+y^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=2\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & \text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^{\prime }+{(\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z)}^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=2\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & z^{\prime }+({\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x+2(\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)z+z^2)\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & z^{\prime }+{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+2(\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)z+z^2(\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)=\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & z^{\prime }+\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+2z\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & z^{\prime }+2z\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=0& \hfill & & \hfill & \\ \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Esta ya es una ecuación de Bernoulli, la cual se reduce a una lineal mediante el cambio de variable $v=z^{1-2}=z^{-1}$, con derivada $v^{\prime }=-{\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z^2}}$ quedando de esta forma

$$\begin{array}{lllllllllll}\hfill & z^{\prime }+2z\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=0& \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & {\displaystyle \frac{z^{\prime }}{z^2}}+2z^{-1}\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill \Rightarrow & -v^{\prime }+2v\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill \Rightarrow & v^{\prime }-2v\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Resolviendo mediante factor integrante se obtiene el factor:

$$\mu (x)=e^{\int \; <!--\; nolimits\; -->-2\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\mathit{xdx}}=e^{2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)}={\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$$

Si se multiplica la ecuación por este factor integrante se obtiene:

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & v^{\prime }-2v\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & v^{\prime }{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x-2v\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & v^{\prime }{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x-2v\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & {(v{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x)}^{\prime }=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & v{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2=\int \; <!--\; nolimits\; -->\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2\mathit{xdx}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & v{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2=-{\displaystyle \frac{{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{3}x}{3}}+c& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & v=-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{3}}+c{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & z^{-1}=-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{3}}+c{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & {(y+\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)}^{-1}=-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{3}}+c{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Otra forma de resolver estas ecuaciones es utilizando el cambio de variable $y=y_1+{\displaystyle \frac{1}{z}}$, el cual la reduce directamente a una ecuación lineal.

Resuelva la ecuación

$$y^{\prime }+y^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=2\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$$

sabiendo que $y_1=\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$ es una solución de la ecuación diferencial dada.

Se toma el cambio de variable $y=\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^{-1}$ cuya derivada $y^{\prime }=\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-z^{-2}{z}^{\prime }$ y se sustituye en la ecuación original.

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & y^{\prime }+y^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=2\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & \text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-z^{-2}{z}^{\prime }+{(\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^{-1})}^2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & -z^{-2}{z}^{\prime }+({\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x+2(\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)z^{-1}+z^{-2})\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & -z^{-2}{z}^{\prime }+\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+2z^{-1}\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^{-2}+z^{-2}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & -z^{-2}{z}^{\prime }+2z^{-1}+\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+z^{-2}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=0& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & z^{\prime }-2z\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=0& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & z^{\prime }-2z\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x& \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Que es exactamente la misma ecuación lineal que se encontró midante el otro cambio de variable, y cuyo resultado, como se calculo anteriormente, es

$$z=-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{3}}+c{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$$

y devolviendo el cambio de variable se obtiene

$${(y-\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)}^{-1}=-{\displaystyle \frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{3}}+c{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$$

Resuelva y determine solución general de la siguiente ED

$$x{y}^{\prime }+(1+4x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)y=4x+4x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+(\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)y^2[1]$$

la cual posee una solución de la forma $\phi (x)=\mathit{ax}$, con $a$ constante por determinar.

Dado que la ecuacion diferencial [1] tiene una solución de la forma $\phi (x)=\mathit{ax}$, con $a\in ℝ$, se empieza por determinar la constante $a$, de donde $\phi (x)=\mathit{ax}\Rightarrow {\phi }^{\prime }(x)=a$, luego sustituyendo en la ED de Riccati [1] dada se obtiene:

$\mathit{xa}+(1+4x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)(\mathit{ax})=4x+4x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{(\mathit{ax})}^2$
$\Rightarrow \mathit{ax}+(\mathit{ax}+4a{x}^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)=4x+4x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+a^2{x}^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$
$\Rightarrow (2a-4)x+(4a-4-a^2)x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=0$

luego debe darse

$$\{\begin{array}{c}\hfill 2a-4=0\hfill \end{array}$$ a2 − 4a + 4 = 0

de donde resolviendo sistema $a=2$ y de esa forma

$$\phi (x)=2x$$

Aplicando a la ED de Riccati el cambio de variables $y=u+2x$ para obtener:

$x(u^{\prime }+2)+(1+4x\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)(u+2x)=4x+4x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x{(u+2x)}^2$
$\Rightarrow x{u}^{\prime }+u+4\mathit{xu}\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+4x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=u^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+4\mathit{xu}\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->u+4x^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$
$\Rightarrow x{u}^{\prime }+u=u^2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

$$u^{\prime }+\frac{1}{x}u=\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{2}{u}^2$$

La cual es una ED de Bernoulli en $u(x)$ y al utilizar el cambio de variable $v=u^{-1}$ se transforma en la ecuación diferencial lineal en $v(x)$ $v^{\prime }-\frac{1}{x}v=-\frac{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{x}$, de donde resolviendola se llega a la solución

$$v=\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+1-C.x$$

finalmente retomando los cambios de variable $v=\frac{1}{u}$ y $u=y-2x$ resulta por solución general de la ecuación diferencial [1]

$$y-2x=\frac{1}{\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+1-\mathit{Cx}}$$

con $C$ una constante arbitraria.