Ejercicios

Ejercicio 3.3. Para cada par de polinomios

A (x)

B (x)

que se definen a continuación, determine por división sintética el cociente y el residuo que se obtiene al dividir

A (x)

por

B (x)

1.: $A (x) = x^{5} - 32; B (x) = x - 2$
2.: $A (x) = - 7 x^{2} + 8 x + 5 x^{3} + 1; B (x) = x - 3$
3.: $A (x) = x^{3} + 27; B (x) = x + 3$
4.: $A (x) = x^{3} + 2 - 3 x; B (x) = x + 5$
5.: $A (x) = x^{4} - x; B (x) = x + 1$
6.: $A (x) = 6 - 5 x + 4 x^{2}; B (x) = x + 2$

1.: El cociente es $x^{4} + 2 x^{3} + 4 x^{2} + 8 x + 16$ y el residuo es $0$ .
2.: El cociente es $5 x^{2} + 8 x + 32$ y el residuo es $97$ .
3.: El cociente es $x^{2} - 3 x + 9$ y el residuo es $0$ .
4.: El cociente es $x^{2} - 5 x + 22$ y el residuo es $- 108$
5.: El cociente es $x^{3} - x^{2} + x - 2$ y el residuo es $2$
6.: El cociente es $4 x - 13$ y el residuo es $32$

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Ejemplo 108.

Sea $P (x)$ un polinomio tal que: $P (x) = x^{5} - 3 x^{4} + 8 x^{2} - 2$ ; usando división sintética determine $P (- 2)$ y $P (1)$

Solución.

Recuerde que $P (α)$ es igual al residuo que se obtiene al dividir $P (x)$ por $x - α$ .
Efectuando las divisiones correspondientes se tiene:

1	-3	0	8	0	-2	-2


	-2	10	-20	24	-48


1	-5	10	-12	24	$-50$

1	-3	0	8	0	-2	1


	1	-2	-2	6	6


1	-2	-2	6	6	$4$

Por lo tanto $P (- 2) = - 50$ y $P (1) = 4$

Ejercicio

Ejercicio 3.4. Sea

P (x)

un polinomio tal que

P (x) = x^{3} - 2 x^{2} - 9 x + 18

. Usando división sintética determine

P (1), P (2), P (- 3), y P (- 4)

1.: $P (1) = 8$
2.: $P (2) = 0$
3.: $P (- 3) = 0$
4.: $P (- 4) = - 42$

Definición 57.

Sea $P (x)$ un polinomio no constante con coeficientes reales.

Si existen polinomios $A (x)$ y $B (x)$ no constantes, con coeficientes reales tales que $P (x) = A (x) \cdot B (x)$ entonces decimos que $P (x)$ es factorizable en el conjunto de los números reales.

Definición 58.

Sean $A (x), B (x)$ y $P (x)$ polinomios no constantes con coeficientes reales. Si $P (x) = A (x) \cdot B (x)$ entonces decimos que $A (x)$ y $B (x)$ son factores de $P (x)$ .

Definición 59.

Sean $A (x), B (x)$ y $P (x)$ polinomios no constantes con coeficientes reales. Si $P (x) = A (x) \cdot B (x)$ entonces decimos que el producto indicado de $A (x)$ y $B (x)$ es una factorización de $P (x)$ .

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Ejemplo 109.

a.): Como $x^{2} + 2 x = x (x + 2)$ , entonces decimos que $x (x + 2)$ es una factorización de $x^{2} + 2 x$ .
b.): Como $x^{4} - 1 = (x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$ , entonces decimos que $(x^{2} - 1) (x^{2} + 1)$ es una factorización de $x^{4} - 1$

Sea $P (x)$ un polinomio no constante con coeficientes reales; si no existen polinomios $A (x)$ y $B (x)$ no constantes con coeficientes reales y tales que $P (x) = A (x) \cdot B (x)$ , entonces decimos que $P (x)$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.

Definición 60.

Sea $P (x)$ un polinomio no constante con coeficientes reales tal que $P (x) = A {(x)}_{1} \cdot A {(x)}_{2} \cdot A {(x)}_{3} \dots A {(x)}_{n}$ donde $A {(x)}_{1} \cdot A {(x)}_{2} \cdot A {(x)}_{3} \dots A {(x)}_{n}$ son polinomios no constantes con coeficientes reales.

Decimos que el producto indicado $A_{1} \cdot A_{2} \cdot A_{3} \dots A_{n}$ es una factorización completa de $P (x)$ si cada uno de los polinomios $A {(x)}_{1} \cdot A {(x)}_{2} \cdot A {(x)}_{3} \dots A {(x)}_{n}$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.

Técnicas de factorización

A continuación enfocaremos nuestra atención hacia el estudio de algunas técnicas que se utilizan en la factorización de polinomios.

Factorización por factor común

La factorización de polinomios por factor común consiste básicamente en la aplicación de la propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición, para esto recordemos que esta propiedad expresa:

Si $a \in I R, b \in I R, c \in I R,$ entonces $a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c$

En forma más general,

Si $a \in I R, b_{1} \in I R, b_{2} \in I R, b_{3} \in I R, \dots, b_{n} \in I R$ entonces:

$a (b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots b_{n}) = a b_{1} + a b_{2} + a b_{3} + \dots a b_{n}$ y en tal caso decimos que

$a (b_{1} + b_{2} + b_{3} + \dots b_{n})$ es una factorización de la expresión $a b_{1} + a b_{2} + a b_{3} + \dots a b_{n}$ , y que $a$ es un factor común de los sumandos $a b_{1}, a b_{2}, \dots, a b_{n}$

■

Ejemplo 110.

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.)

x^{2} + xy

b.)

6 xa - 12 xy

c.)

a^{2} + a

Solución.

a.) $x^{2} + xy$

$= x \cdot x + xy$

$= x (x + y)$
Por lo que la factorización de $x^{2} + xy$ es $x (x + y)$ , es decir:

$x^{2} + xy = x (x + y)$

b.) $6 xa - 12 xy$

$= 6 x \cdot a - 6 x 2 y$

$= 6 x (a - 2 y)$
Por lo que la factorización de $6 xa - 12 xy$ es $6 x (a - 2 y);$ , es decir:

$6 xa - 12 xy = 6 x (a - 2 y)$

c.) $a^{2} + a$

$= a^{2} + a$

$= a (a + 1)$
Por lo que la factorización de $a^{2} + a$ es $a (a + 1)$ , es decir:

$a^{2} + a = a (a + 1)$

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Ejemplo 111.

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.): $x^{2} y^{3} z + x^{3} y^{2} z^{2}$
b.): $(3 a + 15) - b (a + 5)$
c.): $a (x - y) + (y - x)$
d.): $14 x^{2} - 28 x^{3} + 56 x^{2} y$

Solución.

a.)

x^{2} y^{3} z + x^{3} y^{2} z^{2}

\begin{matrix} x^{2} y^{3} z + x^{3} y^{2} z^{2} & = & x^{2} y^{2} yz + x^{2} x y^{2} zz \\ = & x^{2} y^{2} z (y + xz) \\ Por lo que: \\ x^{2} y^{3} z + x^{3} y^{2} z^{2} & = & x^{2} y^{2} z (y + xz) \end{matrix}

b.)

(3 a + 15) - b (a + 5)

\begin{matrix} (3 a + 15) - b (a + 5) & = & (3 a + 3 \cdot 5) - b (a + 5) \\ = & 3 (a + 5) - b (a + 5) \\ = & (a + 5) (3 - b) \\ Por lo que: \\ (3 a + 15) - b (a + 5) & = & (a + 5) (3 - b) \end{matrix}

c.)

a (x - y) + (y - x)

a (x - y) + (y - x) = a (x - y) + (- 1) (x - y)

(3.16)

\begin{matrix} = & (x - y) (a - 1) \\ Por lo que: \\ a (x - y) + (y - x) & = & (x - y) (a - 1) \end{matrix}

d.)

14 x^{2} - 28 x^{3} + 56 x^{2} y

\begin{matrix} 14 x^{2} - 28 x^{3} + 56 x^{2} y & = & 14 x^{2} \cdot 1 - 14 x^{2} \cdot 2 x + 14 x^{2} \cdot 4 y \\ = & 14 x^{2} (1 - 2 x + 4 y) \\ Por lo que: \\ 14 x^{2} - 28 x^{3} + 56 x^{2} y & = & 14 x^{2} (1 - 2 x + 4 y) \end{matrix}

En 3.16, usando la propiedad distributiva se puede demostrar que: $a - b = (- 1) (b - a)$

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