Ejercicios

Ejercicio 3.8. Factorice completamente cada una de las siguientes expresiones:

1.: $20 x^{2} - 2 \sqrt{5} xy + \frac{y^{2}}{4}$
2.: $x^{2} y^{2} z^{2} - z + \frac{1}{4 x^{2} y^{2}}$
3.: $\frac{1}{x^{2}} + 4 y^{2} - \frac{4 y}{x}$
4.: $\frac{x^{2}}{9} - \frac{10 x}{3} + 25$
5.: $\frac{4 n^{2}}{9} - \frac{20 nm}{3} + 25 m^{2}$
6.: $x^{2} - 2 \sqrt{2} xy + 2 y^{2}$

1.: ${(2 \sqrt{5} x - \frac{y}{2})}^{2}$
2.: ${(xyz - \frac{1}{2 xy})}^{2}$
3.: ${(\frac{1}{x} - 2 y)}^{2}$
4.: ${(\frac{x}{3} - 5)}^{2}$
5.: ${(\frac{2 n}{3} - 5 m)}^{2}$
6.: ${(x - \sqrt{2} y)}^{2}$

Teorema 7.

Si $a \in I R, b \in I R$ entonces se cumple que $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$

Demostración:

$(a + b) (a - b)$	=	$a (a - b) + b (a - b)$
	=	$a [a + (- b)] + b [a + (- b)]$
	=	$a \cdot a + a (- b) + b \cdot a + b (- b)$
	=	$a^{2} - ab + ab - b^{2}$
	=	$a^{2} - b^{2}$

Por lo tanto: $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ y decimos que $(a + b) (a - b)$ es la factorización de la expresión $a^{2} - b^{2}$ .

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Ejemplo 115.

Usando el teorema anterior factorice cada una de las siguientes expresiones:

a.): $4 x^{2} - y^{2}$
b.): $3 x^{2} - \frac{c^{2}}{25}$
c.): ${(3 + 2 b)}^{2} - {(c - 4)}^{2}$
d.): $9 x^{2} - 12 x - 4 - y^{2}$

Solución.

a.)

4 x^{2} - y^{2}

$4 x^{2} - y^{2}$	$=$	${(2 x)}^{2} - y^{2}$
	$=$	$(2 x + y) (2 x - y)$

Por lo que la factorización de $(4 x^{2} - y^{2})$ es $(2 x + y) (2 x - y)$
$∴ (4 x^{2} - y^{2}) = (2 x + y) (2 x - y)$

b.)

3 x^{2} - \frac{c^{2}}{25}

$3 x^{2} - \frac{c^{2}}{25}$	$=$	${(\sqrt{3} x)}^{2} - {(\frac{c}{5})}^{2}$
	$=$	$(\sqrt{3} x + \frac{c}{5}) (\sqrt{3} - \frac{c}{5})$

Por lo que la factorización de $3 x^{2} - \frac{c^{2}}{25}$ es $(\sqrt{3} x + \frac{c}{5}) (\sqrt{3} - \frac{c}{5})$

$∴ 3 x^{2} - \frac{c^{2}}{25} = (\sqrt{3} x + \frac{c}{5}) (\sqrt{3} - \frac{c}{5})$

c.)

{(3 + 2 b)}^{2} - {(c - 4)}^{2}

${(3 + 2 b)}^{2} - {(c - 4)}^{2}$	$=$	$[(3 + 2 b) + (c - 4)] [(3 + 2 b) - (c - 4)]$
	$=$	$(3 + 2 b + c - 4) (3 + 2 b - c + 4)$
	$=$	$(2 b + c - 1) (2 b - c + 7)$

Por lo que la factorización de ${(3 + 2 b)}^{2} - {(c - 4)}^{2}$ es $(2 b + c - 1) (2 b - c + 7)$

$∴ {(3 + 2 b)}^{2} - {(c - 4)}^{2} = (2 b + c - 1) (2 b - c + 7)$

d.)

9 x^{2} - 12 x + 4 - y^{2}

$9 x^{2} - 12 x + 4 - y^{2}$	$=$	$(9 x^{2} - 12 x + 4) - y^{2}$
	$=$	$[{(3 x)}^{2} - 2 (3 x) (2) + {(2)}^{2}] - y^{2}$
	$=$	${(3 x - 2)}^{2} - y^{2}$
	$=$	$[(3 x - 2) + y] [(3 x - 2) - y]$

Por lo que la factorización de $9 x^{2} - 12 x + 4 - y^{2}$ es $[(3 x - 2) + y] [(3 x - 2) - y]$

$∴ 9 x^{2} - 12 x + 4 - y^{2} = [(3 x - 2) + y] [(3 x - 2) - y]$

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