Ejercicios

Ejercicio 3.5. Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.: $abc + ab c^{2}$
2.: $9 a^{2} x^{2} - 18 a x^{3}$
3.: $6 a^{2} - 12 a (x + 2)$
4.: $(2 m - 4 n) + m (m - 2 n)$
5.: $x (x - 7) - (7 - x)$
6.: $(3 x + 9 y) + d (- x - 3 y)$

1.: $abc (1 + c)$
2.: $9 a x^{2} (a - 2 x)$
3.: $6 a (a - 2 x - 4)$
4.: $(m + 2) (m - 2 n)$
5.: $x^{2} - 6 x - 7$
6.: $(d - 3) (- x - 3 y)$

Factorizar por agrupación

Dado un polinomio en el cual no existe un factor común no constante a todos los sumandos que lo componen, en algunos casos es posible obtener la factorización de dicho polinomio, realizando una "agrupación conveniente” de aquellos sumandos que poseen un factor común.

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Ejemplo 112.

Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

a.): $5 by - 5 y + 2 ba - 2 a$
b.): $2 x^{2} - 3 xy - 3 y + 2 x$
c.): $4 a^{2} x + 3 bm - 4 ab - 3 \max$
d.): $2 am - 2 an + 2 a - m + n - 1$

Solución.

a.)

5 by - 5 y + 2 ba - 2 a

\begin{matrix} 5 by - 5 y + 2 ba - 2 a & = & (5 by - 5 y) + (2 ba - 2 a) \\ = & 5 y (b - 1) + 2 a (b - 1) \\ = & (b - 1) (5 y + 2 a) \\ Por lo que: \\ 5 by - 5 y + 2 ba - 2 a & = & (b - 1) (5 y + 2 a) \end{matrix}

b.)

2 x^{2} - 3 xy - 3 y + 2 x

\begin{matrix} 2 x^{2} - 3 xy - 3 y + 2 x & = & 2 x^{2} - 3 xy + (- 3 y) + 2 x \\ = & (2 x^{2} - 3 xy) + (- 3 y + 2 x) \\ = & x (2 x - 3 y) + (- 3 y + 2 x) \\ = & x (2 x - 3 y) + 1 (2 x - 3 y) \\ = & (2 x - 3 y) (x + 1) \\ Por lo que: \\ 2 x^{2} - 3 xy - 3 y + 2 x & = & (2 x - 3 y) (x + 1) \end{matrix}

c.)

4 a^{2} x + 3 bm - 4 ab - 3 \max

\begin{matrix} 4 a^{2} x + 3 bm - 4 ab - 3 \max & = & (4 a^{2} x - 4 ab) + (3 bm - 3 \max) \\ = & 4 a (ax - b) + 3 m (b - ax) \\ = & 4 a (ax - b) + 3 m (- 1) (ax - b) \\ = & 4 a (ax - b) + (- 3 m) (ax - b) \\ = & (ax - b) (4 a - 3 m) \\ Por lo que: \\ 4 a^{2} x + 3 bm - 4 ab - 3 \max & = & (ax - b) (4 a - 3 m) \end{matrix}

d.)

2 am - 2 an + 2 a - m + n - 1

\begin{matrix} 2 am - 2 an + 2 a - m + n - 1 & = & 2 am - 2 an + 2 a - m + n - 1 \\ = & (2 am - 2 an + 2 a) + (- m + n - 1) \\ = & 2 a (m - n + 1) + (- m + n - 1) \\ = & 2 a (m - n + 1) + (- 1) (m - n + 1) \\ = & (m - n + 1) (2 a - 1) \\ Por lo que: \\ 2 am - 2 an + 2 a - m + n - 1 & = & (m - n + 1) (2 a - 1) \end{matrix}

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