Ejercicios

Ejercicio 3.12. Usando la completación de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones:

1.: $x^{2} + x - 6$
2.: $x^{2} - 4 x + 1$
3.: $2 x^{2} - 5 x + 2$
4.: $- 2 x^{2} + x + 1$
5.: $2 x^{2} - 12 x - 15$
6.: $2 x^{2} - 3 x - 3$

Fórmula General:

La fórmula general es un procedimiento que se usa para factorizar polinomios de la forma $a x^{2} + b x + c$ , con $a$ , $b$ y $c$ constantes reales y $a \neq 0$ .

Teorema 11 — Teorema del factor.

Sea $P (x)$ un polinomio de grado $n$ , $n$ $\geq$ 1 y sea $α \in I R$ :

a.) Si $α$ es un cero de $P (x)$ , $(P(α) = 0)$ , entonces $x - α$ es un factor de $P (x)$ .

b.) Si $x - α$ es un factor de $P (x)$ , entonces $α$ es un cero de $P (x)$ .

Demostración:

a.): Supongamos que $α$ es un cero de $P (x)$ , debemos demostrar que $x - α$ es un factor de $P (x)$ .
: Por el algoritmo de la división existen únicos polinomios $Q (x)$ y $R (x)$ , $R (x)$ constante real tales que :
: $P (x) = (x - α) Q (x) + R (x)$ ; sustituyendo $x$ por $α$ se tiene
: $P (α) = (α - α) Q (α) + R (x)$
: $P (α) = 0 \cdot Q (α) + R (x)$
: $P (α) = R$ (x), pero como $P (α) = 0$ entonces $R (x) = 0$ y se cumple que:
: $P (α) = (x - α) Q (x)$ , de donde se tiene que $x - α$ es un factor de $P (x)$
b.): Supongamos que $x - α$ es un factor de $P (x)$ , debemos demostrar que $α$ es un
: cero de $P (x)$ , o sea $P (α) = 0$
: Si $x - α$ es un factor de $P (x)$ , entonces existe un polinomio $Q (x)$ tal que
: $P (x) = (x - α) Q (x)$ , de donde se tiene que
: $P (α) = (α - α) Q (α)$
: $P (α) = 0 \cdot Q (α)$
: $P (α) = 0$ ; que es lo que se quería demostrar

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Ejemplo 119.

Sea $P (x)$ tal que $P (x) = x^{3} - 2 x + 1$ , observe que $P (1) = 1^{3} - 2 (1) + 1$ , o sea $P (1) = 0$ , por lo que $x - 1$ debe ser un factor de $P (x)$ . En efecto, realizando la división de $P (x)$ por $x - 1$ se tiene que:

1	0	-2	1	1

	1	1	-1

1	1	-1	0

Por lo tanto:

x^{3} - 2 x + 1 = (x - 1) (x^{2} + x - 1)

y se cumple que

x - 1

es un factor de

P (x)

Consecuencias del teorema anterior

Sea $P (x)$ tal que $P (x) = a x^{2} + bx + c$ con $a \neq 0$ . Si $P (x)$ no tiene ceros reales, entonces $P (x)$ no es factorizable en $I R$ .

Definición 61.

Sea $P (x)$ un polinomio tal que $P (x) = a x^{2} + bx + c$ , con $a$ , $b$ y $c$ constantes reales y $a \neq 0$ , el número $b^{2} - 4 ac$ , recibe el nombre de discriminante de $P (x)$ .

El discriminante de $a x^{2} + bx + c$ , con $a \neq 0$ se denota por el símbolo: $Δ$ ; o sea:

Δ = b^{2} - 4 ac

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Ejemplo 120.

Calcule el discriminante de cada uno de los siguientes polinomios:

$a.) 4 x^{2} + 5 x + 8 b.) x^{2} - x - 2 c.) 4 x^{2} - 4 x + 1$
$d.) 4 x^{2} - 2 x e.) 3 x^{2} + 5 f.) - 2 x^{2} + 7 x - 3$

Solución.

a.) $4 x^{2} + 5 x + 8$

En este caso:

$Δ = 5^{2} - 4 (4) (8)$

$Δ = 25 - 128$

$Δ = - 103$

b.) $x^{2} - x - 2$

En este caso:

$Δ = {(- 1)}^{2} - 4 (1) (- 2)$

$Δ = 1 + 8$

$Δ = 9$

c.) $4 x^{2} - 4 x + 1$

En este caso:

$Δ = {(- 4)}^{2} - 4 (4) (1)$

$Δ = 16 - 16$

$Δ = 0$

d.) $4 x^{2} - 2 x$

En este caso:

$Δ = {(- 2)}^{2} - 4 (4) (0)$

$Δ = 4 - 0$

$Δ = 4$

e.) $3 x^{2} + 5$

En este caso:

$Δ = {(0)}^{2} - 4 (3) (5)$

$Δ = 0 - 60$

$Δ = - 60$

f.) $- 2 x^{2} + 7 x - 3$

En este caso:

$Δ = 7^{2} - 4 (- 2) (- 3)$

$Δ = 49 - 24$

$Δ = 25$

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