4. Ejemplos

1.

Tabla de contenidos

% solo para pdf 
1. \solopdf{\tableofcontents} 
% Solo en el html, tabla de contenidos con un bot\’on desplegable 
2. \solomk{\cejillamk{Contenido}{\tableofcontents}} 
% Opci\’oon: en el PDF y en el html 
3. \cejillamk{Contenido}{\tableofcontents}

2.

Definiciones

El código 1.1 muestra el formato general de una definición.

\label{def:defi1} 
\begin{definicion}[nombre-opcional] 
 Contenido... 
\end{definicion}

• Una definción con nombre.

Definición 1 (Envoltura Convexa).

Sea $S\subset {ℝ}^n$ un conjunto de puntos. La envoltura convexa de $S$, denotada por $\text{Conv}(S)$, es el conjunto convexo más pequeño que contiene a $S$. Formalmente:

$$\text{Conv}(S)=\left\{\sum _{i=1}^k{\lambda }_i{x}_i|x_i\in S,{\lambda }_i\ge 0,\sum _{i=1}^k{\lambda }_i=1,k\in \mathbb{N}\right\}$$

Es decir, $\text{Conv}(S)$ está formado por todas las combinaciones convexas finitas de puntos de $S$.

Bien, ahora podemos hacer referencia con usual con \ref: En la Definición 1...

• Una definición con minipage y una nota \footnote{...}

Definición 2 (Modelo para Geometría Hipérbolica).

Un modelo para la geometría hiperbólica es el semiplano superior

$$ℍ=\left\{(x,y)\in {ℝ}^2|y>0\right\}$$

equipado con la métrica

$$d{s}^2=\frac{d{x}^2+d{y}^2}{y^2}.\text{(C)}$$

Al conjunto $ℍ$ se le llama semiplano superior de Poincaré.^a

3.

Teoremas.

El código 1.2 muestra el formato general de un teorema.

\label{teo:teo1} 
\begin{teorema}[nombre-opcional] 
                Contenido... 
\end{teorema}

• Teorema con nombre.

Teorema 1 — Parametrización de un triángulo.

Sean $A,B,C\in {ℝ}^2$ no colineales entonces existen $t,s,w$ úunicos tales que

$$△\mathit{𝐴𝐵𝐶}=\{\mathit{𝑡𝐴}+\mathit{𝑠𝐵}+\mathit{𝑤𝐶},\text{donde }t,s,w\ge 0,t+s+w=1\}$$

• El código 1.3 muestra un teorema con demostración. Usamos un entorno caja que ya está configurado. Es una caja simple, con fondo blanco pero tiene atributos bien definidos en la configuración para la traducción a HTML.

\label{teo:teo2} 
\begin{teorema}[La recta es el camino m\’as corto] 
... 
\begin{caja}[Demostraci\’on.] 
... 
\end{caja} 
\end{teorema}

Teorema 2 — La recta es el camino más corto.

En el plano euclidiano ${ℝ}^2$ con la métrica usual, el camino más corto entre dos puntos $A$ y $B$ es el segmento de recta que los une.

Demostración. Sea $x$ un núumero real arbitrario. Sea $\gamma (t)=(x(t),y(t))$ una curva suave que une dos puntos $A$ y $B$ en el intervalo $[a,b]$. Su longitud es:

$$L[\gamma ]={\int \; <!--\; nolimits\; -->}_a^b\sqrt{x^{\prime }{(t)}^2+y^{\prime }{(t)}^2}\mathit{𝑑𝑡}.$$

Aplicamos la desigualdad de Cauchy–Schwarz:

$$L[\gamma ]\ge \sqrt{{(x(b)-x(a))}^2+{(y(b)-y(a))}^2},$$

con igualdad si y solo si ${\gamma }^{\prime }(t)$ es constante y paralelo al vector $B-A$, es decir, si $\gamma$ es una recta.

Por lo tanto, la longitud mínima se alcanza exactamente cuando $\gamma$ es el segmento de recta entre $A$ y $B$. □

La demostración con pestaña desplegable.

En el html también podemos usar el comando \cejillamk{demostraci\’on}{...} para ocultar la demostración con en una ventana desplegable, como se muestra en el código 1.4

 % PdfLaTeX y HTML 
\label{teo:teo2} 
\begin{teorema}[La recta es el camino m\’as corto] 
En el plano euclidiano $\mathbb{R}^2$ 
... 
\end{teorema} 
% Solo HTML 
\solomk{ 
% Desplegable 
\cejillamk{Demostraci\’on}{ 
\begin{caja} 
Sea \(x\) un n\’uumero real arbitrario. 
... 
\end{caja} 
}%cejillamk

Teorema 3 — La recta es el camino más corto.

En el plano euclidiano ${ℝ}^2$ con la métrica usual, el camino más corto entre dos puntos $A$ y $B$ es el segmento de recta que los une.

▶Demostración

4.

Ejemplo ilustrativo.

El código 1.5 muestra el formato general de un ejemplo ilustrativo.

\label{ej:ejemplo1} 
\begin{ejemplo}[nombre-opcional] 
 % Enunciado 
\end{ejemplo}

Usar minipage en un entorno de ejemplo.

El código, 1.6 muestra un ejemplo con un entorno minipage

\solopdf{ % PDFLaTeX -> pdf 
\label{ej:ejemplo1} 
\begin{ejemplo}[Punto dentro del tri\’angulo] 
   \begin{minipage}{0.7\textwidth} 
          Sean \( A = (1,1) \), \( B = (2,4) \), \( C = (4,0) \). 
        ... 
   \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{0.2\textwidth} 
       ... 
    \includegraphics[scale=0.7]{images/Cap0_fig2.pdf} 
  \end{minipage} 
\end{ejemplo} 
 } 
 \solomk{  % Make4ht -> html 
\label{ej:ejemplo1} 
\begin{ejemplo}[Punto dentro del tri\’angulo] 
   \begin{minipage}{0.7\textwidth} 
          Sean \( A = (1,1) \), \( B = (2,4) \), \( C = (4,0) \). 
        ... 
   \end{minipage}\hfill\begin{minipage}{0.2\textwidth} 
       ... 
   \includegraphics[scale=0.7]{images/Cap0_fig2.svg} 
   \end{minipage} 
   \end{ejemplo} 
\end{ejemplo} 
} 
 

$\text{■}$ Ejemplo 1 — Punto dentro del triángulo.

Sean $A=(1,1)$, $B=(2,4)$, $C=(4,0)$. El punto $P=(3,1)$ está dentro del triángulo $△\mathit{𝐴𝐵𝐶}$ pues, como este triágulo es un conjunto comvexo y

$$P=\frac{1}{4}A+\frac{1}{4}B+\frac{1}{2}C.$$

entonces se concluye que $P\in \text{Conv}\{A,B,C\}=△\mathit{𝐴𝐵𝐶}$.

• Otra opción: ver el ejemplo en una pestaña (solo make4ht).

\solomk{ 
\cejillamk{Ejemplo}{ 
        \begin{ejemplo}[Punto dentro del tri\’angulo]\label{ej:ejemplo1} 
        \begin{minipage}{1.0\textwidth} 
         ... 
        \end{minipage} 
        \end{ejemplo} 
} % cejillamk 
} % solomk

▶Ejemplo

• También podemos editar un ejemplo con solución, usando el entorno \begin{caja}[Soluci\’on]..

\begin{ejemplo}[Punto fuera del tri\’angulo]% 
                Sean \( A = (1,1) \).. 
\begin{caja}[Soluci\’on] 
                Resolviendo el sistema \(3\times 3\) 
                ... 
                \end{caja} 
\end{ejemplo}

$\text{■}$ Ejemplo 3 — Punto fuera del triángulo.

Sean $A=(1,1)$, $B=(2,4)$, $C=(4,0)$. Sea $P=(3,4)$. Verifique que $P$ está fuera del triángulo $△\mathit{𝐴𝐵𝐶}$.

Solución. Resolviendo el sistema $3\times 3$

$$P=\mathit{𝑡𝐴}+\mathit{𝑠𝐵}+\mathit{𝑤𝐶},t+s+w=1,$$

obtenemos la úunica solución $t=-1,s=2,w=0$, y como uno de los coeficientes es negativo, $P\notin \text{Conv}\{A,B,C\}=△\mathit{𝐴𝐵𝐶}$. □

Y podemos como antes, poner la solución en una pestaña (en el HTML)

\begin{ejemplo}[Punto fuera del tri\’angulo]% 
                Sean \( A = (1,1) \)... 
\solomk{ % solo html 
\cejillamk{Soluci\’on}{ 
   \begin{caja} %[Soluci\’on] 
                Resolviendo el sistema \(3\times 3\)... 
   \end{caja} 
}% \solomk 
}% \cejillamk 
\end{ejemplo}

$\text{■}$ Ejemplo 4 — Punto fuera del triángulo.

Sean $A=(1,1)$, $B=(2,4)$, $C=(4,0)$. Sea $P=(3,4)$. Verifique que $P$ está fuera del triángulo $△\mathit{𝐴𝐵𝐶}$.

▶Solución

5.

La ventanas emergentes (pop-ups o modales). Se usan en el html para captar la atención del lector sin recargar la página, sirven para mostrar alertas, información adicional, recordatorios, explicaciones adicionales, etc.

Por ejemplo, en la carpeta ifHTML tenemos un pequeño recordatorio de completación de cuadrados. El html es cc.html

\solomk{ % solo html 
  \ifventana{ifHTML/cc.html}{Complentando cuadrados\ExternalLink}, podemos obtener la ecuaci\’on can\’onica de la c\’onica $x^2+x+y^2-y-5=0$\\ 
  ... 
  }% solomk 
 \solopdf{ % solo pdf 
   Complentando cuadrado... 
}

Complentando cuadrados, podemos obtener la ecuación canónica de la cónica $x^2+x+y^2-y-5=0$
Podemos ver la gráfica usando el "graficador de funciones implicítas"

Graficar una cónica

Abrir en ventana independientePuedes interactuar aquí o abrirla en ventana aparte

El contenido de la ventana emergente puede ser compilado, en la carpeta ifHTML con Make4ht y el config2.cfg (más liviano).

Cosas más pequeñas se pueden editar directamente con mathjax. Le podemos pedir a al IA un html mínimo para una idea.

Por ejemplo: Un solicitud a la IA de un de html básico para una página html:

  "Dame un html m\’{\i}nimo habilitado con mathjax, con solo el texto "La funci\’on \(f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases}\) tiene derivada \(f’(x)=0\), pero no es constante. Qu\’e pasa?" 
  

El html solicitado es

% En el block de notas: 
% guardar este html como "derivadanula1.html" en ifHTML 
 
<!DOCTYPE html> % Block de notas: Guardar este html como "archivo.html" 
<html lang="es"> 
<head> 
  <meta charset="UTF-8"> 
  <title>Derivafa nula</title> 
  <script src="https://cdn.jsdelivr.net/npm/mathjax@3/es5/tex-chtml.js"></script> 
</head> 
<body> 
  <p>La funci\’on 
    \[ 
      f(x) = \begin{cases} 1 & \text{si } x > 0 \\ -1 & \text{si } x < 0 \end{cases} 
    \] 
    tiene derivada \(f’(x) = 0\), pero no es constante. Qu\’e pasa? 
  </p> 
</body> 
</html> 
  

Ahora ya lo podemos usar:

"Si obviamos la  hip\’otes de continuidad, puede haber funciones con 
\solomk{ 
\ifventana{ifHTML/derivadanula1.html}{’derivada nula’pero que no son constantes} 
} 
’derivada nula’ pero que no son constantes"

"Si obviamos la hipótes de continuidad, puede haber funciones con ’derivada nula’ pero que no son constantes ’derivada nula’ pero que no son constantes"

En el PDF, podemos poner ligas a una referencia .html y aunque podemos poner "popups", no son soportados por todos los visores y pueden ser bloqueados por razones de seguridad.

6.

Preguntas y respuestas

Hay varios paquetes para gestionar preguntas y respuestas en PDF. No todos son soportados por Make4ht. En esta plantilla usamos el paquete exsheets¹

El comando \ejersol{#1}{#2} PdfLaTeX lo entiende como un entorno para preguntas y respuestas con el paquete exsheets mientras que Make4ht lo entiende como un entorno \hejersol{#1}{#2} en el que se pone la pregunta #1 y un botón desplegable (que abre o cierra) para la respuesta #2. La numeración de los ejercicios van con la numeración de la sección.

Con PdfLaTeX, las soluciones se imprimen al final con

\chapter*{Soluciones}
\solopdf{\printsolutions}

Veamos con un ejemplo sobre continuidad que funciona para PDF y Make4ht.

 
\ejersol{ 
Determine $a$ y $b$ tal que la funci\’on $f$ definida m\’as abajo, sea continua en todo $\R$ 
\[f(x)= 
\begin{cases} 
a x + b, & \text{si } x < 0, \\ 
x^2 + a, & \text{si } 0 \leq x \leq 1, \\ 
b x - a, & \text{si } x > 1.\\ % cerrar importa 
\end{cases}\] 
}{% mantener as\’{\i} como }{ 
Para que $f$ sea continua en $\mathbb{R}$: 
\[a=-1, \quad b=-1.\] 
}

Ejercicio 4.1. Determine $a$ y $b$ tal que la función $f$ definida más abajo, sea continua en todo $ℝ$

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\mathit{𝑎𝑥}+b,\hfill & \text{si }x<0,\hfill \\ x^2+a,\hfill & \text{si }0\le x\le 1,\hfill \\ \mathit{𝑏𝑥}-a,\hfill & \text{si }x>1.\hfill \end{array}$$

Solución

Para que $f$ sea continua en $ℝ$:

$$a=-1,b=-1.$$

7.

Desplegable para tutores

Ahora tenemos la siguiente situación: Queremos incluir una página web con instrucciones de cómo resolver el ejercicio paso por paso, con botones despelgables en cada paso. Supongamos que tenemos el "tutor" ejercicio_2_1.html. Entonces lo incluimos en el html como un botón (que puede ser en formato desplegable también) y en el PDF como una liga

\solomk{\verbotontutor{HTML/ejercicio_2_1.html}{ Tutor:ejercicio_2_1.html}} 
\solopdf{\href{HTML/ejercicio_2_1.html}{"Tutor" para este ejercicio}}

Ejercicio 4.2. Determine $a$ y $b$ tal que la función $f$ definida más abajo, sea continua en todo $ℝ$

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\mathit{𝑎𝑥}+b,\hfill & \text{si }x<0,\hfill \\ x^2+a,\hfill & \text{si }0\le x\le 1,\hfill \\ \mathit{𝑏𝑥}-a,\hfill & \text{si }x>1.\hfill \end{array}$$

Solución

📖 Tutor: Tutor:ejercicio_2_1.html

8.

Ventanas para páginas web

Continuamos con el ejercicio sobre continuidad.

Resulta que tenemos un graficador de funciones especializado en problemas de continuidad llamado Grafcontinuidad.html: Podemos digitarla fórmula e indicar el intervalo en el formato "francés" [a,b] o ]a,b[, [a, infty[, etc. además podemos agregar puntos con discos cerrados o abiertos.

Las funciones a trozos las pondemos incluir con las partes por separado o con el comando para funciones a trozos con el comando "trozos()". Por ejemplo, la función

$$f(x)=\{\begin{array}{cc}\mathit{𝑎𝑥}+b,\hfill & \text{si }x<0,\hfill \\ x^2+a,\hfill & \text{si }0\le x\le 1,\hfill \\ \mathit{𝑏𝑥}-a,\hfill & \text{si }x>1.\hfill \end{array}$$

la introducimos como trozos(ax+b, x<0,x^2+a, [0,1], bx-a,x>1) donde debemos sustituir los valores de $a$ y $b$. A manera de experimentar podemos introducir

trozos(2x+1, x<0,x^2+2, [0,1], x-2,x>1), es decir $a=2,b=1$
trozos(3x-2, x<0,x^2+3, [0,1], -2x-3,x>1), es decir $a=3,b=-2$
trozos(-x-1, x<0,x^2-1, [0,1], -x+1,x>1), es decir $a=-1,b=-1$

\solomk{% 
\dosventanasmk{HTML/Grafcontinuidad.html} 
{800}{580} 
{80}{70} 
{Continuidad}{Puedes interactuar aqu\’{\i} o abrirla en ventana aparte} 
}%\solomk

Continuidad

Abrir en ventana independientePuedes interactuar aquí o abrirla en ventana aparte

Y agregamos una liga un gráfico en PDF.

9.

\includegraphics[]{}. Para incluir gráficos, evitamos scale y más bien usamos [width=0.y\textwidth], si Make4ht logra leer las dimensiones de la figura, todo sale bien (al menos en ambientes Linux como Ubuntu. En Windows y macOS no hemos hecho experimentos, pero debe ser similar)

\solopdf{% 
\begin{center} 
 \href{HTML/Grafcontinuidad.html}{ 
 \includegraphics[width=0.5\textwidth]{images/Grafcontinuidad.png} 
 }% \href 
 \captionof{figure}{Grafica de $f$ para $a=b=-1$} 
\end{center} 
}% \solopfd

10.

Efecto hover en tablas

Como ejemplo vamos a incluir una tabla (un poco compleja) para gregar el efecto hover en el html.

\solomk{ 
% colores en el pre\’ambulo 
\begin{tablahoverfilas} 
{% grupo 
\footnotesize 
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
\setlength{\arrayrulewidth}{0.5pt} 
\arrayrulecolor{headerblue!80} 
\rowcolors{3}{rowgray}{white}  % Empieza a rayar desde la 3ra fila 
\begin{tabular}{cc||ccc||ccc||ccc||ccc} 
\toprule 
\rowcolor{headerblue!90} 
\multicolumn{2}{>{\bfseries\color{white}}c||}{\fvn{Negaci\’on}} & 
\multicolumn{3}{>{\bfseries\color{white}}c||}{\fvn{Conjunci\’on}} & 
\multicolumn{3}{>{\bfseries\color{white}}c||}{\fvn{Disyunci\’on}} & 
\multicolumn{3}{>{\bfseries\color{white}}c||}{\fvn{Implicaci\’on}} & 
\multicolumn{3}{>{\bfseries\color{white}}c||}{\fvn{Equivalencia}}  \\ 
\midrule 
% Fila 1 (destacada) 
\rowcolor{highlight!15} 
$P$ & $\neg P$  & $P$ & $Q$ & $P \land Q$ & $P$ & $Q$ & $P \lor Q$ & $P$ & $Q$ & $P \rightarrow Q$ & $P$ & $Q$ & $P \leftrightarrow Q$ \\ 
\midrule 
$V$ & $F$  & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ & $V$ \\ 
$V$ & $F$  & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ \\ 
$F$ & $V$  & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ & $V$ & $F$ & $V$ & $V$ & $F$ & $V$ & $F$ \\ 
$F$ & $V$  & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $F$ & $V$ & $F$ & $F$ & $V$ \\ 
\bottomrule 
\end{tabular}} 
\captionof{table}{Tablas de verdad b\’asicas} 
\end{tablahoverfilas} 
} 
 
\solopdf{ 
{% grupo 
\footnotesize 
\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
... 
} 
}%\solopdf 
 

Negación

Conjunción

Disyunción

Implicación

Equivalencia

$P$

$\neg <!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->P$

$P$

$Q$

$P\wedge Q$

$P$

$Q$

$P\vee Q$

$P$

$Q$

$P\to Q$

$P$

$Q$

$P\leftrightarrow Q$

$V$

$F$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$V$

$F$

$V$

$F$

$F$

$V$

$F$

$V$

$V$

$F$

$F$

$V$

$F$

$F$

$F$

$V$

$F$

$V$

$F$

$F$

$V$

$V$

$F$

$V$

$V$

$F$

$V$

$F$

$F$

$V$

$F$

$F$

$F$

$F$

$F$

$F$

$F$

$F$

$V$

$F$

$F$

$V$

En el html se puede ver la diferencia entre aplicar o no aplicar tablahoverfilas a ciertas tablas, a veces tiene efectos no deseados

En estos intevalos suponemos que $a\le b$

Desigualdades	Intervalo	Representación gráfica
$a\le x\le b$	$[a,b]$
$a<x\le b$	$]a,b]$
$a<x<b$	$]a,b[$
$a\le x<b$	$[a,b[$

En estos intevalos suponemos que $a\le b$

Desigualdades	Intervalo	Representación gráfica
$a\le x\le b$	$[a,b]$
$a<x\le b$	$]a,b]$
$a<x<b$	$]a,b[$
$a\le x<b$	$[a,b[$

• Tablas de signos

Funciona en PdfLaTeX y Make4ht

11.

Entornos no soportados por Make4ht. Hay tablas, matrices, paquetes, etc. no soprtados por Make4ht. Hay dos estrategias: con la IA podemos pedir el código html equivalente, e insertarlo con el comando \insertarhtml{} o, abrir el PDF y recortar o también, con Inkskcape por ejemplo y desagrupando, tomamos al figura y la incluimos como una figura

12.

Cajas tcolorbox

La plantilla tiene configurada varias cajas para entornos definition, proposition, Box4, metodo. Los nombres evitan choques con los entornos mdframed.

Ejemplo de cajas tcolorbox

Estas cajas están configuradas en el preámbulo y en config.cfg esta configurado el css (diseño html)

 
\begin{tcolorbox}[title=Ejemplo 1] 
The should display as a nice box with some white space on the left and the right. 
It works fine with latex2pdf but when I use it with htlatex (make4ht) it ignores the space on the left. 
\end{tcolorbox} 
 
 
\bigskip 
\begin{definition}{Variable aleatoria}{var-aleatoria} 
  Sea $X : \Omega \longrightarrow E$ una variable aleatoria. Se llama \textbf{ley de $X$} a la aplicaci\’on 
    \[ P_{X} : X\left( \Omega \right)\to  [0,1],\quad x\mapsto \mathbb{P}\left( X=x\right)\] 
\end{definition} 
 
\bigskip 
\textbullet\; Referencia: Como vimos en la Definici\’on~\ref{def:var-aleatoria} ...\\ 
 
\bigskip 
\begin{proposition}{Ley imagen}{} 
  Sea $X : \Omega \longrightarrow E$ una variable aleatoria y $f : E \longrightarrow F$. La ley de la 
  variable aleatoria $Y = f \circ X$ est\’a dada por 
  \[\forall y \in f\left(X\left(\Omega \right) \right),\quad 
    \mathbb{P}\left(Y=y\right)=\sum_{x\in f^{-1}\left(\{y\} \right)}\mathbb{P}\left(X=x \right). \] 
\end{proposition} 
 
\bigskip 
\begin{Box4}{Una caja}{} 
\begin{center} 
{\Huge\textbf{Una caja}} 
\end{center} 
\end{Box4} 
 
\bigskip 
%\setcounter{chapter}{26} 
\begin{method}{C\’omo calcular la ley de una variable aleatoria}{} 
  Primero se debe determinar el conjunto $A$ de los valores posibles de $X$, y luego calcular las 
  probabilidades $\mathbb{P}\left(X=x\right)$ para cada $x$ que recorre el conjunto de valores 
  tomados por $X$. El resultado se representa generalmente en forma de tabla. 
\end{method}