Ejercicios

Ejercicio 3.11. Factorice totalmente cada una de las siguientes expresiones:

1.: $a^{3} - 64$
2.: $4 a^{5} - 32 a^{2} b^{3}$
3.: $a^{3} - 11$
4.: $a^{3} - {(b - 1)}^{3}$
5.: $8 a^{2} b^{3} - 7$
6.: $16 x^{5} - 2 x^{2}$

1.: $(a - 4) (a^{2} + 4 a + 4^{2})$
2.: $4 a^{2} (a - 2 b) (a^{2} + 2 ab + a b^{2})$
3.: $(a - \sqrt[3]{11}) (a^{2} + a \sqrt[3]{11} + {(\sqrt[3]{11})}^{2})$
4.: $(a - b + 1) (a^{2} + (b - 1) a + {(b - 1)}^{2})$
5.: $(2 ab - \sqrt[3]{7}) (4 a^{2} b^{2} + 2 ab \sqrt[3]{7} + {(\sqrt[3]{7})}^{2})$
6.: $2 x^{2} (2 x - 1) (4 x^{2} + 2 x + 1)$

Factorización de polinomios de grado $2$

Enunciaremos en esta sección dos métodos los cuales usaremos para factorizar polinomios de una variable, de grado $2$ (del tipo $a x^{2} + bx + c$ ). Uno de estos métodos se conoce con el nombre de factorización por completación de cuadrados, y el otro método se conoce con el nombre de factorización por fórmula general.

Completación de cuadrados

Este procedimiento nos permitirá obtener a partir de una expresión de la forma $x^{2} + bx + c$ , una expresión de la forma ${(x + \frac{b}{2})}^{2} + k$

Teorema 10.

Si $b$ y $c$ son constantes reales y $x$ es una variable real, entonces se cumple la siguiente igualdad:

x^{2} + bx + c = {(x + \frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2}}{4} + c

Demostración:

${(x + \frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2}}{4} + c$	$=$	$[x^{2} + 2 (x) (\frac{b}{2}) + {(\frac{b}{2})}^{2}] - \frac{b^{2}}{4} + c$
	$=$	$[x^{2} + bx + \frac{b^{2}}{4}] - \frac{b^{2}}{4} + c$
	$=$	$x^{2} + bx + \frac{b^{2}}{4} - \frac{b^{2}}{4} + c$
	$=$	$x^{2} + bx + c$

por lo que:

x^{2} + bx + c = {(x + \frac{b}{2})}^{2} - \frac{b^{2}}{4} + c

así por ejemplo, usando el teorema anterior se tiene que:

a) $x^{2} + 6 x + 5 = {(x + \frac{6}{2})}^{2} - \frac{6^{2}}{4} + 5$

b) $x^{2} - 3 x + 2 = x^{2} + (- 3) x + 2 = {(x + \frac{- 3}{2})}^{2} - \frac{{(- 3)}^{2}}{4} + 2$

c) $x^{2} - 8 x - 7 = x^{2} + (- 8 x) - 7 = {(x + \frac{- 8}{2})}^{2} - \frac{{(- 8)}^{2}}{4} + - 7$

d) $x^{2} + x - 1 = x^{2} + x + (- 1) = {(x + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1^{2}}{4} + - 1$

Factorización por completación de cuadrados

■

Ejemplo 118.

Usando la completación de cuadrados factorice cada una de las siguientes expresiones:

$a) x^{2} + 5 x + 4 b) x^{2} + 4 x + 2 c) 4 x^{2} + 8 x - 5 d) 3 x^{2} - 7 x + 2$

Solución.

$a.) x^{2} + 5 x + 4$	$=$	${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{5^{2}}{4} + 4$
	$=$	${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{25}{4} + \frac{16}{4}$
	$=$	${(x + \frac{5}{2})}^{2} - \frac{9}{4}$
	$=$	$[(x + \frac{5}{2}) - \frac{3}{2}] [(x + \frac{5}{2}) + \frac{3}{2}]$
	$=$	$(x + \frac{5}{2} - \frac{3}{2}) (x + \frac{5}{2} + \frac{3}{2})$
	$=$	$(x + \frac{2}{2}) (x + \frac{8}{2})$
	$=$	$(x + 1) (x + 4)$

Por lo que la factorización de $x^{2} + 5 x + 4 es (x + 1) (x + 4)$

$∴ x^{2} + 5 x + 4 = (x + 1) (x + 4)$

$b.) x^{2} + 4 x + 2$	$=$	${(x + \frac{4}{2})}^{2} - \frac{4^{2}}{4} + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - \frac{16}{4} + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 4 + 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - 2$
	$=$	${(x + 2)}^{2} - {(\sqrt{2})}^{2}$
	$=$	$[(x + 2) - \sqrt{2}] [(x + 2) + \sqrt{2}]$
	$=$	$(x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2})$

Por lo que la factorización de $x^{2} + 4 x + 2 es (x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2})$

$∴ x^{2} + 4 x + 2 = (x + 2 - \sqrt{2}) (x + 2 + \sqrt{2})$

$c.) 4 x^{2} + 8 x - 5$	$=$	$4 (x^{2} + 2 x - \frac{5}{4})$
	$=$	$4 [{(x + \frac{2}{2})}^{2} - \frac{2^{2}}{4} - \frac{5}{4}]$
	$=$	$4 [{(x + 1)}^{2} - \frac{4}{4} - \frac{5}{4}]$
	$=$	$4 [{(x + 1)}^{2} - \frac{9}{4}]$
	$=$	$4 [{(x + 1)}^{2} - {(\frac{3}{2})}^{2}]$
	$=$	$4 [(x + 1) - \frac{3}{2}] [(x + 1) + \frac{3}{2}]$
	$=$	$4 (x + 1 - \frac{3}{2}) (x + 1 + \frac{3}{2})$
	$=$	$4 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{5}{2})$

Por lo que la factorización de $4 x^{2} + 8 x - 5 es 4 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{5}{2})$

$∴ 4 x^{2} + 8 x - 5 = 4 (x - \frac{1}{2}) (x + \frac{5}{2})$

$d) 3 x^{2} - 7 x + 2$	$=$	$3 (x^{2} - \frac{7}{3} x + \frac{2}{3})$
	$=$	$3 [{(x - \frac{\frac{7}{3}}{2})}^{2} - \frac{{(\frac{- 7}{3})}^{2}}{4} + \frac{2}{3}]$
	$=$	$3 [{(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{\frac{49}{9}}{4} + \frac{2}{3}]$
	$=$	$3 [{(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{49}{36} + \frac{2}{3}]$
	$=$	$3 [{(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{49}{36} + \frac{24}{36}]$
	$=$	$3 [{(x - \frac{7}{6})}^{2} - \frac{25}{36}]$
	$=$	$3 [{(x - \frac{7}{6})}^{2} - {(\frac{5}{6})}^{2}]$
	$=$	$3 (x - \frac{7}{6} - \frac{5}{6}) (x - \frac{7}{6} + \frac{5}{6})$
	$=$	$3 (x - \frac{12}{6}) (x - \frac{2}{6})$
	$=$	$3 (x - 2) (x - \frac{1}{3})$

$∴ x^{2} - 7 x + 2 = 3 (x - 2) (x - \frac{1}{3})$

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Factorización de polinomios de grado 2

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