Ejercicios

Ejercicio 3.7. Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.: $25 x^{2} + 30 x + 9$
2.: $4 r^{6} + 12 r^{3} s^{2} + 9 s^{4}$
3.: $a^{2} + 8 ab + 16 b^{2}$
4.: $2 x^{2} + 2 \sqrt{2} x + 1$
5.: $\frac{c^{2}}{9} + \frac{2 c}{d} + \frac{9}{d^{2}}$
6.: $\frac{9 h^{2}}{16} + \frac{4 hk}{3} + \frac{64 k^{2}}{81}$

1.: ${(5 x + 3)}^{2}$
2.: ${(3 s^{2} + 2 r^{3})}^{2}$
3.: ${(a + 4 b)}^{2}$
4.: $2 {(x + \frac{1}{\sqrt{2}})}^{2}$
5.: $\frac{{(cd + 9)}^{2}}{9 d^{2}}$
6.: ${(\frac{3 h}{4} + \frac{8 k}{9})}^{2}$

Teorema 6.

Si $a \in I R, b \in I R$ entonces se cumple que: ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Demostración:

${(a - b)}^{2}$	=	$(a - b) (a - b)$
	=	$[a + (- b)] [a + (- b)]$
	=	$a [a + (- b)] + (- b) [a + (- b)]$
	=	$a a \cdot + a (- b) + (- ba) + (- b) (- b)$
	=	$a^{2} - ab - ab + b^{2}$
	=	$a^{2} - 2 ab + b^{2}$

Por lo tanto

{(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}

y decimos que

{(a - b)}^{2}

es la factorización de la expresión

a^{2} - 2 ab + b^{2}

■

Ejemplo 114.

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.): $\frac{x^{2}}{4} - \sqrt{3} x + 3$
b.): $9 x^{2} y^{2} - 12 xy + 4$
c.): $3 a^{2} - 2 \sqrt{6} ab + 2 b^{2}$

Solución.

a.)

\frac{x^{2}}{4} - \sqrt{3} x + 3

$\frac{x^{2}}{4} - \sqrt{3} x + 3$	$=$	${(\frac{x}{2})}^{2} - 2 (\frac{x}{2}) (\sqrt{3}) + {(\sqrt{3})}^{2}$
	$=$	${(\frac{x}{2} - \sqrt{3})}^{2}$

Por lo que la factorización de $\frac{x^{2}}{4} - \sqrt{3} x + 3$ es ${(\frac{x}{2} - \sqrt{3})}^{2}$

$∴ \frac{x^{2}}{4} - \sqrt{3} x + 3 = {(\frac{x}{2} - \sqrt{3})}^{2}$

b.)

9 x^{2} y^{2} - 12 xy + 4

$9 x^{2} y^{2} - 12 xy + 4$	$=$	${(3 xy)}^{2} - 2 (3 xy) (2) + {(2)}^{2}$
	$=$	${(3 xy - 2)}^{2}$

Por lo que la factorización de $9 x^{2} y^{2} - 12 xy + 4$ es ${(3 xy - 2)}^{2}$

$∴ 9 x^{2} y^{2} - 12 xy + 4 = {(3 xy - 2)}^{2}$

c.)

3 a^{2} - 2 \sqrt{6} ab + 2 b^{2}

$3 a^{2} - 2 \sqrt{6} ab + 2 b^{2}$	$=$	${(\sqrt{3} a)}^{2} - 2 (\sqrt{3} a) (\sqrt{2} b) + {(\sqrt{2} b)}^{2}$
	$=$	${(\sqrt{3} a - \sqrt{2} b)}^{2}$

Por lo que la factorización de $3 a^{2} - 2 \sqrt{6} ab + 2 b^{2}$ es ${(\sqrt{3} a - \sqrt{2} b)}^{2}$

$∴ 3 a^{2} - 2 \sqrt{6} ab + 2 b^{2} = {(\sqrt{3} a - \sqrt{2} b)}^{2}$

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