Resuelva la ecuación:

$$y=2x{y}^{\prime }-3{(y^{\prime })}^2$$

Siguiendo el procedimiento descrito anteriormente, se debe derivar primero toda la ecuación para poder realizar el cambio de variable $p=y^{\prime }$.

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & y=2x{y}^{\prime }-3{(y^{\prime })}^2& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & y^{\prime }=2y^{\prime }+2x{y}^{\mathit{\prime \prime }}-6y^{\prime }{y}^{\mathit{\prime \prime }}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & p=2p+2x{p}^{\prime }-6p{p}^{\prime }& \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Ahora de debe tomar $x=x(p)$ para poder obtener la ecuación lineal.

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & p=2p+2x{\displaystyle \frac{\mathit{dp}}{\mathit{dx}}}-6p{\displaystyle \frac{\mathit{dp}}{\mathit{dx}}}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & 0=p+2x{\displaystyle \frac{\mathit{dp}}{\mathit{dx}}}-6p{\displaystyle \frac{\mathit{dp}}{\mathit{dx}}}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & 0=p{\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dp}}}+2x-6p& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & 6={\displaystyle \frac{\mathit{dx}}{\mathit{dp}}}+{\displaystyle \frac{2}{p}}x& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & x^{\prime }+{\displaystyle \frac{2}{p}}x=6& \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Esat ecuación lineal se puede resolver con el factor integrante:

$$\mu =e^{\int \; <!--\; nolimits\; -->\frac{2}{p}\mathit{dp}}=e^{2\text{ln}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(o)}=p^2$$

Resolviendo la ecuación lineal para x obtiene:

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & p^2{x}^{\prime }+2{\displaystyle \frac{p^2}{p}}x=6p^2& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & p^2{x}^{\prime }+\mathit{px}=6p^2& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & {(p^{2}x)}^{\prime }=6p^2& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & p^{2}x=2p^3+c& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & x=2p+c{p}^{-2}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

y sistituyendo en la ecuación original se obtiene la solución paramétrica

$$\{\begin{array}{ccc}\hfill x\hfill & \hfill =\hfill & \hfill 2p+c{p}^{-2}\hfill \end{array}$$

Resuelva y determine la solución paramétrica de la ecuación diferencial:

$${(y^{\prime })}^{2}x=e^{{(y^{\prime })}^{-1}}$$

Esta ecuación no parece ser de Lagrange; pero si se toma $x=x(y)$ la ecuación resultante sí lo es.

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & {(y^{\prime })}^{2}x=e^{{(y^{\prime })}^{-1}}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & {(x^{\prime })}^{-2}x=e^{x^{\prime }}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & x={(x^{\prime })}^2{e}^{x^{\prime }}& \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Esta es una ecuación de Lagrange para $x=\mathit{y\phi }(x^{\prime })+\psi (x^{\prime })$, con $\phi (x^{\prime })=0$. Haciendo el mismo procedimiento anterior, pero derivando respecto a $y$ y tomando $p=x^{\prime }$, se obtiene:

$$\begin{array}{lllllll}\hfill & x={(x^{\prime })}^2{e}^{x^{\prime }}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & x^{\prime }=2x^{\prime }{x}^{\mathit{\prime \prime }}{e}^{x^{\prime }}+{(x^{\prime })}^2{e}^{x^{\prime }}{x}^{\mathit{\prime \prime }}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & p=2p{p}^{\prime }{e}^p+p^2{e}^p{p}^{\prime }& \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$ Ahora se debe tomar $y=y(p)$ para poder obtener la ecuación lineal. $$\begin{array}{lllllll}\hfill & p=2p{\displaystyle \frac{\mathit{dp}}{\mathit{dy}}}{e}^p+p^2{e}^p{\displaystyle \frac{\mathit{dp}}{\mathit{dy}}}& \hfill & & \hfill & & \hfill \\ \hfill \Rightarrow & p{\displaystyle \frac{\mathit{dy}}{\mathit{dx}}}=2p{e}^p+p^2{e}^p& \hfill & & \hfill & & \hfill \end{array}$$

Esta es una ecuación de variables separables:

$$\mathit{dy}=(2e^p+p{e}^p)\mathit{dp}$$

$$y=e^p+p{e}^p+c$$

y sustituyendo en la ecuación original de obtiene la solución paramétrica

$$\{\begin{array}{ccc}\hfill y\hfill & \hfill =\hfill & \hfill e^p+p{e}^p+c\hfill \end{array}$$