Operaciones con funciones

13. Operaciones con funciones

Nos abocaremos ahora a obtener “nuevas” funciones a partir de funciones dadas, esto lo haremos haciendo uso de operaciones algebraicas.

Las funciones que obtendremos serán la suma, la diferencia, el producto, el cociente o la composición de funciones dadas.

Definición 31.

Sean f y g funciones cuyos dominios son $D_{f}$ y $D_{g}$ respectivamente; entonces definimos las funciones $f + g, f - g, f \cdot g, \frac{f}{g}$ llamadas suma, diferencia, producto y cociente, respectivamente, de la manera siguiente:

1.: $(f + g) (x) = f (x) + g (x);$ para cada $x \in D_{f} \cap D_{g}$
2.: $(f - g) (x) = f (x) - g (x);$ para cada $x \in D_{f} \cap D_{g}$
3.: $(f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x);$ para cada $x \in D_{f} \cap D_{g}$
4.: $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)};$ con $g (x) \neq 0$ y $x \in D_{f} \cap D_{g}$

Notemos que el dominio de las funciones $f + g, f - g, f \cdot g, \frac{f}{g}$ es el mismo, a saber $D_{f} \cap D_{g}$

Nota: Cuando no se especifique el dominio de una función se entenderá que éste es el máximo dominio real de la función.

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Ejemplo 56.

Si $f$ y $g$ son funciones definidas respectivamente por: $f (x) = \sqrt{x + 1}, g (x) = x + 2,$ entonces

1.: $(f + g) (3) = f (3) + g (3) = 2 + 5 = 7$
2.: $(f - g) (3) = f (3) - g (3) = 2 - 5 = - 3$
3.: $(f \cdot g) (3) = f (3) \cdot g (3) = 2 \cdot 5 = 10$
4.: $(\frac{f}{g}) (3) = \frac{f (3)}{f (3)} = \frac{2}{5}$

Observemos que $(f + g) (- 3), (f - g) (- 3), (f \cdot g) (- 3), (\frac{f}{g}) (- 3)$ no están definidas pues $- 3 \notin D_{f} \cap D_{g}$

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Ejemplo 57.

Sean $f$ y $g$ funciones definidas respectivamente por: $f (x) = 5 x^{2} - 2 x + 5, g (x) = 3 x + 2$

Determinar $(f + g) (x), (f - g) (x), (f \cdot g) (x), (\frac{f}{g}) (x)$ . Además indicar sus dominios respectivos.

Solución.

Como $D_{f} = ℝ; D_{g} = ℝ$ entonces el dominio máximo para las funciones $f + g, f - g, f \cdot g,$ es $D_{f} ⋂ D_{g} = ℝ$

$\begin{matrix} a) (f + g) (x) & = & f (x) + g (x) \\ = & 5 x^{2} - 2 x + 5 + 3 x + 2 \\ = & 5 x^{2} + x + 7, o sea (f + g) (x) = 5 x^{2} + x + 7 \end{matrix}$

$\begin{matrix} b) (f - g) (x) & = & f (x) - g (x) \\ = & 5 x^{2} - 2 x + 5 - (3 x + 2) \\ = & 5 x^{2} - 2 x + 5 - 3 x - 2 \\ = & 5 x^{2} - 5 x + 3, o sea (f - g) (x) = 5 x^{2} - 5 x + 3 \end{matrix}$

$\begin{matrix} c) (f \cdot g) (x) & = & f (x) \cdot g (x) \\ = & (5 x^{2} - 2 x + 5) (3 x + 2) \\ = & 15 x^{3} - 6 x^{2} + 15 x + 10 x^{2} - 4 x + 10 \\ = & 15 x^{3} + 4 x^{2} + 11 x + 10 o sea (f \cdot g) (x) = 15 x^{3} + 4 x^{2} + 11 x + 10 \end{matrix}$

d) Como $g (x) = 0 ⟺ 3 x + 2 = 0 ⟺ x = \frac{- 2}{3},$ entonces el dominio de la función $\frac{f}{g}$ es $ℝ - {\frac{- 2}{3}}$ y además:

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{5 x^{2} - 2 x + 5}{3 x + 2}$

O sea: $(\frac{f}{g}) (x) = \frac{5 x^{2} - 2 x + 5}{3 x + 2}$

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Ejemplo 58.

Considere las funciones $f$ y $g$ definidas por:

$f (x) = x - \sqrt{3};$ para $x \in] - 2, 5 [$

$g (x) = x + \sqrt{3};$ para $x \in [- 5, 2]$

Determine $(f \cdot g) (x)$ y su dominio respectivo.

Solución.

$(f \cdot g) (x) = (x - \sqrt{3}) (x + \sqrt{3}) = x^{2} - 3$ , o sea $(f \cdot g) (x) = x^{2} - 3$

El dominio de esta función es:

] - 2, 5 [\cap [- 5, 2] =] - 2, 2]

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Ejemplo 59.

Considere las funciones $f$ y $g$ definidas por:

$f (x) = 6 x - 9;$ para $x \in [0, 5 [$

$g (x) = 2 x - 3;$ para $x \in] 1, 7]$

Determine $(\frac{f}{g}) (x)$ y su dominio respectivo.

Solución.

$(\frac{f}{g}) (x) = \frac{f (x)}{g (x)} = \frac{6 x - 9}{2 x - 3} = \frac{3 (2 x - 3)}{2 x - 3} = 3$

O sea $(\frac{f}{g}) (x) = 3$ . Además como $g (x) = 0$ si $x = \frac{3}{2},$ entonces $x$ no puede tomar el valor de $\frac{3}{2},$ además como:

$[0, 5 [\cap] 1, 7] =] 1, 5 [$ entonces el dominio de $\frac{f}{g}$ es $] 1, 5 [- {\frac{3}{2}}$

Ejercicio

Sean $f (x) = x + 3$ para $x \in [- 5, 1]$ y $g (x) = 6 + 2 x$ para $x \in] - 6, 0 [$ . Determine: $(f + g) (x), (f - g) (x), (f \cdot g) (x), (\frac{f}{g}) (x),$ e indicar el dominio de la función respectiva.

Sean $h (x) = \sqrt{2 - x}, m (x) = \sqrt{2 x + 6}$ . Determine $(h \cdot m) (x)$ y su dominio respectivo.

Sean $r (x) = x^{2} - 4, s (x) = x + 2$ . Determine $(\frac{r}{s}) (x)$ y su dominio respectivo.

Definición 32.

Sea $f : A \to B$ una función, sea $α \in ℝ,$ $α$ constante, llamaremos producto de $α$ y $f$ y lo designamos $α \cdot f$ a la función definida por: $(αf) (x) = α \cdot f (x)$ para cada $x \in A$

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Ejemplo 60.

Si $f (x) = 2 x - 1$ y $α = 3$ entonces

$(αf) (x) = (3 f) (x) = 3 f (x) = 3 (2 x - 1) = 6 x - 3$ , o sea $(3 f) (x) = 6 x - 3$

Ejercicio

Sea $f (x) = 3 - x$ . Calcule: $(2 f) (x); (- 5 f) (x); (3 f) (1)$

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Ejemplo 61.

Consideremos la función $f$ definida por: $f (x) = 2 x + 3$ y calculamos:

a): $f (1); f (- 1); f (2); f (- 2); f (0)$
b): $f (2 + h), f (a + h); f (a - h); f (\frac{1}{x + 1})$

Solución.

a)

f (1) = 2 \cdot (1) + 3 = 2 + 3 = 5;

o sea

f (1) = 5

$\begin{matrix} f (- 1) & = & 2 \cdot (- 1) + 3 & = & - 2 + 3, & o sea & f (- 1) & = & 1 \\ f (2) & = & 2 \cdot (2) + 3 & = & 7, & o sea & f (2) & = & 7 \\ f (- 2) & = & 2 \cdot (- 2) + 3 & = & - 1, & o sea & f (- 2) & = & - 1 \\ f (0) & = & 2 \cdot (0) + 3 & = & 3, & o sea & f (0) & = & 3 \end{matrix}$

b)

Notemos que para calcular

f (1); f (- 1); f (2); f (- 2) y f (0),

lo que hemos hecho es sustituir

x

en la expresión:

f (x) = 2 x + 3,

por

1, - 1, 2, - 2

0

respectivamente.

De la misma forma, para calcular $f (2 + h); f (a + h); f (a - h), f (\frac{1}{x + 1})$ lo que haremos es sustituir $x$ en la expresión $f (x) = 2 x + 3,$ por $2 + h, a + h, a - h, \frac{1}{x + 1}$ respectivamente de la siguiente manera:

$\begin{matrix} f (2 + h) & = & 2 \cdot (2 + h) + 3 & = & 2 h + 7 & o sea, & f (2 + h) & = & 2 h + 7 \\ f (a + h) & = & 2 \cdot (a + h) + 3 & = & 2 a + 2 h + 3 & o sea, & f (a + h) & = & 2 a + 2 h + 3 \\ f (a - h) & = & 2 \cdot (a - h) + 3 & = & 2 a - 2 h + 3 & o sea, & f (a - h) & = & 2 a - 2 h + 3 \\ f (\frac{1}{x + 1}) & = & 2 \cdot (\frac{1}{x + 1}) + 3 & = & \frac{3 x + 5}{x + 1} & o sea, & f (\frac{1}{x + 1}) & = & \frac{3 x + 5}{x + 1} \end{matrix}$

Ejercicio

Considere la función $f$ definida por: $f (x) = 3 x^{2} - 5$

1.: Calcule: $f (0), f (1), f (- 2), f (2), f (3 + h), f (2 - h), f (a + b), f (a - b), f (\sqrt{a}), f (\frac{x}{x - 1})$

Definición 33.

Sean $f : A \to C$ y $g : B \to D$ funciones, tales que $f (A) \cap B \neq \emptyset,$ entonces se llama función compuesta de $g$ y $f$ y la denotamos “ $g o f$ ” a la función definida por $(g o f) (x) = g [f (x)],$ para cada $x \in A,$ tal que $f (x) \in B .$

Gráficamente podemos representar la función compuesta de $g$ y $f$ de la manera siguiente

Figura 2.47:

Observación:

1.: De la definición anterior se deduce que el dominio de la función $g o f$ es dado por:

$D_{gof} = {x \in D_{f} tal que f (x) \in D_{g}}$
2.: Nosotros no nos preocupamos por determinar el dominio de la función compuesta, sino únicamente nos interesa establecer el criterio que define la función.
3.: En la mayoría de los casos (salvo en ocasiones especiales) $gof$ es diferente de $fog$

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Ejemplo 62.

Considere las funciones $f$ y $g$ definidas por:

$f (x) = 2 x^{2}$ $g (x) = 4 x + 1$ . Determine:

a): El criterio para la función $fog$
b): El criterio para la función $gof$

Solución.

$a .) (gof) (x)$	$=$	$g [f (x)]$
	$=$	$g [2 x^{2}]$
	$=$	$4 [2 x^{2}] + 1$
	$=$	$8 x^{2} + 1$

Es decir: $(gof) (x) = 8 x^{2} + 1$

$b . (fog) (x)$	$=$	$f [g (x)]$
	$=$	$f [4 x + 1]$
	$=$	$2 {[4 x + 1]}^{2}$
	$=$	$2 [16 x^{2} + 8 x + 1]$
	$=$	$32 x^{2} + 16 x + 2$

Es decir: $(fog) (x) = 32 x^{2} + 16 x + 2$

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Ejemplo 63.

Considere las funciones $f$ y $g$ definidas por: $f (x) = \sqrt{x}$ , $g (x) = 5 x - 4$ . Determine:

a): El criterio para la función $fog$
b): El criterio para la función $gof$

Solución.

a) $(fog) (x)$	$=$	$f [g (x)]$
	$=$	$f [5 x - 4]$
	$=$	$\sqrt{5 x - 4}$

Es decir:

(fog) (x) = \sqrt{5 x - 4}

b) $(gof) (x)$	$=$	$g [f (x)]$
	$=$	$g [\sqrt{x}]$
	$=$	$5 \sqrt{x} - 4$

Es decir:

(gof) (x) = 5 \sqrt{x} - 4

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Ejemplo 64.

Considere la función $f$ definida por $f (x) = 3 x + 2$ . Determine el criterio para la función $fof$ .

Solución.

$(fof) (x)$	$=$	$f [f (x)]$
	$=$	$f [3 x + 2]$
	$=$	$3 [3 x + 2] + 2$
	$=$	$9 x + 6 + 2$
	$=$	$9 x + 8$

Es decir: $(fof) (x) = 9 x + 8$

Ejercicio

Para cada uno de los pares de funciones $f$ y $g$ determine el criterio correspondiente a las funciones $fog$ y $gof$ :

1.: $f (x) = 2 x^{2} + 6, g (x) = 7 x + 2$
2.: $f (x) = x^{2} - x - 1, g (x) = x - 1$
3.: $f (x) = \frac{2}{x - 1}, g (x) = \sqrt{2 x - 3}$
4.: $f (x) = \frac{x - 1}{x + 1}, g (x) = \frac{x + 1}{x - 1}$
5.: $f (x) = x^{2} + 2 x, g (x) = 3 x + 4$
6.: $f (x) = x^{2}, g (x) = \frac{1}{x}$
Sean $f (x) = 3 x - 7$ y $g (x) = 2 x + k$ . Determine $k$ de modo que $(fog) (x) = (gof) (x)$

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