Intervalos de monotonía

12. Intervalos de monotonía

Definición 26.

(Función creciente)

Sea $A \subseteq ℝ$ y $f : A \to ℝ,$ función.

Sea $I \subseteq A,$ se dice que $f$ es una función creciente en I, si para cualquier par de números $a$ y $b$ en $I$ , tales que $a < b$ se cumple que $f (a) \leq f (b)$ , como se muestra en la siguiente figura.

Figura 2.42:

Definición 27.

(Función decreciente)

Sea $A \subseteq ℝ$ y $f : A \to ℝ,$ función.

Sea $J \subseteq A,$ se dice que $f$ es una función decreciente en J, si para cualquier par de números $a$ y $b$ en $J$ , tales que $a < b$ se cumple que $f (a) \geq f (b)$ .

Figura 2.43:

Con respecto al trazo de la gráfica de una función las definiciones anteriores se pueden expresar de la manera siguiente.

Una función $f$ es creciente si cuando “ $x$ ” crece ( $x$ varía de izquierda a derecha), el valor correspondiente a “ $y$ ” crece (“asciende”).

Una función $f$ es decreciente si cuando “ $x$ ” crece ( $x$ varía de izquierda a derecha), el valor correspondiente a “ $y$ ” decrece (“desciende”).

Ejercicio
Para cada uno de los siguientes trazos de funciones determine:

1.: Intervalos donde la función es creciente.
2.: Intervalos donde la función es decreciente.
3.: $A = {x \in ℝ tal que f (x) > 0}$
4.: $B = {x \in ℝ tal que f (x) < 0}$
5.: $C = {x \in ℝ tal que f (x) = 0}$
6.: Intersección con los ejes coordenados

Figura 2.44:

Figura 2.45:

Figura 2.46:

Definición 28.

Sea $f : ℝ \to ℝ$ una función tal que $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ donde $a_{n}, a_{n - 1}, . . ., a_{0}$ son constantes reales, $a_{n} \neq 0$ y $n \in ℕ$ , $f$ se llama función polinomial de grado $n$

Ejercicio
La función definida por:

1.: $f (x) = 2 x^{3} + 5 x^{2} - 9 x + 3,$ es una función polinomial de grado _________________
2.: $g (x) = 2 x^{5} - 4 x^{2} + 3,$ es una función polinomial de grado _________________
3.: $h (x) = \frac{3}{2} x + 1,$ es una función polinomial de grado _________________
4.: $m (x) = - 2,$ es una función polinomial de grado _________________
5.: $s (x) = 5,$ es una función polinomial de grado _________________

Definición 29.

Sea $f : ℝ \to ℝ$ una función tal que $f (x) = 0, f$ recibe el nombre de función polinomial cero y no se le asigna grado.

12.1 Ceros de una función polinomial

Definición 30.

Sea $f$ una función polinomial definida por $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ y sea $α \in ℝ$ . $α$ recibe el nombre de cero de $f$ si $f (α) = 0,$ o sea $a_{n} α^{n} + a_{n - 1} α^{n - 1} + . . . + a_{1} α + a_{0} = 0$

Ejercicio

$- 2$ es un cero de la función $f$ definida por $f (x) = 4 - x^{2}$ pues $\underset{̲}{}$

$3$ es un cero de la función $f$ definida por $f (x) = x^{2} - x - 6$ pues $\underset{̲}{}$

Nota: Aceptaremos y usaremos sin demostrar la siguiente proposición:

Proposición 13.

Una función polinomial de grado $n$ tiene a lo sumo $n$ ceros reales.

Ejercicio

La función $f$ definida por $f (x) = x^{2} - x - 6$ tiene a lo sumo $\underset{̲}{}$ ceros reales.

La función $f$ definida por $f (x) = x^{4} - 4 x^{2} - 4$ tiene a lo sumo $\underset{̲}{}$ ceros reales.

Nota: Observemos que si $f$ es una función polinomial definida por $f (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0},$ la expresión $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + a_{1} x + a_{0}$ es un polinomio, de aquí en adelante hablaremos de polinomio al referirnos a la expresión que define una función polinomial.

12.2 Operaciones con polinomios

Como los polinomios definen un tipo particular de funciones, a saber, las funciones polinomiales; dados dos polinomios, podemos efectuar las operaciones definidas para las funciones

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Ejemplo 55.

Sean $P (x)$ y $Q (x)$ tales que: $P (x) = x^{2} - 5 x + 1, Q (x) = x - 3$ . Determine:

1.: $(P + Q) (x)$
2.: $(P - Q) (x)$
3.: $(P \cdot Q) (x)$
4.: $(PoQ) (x)$

Solución.

$1) (P + Q) (x)$	$=$	$P (x) + Q (x)$
	$=$	$(x^{2} - 5 x + 1) + (x - 3)$
	$=$	$x^{2} - 5 x + 1 + x - 3$
	$=$	$x^{2} - 4 x - 2$

o sea $(P + Q) (x) = x^{2} - 4 x - 2$

$2) (P - Q) (x)$	$=$	$P (x) - Q (x)$
	$=$	$(x^{2} - 5 x + 1) - (x - 3)$
	$=$	$x^{2} - 5 x + 1 - x + 3$
	$=$	$x^{2} - 6 x + 4$

o sea $(P + Q) (x) = x^{2} - 6 x + 4$

$3) (P \cdot Q) (x)$	$=$	$P (x) \cdot Q (x)$
	$=$	$(x^{2} - 5 x + 1) \cdot (x - 3)$
	$=$	$x^{3} - 3 x^{2} - 5 x^{2} + 15 x + x - 3$
	$=$	$x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 3$

o sea $(P + Q) (x) = x^{3} - 8 x^{2} + 16 x - 3$

$4) (PoQ) (x)$	$=$	$P (Q (x))$
	$=$	$P (x - 3)$
	$=$	${(x - 3)}^{2} - 5 (x - 3) + 1$
	$=$	$x^{2} - 6 x + 9 - 5 x + 15 + 1$
	$=$	$x^{2} - 11 x + 25$

o sea $(PoQ) (x) = x^{2} - 11 x + 25$

Ejercicio
Para cada uno de los siguientes pares de polinomios $A (x)$ y $B (x),$ Determine: $(A + B) (x); (A - B) (x); (A \cdot B) (x) y (AoB) (x)$

1.: $A (x) = 2 x - 1$ , $B (x) = 2 x^{3} - x + 1$
2.: $A (x) = x + 1$ , $B (x) = 64 x^{3} - 1$
3.: $A (x) = - 5 x + 1$ , $B (x) = x^{2} + 3$
4.: $A (x) = 7$ , $B (x) = 35 x^{3} + 47 x^{2} + 13 x + 1$

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