Ejercicios

Ejercicio 3.10. Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.: $x^{3} + 27 y^{3}$
2.: $a + a^{4}$
3.: $x^{3} + 5$
4.: $81 a^{7} + 24 a^{3}$
5.: $7 a^{3} b^{3} + 11$
6.: ${(2 a - b)}^{3} + 8$

1.: $(x + 3 y) (x^{2} - 3 xy + 9 y^{2})$
2.: $a (1 + a) (1 - a + a^{2})$
3.: $(x + \sqrt[3]{5}) (x^{2} - \sqrt[3]{5} x + {(\sqrt[3]{5})}^{2})$
4.
5.: $(\sqrt[3]{7} ab + \sqrt[3]{11}) ({(\sqrt[3]{7} ab)}^{2} - \sqrt[3]{7} \sqrt[3]{11} ab + {(\sqrt[3]{11})}^{2})$
6.: $(2 a - b + 2) ({(2 a - b)}^{2} - 2 (2 a - b) + 2^{2})$

Teorema 9.

Si $a \in ℝ, b \in ℝ$ entonces se cumple que: $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Demostración:

$(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$	=	$[a + (- b)] [a^{2} + ab + b^{2}]$
	=	$a (a^{2} + ab + b^{2}) + (- b) (a^{2} + ab + b^{2})$
	=	$a^{3} + a^{2} b + a b^{2} - a^{2} b - a b^{2} - b^{3}$
	=	$a^{3} + (a^{2} b - a^{2} b) + (a b^{2} - a b^{2}) - b^{3}$
	=	$a^{3} - b^{3}$

Por lo tanto: $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2}) = a^{3} - b^{3}$ y decimos que $(a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$ es la factorización de la expresión $a^{3} - b^{3}$ .

Note que $a^{2} + ab + b^{2}$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.

■

Ejemplo 117.

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.): $x^{3} - 8$
b.): $a^{3} - 7$
c.): $54 x^{3} - 2 y^{3}$
d.): $3 a^{3} b^{3} - 125$

Solución.

a.) $x^{3} - 8$

$= x^{3} - 2^{3}$

$= (x - 2) (x^{2} + 2 x + 2^{2})$

$= (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

Por lo que la factorización de $x^{3} - 8$ es $(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

$∴ x^{3} - 8 = (x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)$

b.) $a^{3} - 7$

$= a^{3} - {(\sqrt[3]{7})}^{3}$

$= (a - \sqrt[3]{7}) [a^{2} + a \sqrt[3]{7} + {(\sqrt[3]{7})}^{2}]$

$= (a - \sqrt[3]{7}) (a^{2} + a \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49})$
Por lo que la factorización de $a^{3} - 7$ es $(a - \sqrt[3]{7}) (a^{2} + a \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49})$

$∴ a^{3} - 7 = (a - \sqrt[3]{7}) (a^{2} + a \sqrt[3]{7} + \sqrt[3]{49})$

c.) $54 x^{3} - 2 y^{3}$

$= 2 (27 x^{3} - y^{3})$

$= 2 [{(3 x)}^{3} - y^{3}]$

$= 2 [3 x - y] [{(3 x)}^{2} + 3 xy + y^{2}]$

$= 2 (3 x - y) (9 x^{2} + 3 xy + y^{2})$

Por lo que la factorización de $54 x^{3} - 2 y^{3}$ es $2 (3 x - y) (9 x^{2} + 3 xy + y^{2})$

$∴ 54 x^{3} - 2 y^{3} = 2 (3 x - y) (9 x^{2} + 3 xy + y^{2})$

d.) $3 a^{3} b^{3} - 125$

$= {(\sqrt[3]{3} ab)}^{3} - 5^{3}$

$= [\sqrt[3]{3} ab - 5] [{(\sqrt[3]{3} ab)}^{2} + \sqrt[3]{3} ab \cdot 5 + 5^{2}]$

$= (\sqrt[3]{3} ab - 5) (\sqrt[3]{9} a^{2} b^{2} + 5 \sqrt[3]{3} ab + 25)$

Por lo que la factorización de $3 a^{3} b^{3} - 125$ es $(\sqrt[3]{3} ab - 5) (\sqrt[3]{9} a^{2} b^{2} + 5 \sqrt[3]{3} ab + 25)$

$∴ 3 a^{3} b^{3} - 125 = (\sqrt[3]{3} ab - 5) (\sqrt[3]{9} a^{2} b^{2} + 5 \sqrt[3]{3} ab + 25)$

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