Ejercicios

Ejercicio 3.6. Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.: $ab + a + b + 1$
2.: $6 a^{2} - 4 ac - 15 ab + 10 bc$
3.: $a^{3} - a^{2} c - b a^{2} + abc$
4.: $2 c^{2} + 4 cd - 3 c - 6 d$
5.: $ax - bx + by + a - ay - b$
6.: $cax + cby - cbx - cay$

1.: $(a + 1) (b + 1)$
2.: $(2 a - 5 b) (3 a - 2 c)$
3.: $a (a - b) (a - c)$
4.: $(2 c - 3) (c + 2 d)$
5.: $(a - b) (x - y + 1)$
6.: $c (a - b) (x - y)$

Factorización por fórmulas notables

En esta sección enunciamos algunos teoremas en los cuales se establecen ciertas identidades, que denominaremos fórmulas notables, y que serán utilizadas para factorizar algunas expresiones algebraicas.

Teorema 5.

Si $a \in I R, b \in I R$ entonces se cumple que: ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Demostración:

${(a + b)}^{2}$	=	$(a + b) (a + b)$
	=	$a (a + b) + b (a + b)$
	=	$a \cdot a + a \cdot b + b \cdot a + b \cdot b$
	=	$a^{2} + ab + ab + b^{2}$
	=	$a^{2} + 2 ab + b^{2}$

Por lo tanto ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$ y decimos que ${(a + b)}^{2}$ es factorización de la expresión $a^{2} + 2 ab + b^{2}$

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Ejemplo 113.

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.): $x^{2} + 10 x + 25$
b.): $4 x^{2} + 20 x + 25$
c.): $9 a^{2} + 6 a + 1$

Solución.

a.)

x^{2} + 10 x + 25

$x^{2} + 10 x + 25$	$=$	${(x)}^{2} + 2 (x) (5) + 5^{2}$
	$=$	${(x + 5)}^{2}$
Por lo que la factorizacion de $x^{2} + 10 x + 25$ es ${(x + 5)}^{2}$
$∴ x^{2} + 10 x + 25$	$=$	${(x + 5)}^{2}$

b.)

4 x^{2} + 20 x + 25

$4 x^{2} + 20 x + 25$	$=$	${(2 x)}^{2} + 2 (2 x) (5) + 5^{2}$
	$=$	${(2 x + 5)}^{2}$
Por lo que la factorizacion de $4 x^{2} + 20 x + 25$ es ${(2 x + 5)}^{2}$
$∴ 4 x^{2} + 20 x + 25$	$=$	${(2 x + 5)}^{2}$

c.)

9 a^{2} + 6 a + 1

$9 a^{2} + 6 a + 1$	$=$	${(3 a)}^{2} + 2 (3 a) (1) + 1^{2}$
	$=$	${(3 a + 1)}^{2}$
Por lo que la factorizacion de $9 a^{2} + 6 a + 1$ es ${(3 a + 1)}^{2}$
$∴ 9 a^{2} + 6 a + 1$	$=$	${(3 a + 1)}^{2}$

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