Intersección entre funciones

14. Intersección entre funciones

Definición 34.

Sean $f : A \to ℝ; A \subset ℝ$

$h : B \to ℝ; B \subset ℝ$

Sean $G_{f}$ y $G_{h}$ los gráficos respectivos de f y g, entonces la intersección de $G_{f}$ y $G_{h}$ son los puntos $(x_{0}, y_{0})$ , donde:

1.: $x_{0}$ es una solución de la ecuación $f (x) = h (x)$ y $f (x_{0}) = y_{0} = h (x_{0})$
2.: $x_{0} \in A \cap B$

■

Ejemplo 65.

Sean $f$ y $g$ funciones definidas respectivamente por $f (x) = x^{2} + 5 x + 4$ ; $g (x) = 2 x + 4$

a): Determine los puntos de intersección entre las gráficas de $f$ y $g$
b): Represente en un sistema de coordenadas la situación

Solución.

a)

para encontrar los puntos de intersección entre las gráficas de

f

g

debemos resolver la ecuación

f (x) = g (x)

es decir:

$x^{2} + 5 x + 4$	$=$	$2 x + 4$
$x^{2} + 3 x$	$=$	$0$
$x (x + 3)$	$=$	$0$
$x = 0$	o	$x = - 3$

Si $x = 0$ entonces $g (0) = 4$ y $f (0) = 4$

Si $x = - 3$ entonces $g (- 3) = - 2$ y $f (- 3) = - 2$

entonces los puntos de intersección entre las gráficas de f y g son $(0, 4)$ y $(- 3, - 2)$

b)

Para hacer el trazo de f haremos el estudio de la parábola.

Como $f (x) = x^{2} + 5 x + 4$ ; en este caso se tiene que $a = 1$ , $b = 5$ y $c = 4$

i)

Concavidad

La parábola es cóncava hacia arriba. ¿Por qué?

ii)

Intersecciones de la parábola en los ejes coordenados

a.

La intersección con el eje

Y

es el punto

(0, 4)

¿Por qué?

b.

Para obtener la intersección de la parábola con el eje

X

, debemos resolver la ecuación

x^{2} + 5 x + 4 = 0

$△ = b^{2} - 4 ac$ ; en este caso $△ = 25 - 4 (1) (4) = 9,$ es decir $△ = 9$ , entonces existen dos ceros reales diferentes a saber:

$x_{1}$ = $\frac{- 5 + \sqrt{9}}{2}$		$x_{2}$ = $\frac{- 5 - \sqrt{9}}{2}$
$x_{1}$ = $\frac{- 5 + 3}{2}$		$x_{2}$ = $\frac{- 5 - 3}{2}$
$x_{1}$ = $- 1$		$x_{2}$ = $- 4$

Por lo tanto los puntos de intersección de la parábola con el eje $X$ son $(- 1, 0)$ y $(- 4, 0)$

iii)

Vértice

El vértice de la parábola es $\frac{- b}{2 a}$ y $f (\frac{- b}{2 a})$ pero $- \frac{b}{2 a} = - \frac{5}{2}$ y

como $f (\frac{- 5}{2})$ = ${(\frac{- 5}{2})}^{2}$ + $5 (\frac{- 5}{2}) + 4$

$f (\frac{- 5}{2})$ = $\frac{25}{4} - \frac{25}{2} + 4$

$f (\frac{- 5}{2}) = \frac{- 9}{4}$

Entonces el vértice de la parábola es $(\frac{- 5}{2}, \frac{- 9}{4})$

Con la información obtenida en (i), (ii) y (iii) trazamos la parábola.

Con la información obtenida en a) (puntos de intersección entre las gráficas de $f$ y $g)$ , trazamos la gráfica de $g$ .

Figura 2.48:

Ejercicio
Determine (si existen) los puntos de intersección entre las gráficas de los siguientes pares de funciones, en cada caso haga un dibujo de la situación.

1.: $f (x) = x^{2} + 4 x + 1; g (x) = x^{2} + 1$
2.: $f (x) = 4 x^{2} - 8 x - 5; g (x) = 5 x - 6$
3.: $f (x) = - 2 x^{2} - 1; g (x) = - x - 7$
4.: $f (x) = x^{2} - 1; g (x) = - x^{2} + 1$

Problemas que se resuelven usando la ecuación de segundo grado

Muchos problemas, especialmente los que se refieren a conceptos físicos como áreas, volúmenes, aceleración, etc. Requieren que se use, para resolverlos, las ecuaciones de segundo grado.

Definición 35.

Una ecuación de segundo grado o ecuación cuadrática, es una ecuación equivalente a una de la forma $a x^{2} + bx + c = 0$ , con a,b y c constantes reales y $a \neq 0$

Ejemplos de ecuaciones cuadráticas

a): $x^{2} - 5 x = - 6$
b): $x^{2} = 25$
c): $3 x^{2} + 4 x = 0$
d): $4 x^{2} - 4 x + 1 = 0$
e): $2 x^{2} - 3 x + 6 = 0$
f): $x^{2} + x + 1 = 0$

Consideremos la ecuación de segundo grado $a x^{2} + bx + c = 0$ y sea $f$ una función polinomial de segundo grado tal que $f (x) = a x^{2} + bx + c$ , entonces determinar las soluciones de la ecuación $a x^{2} + bx + c = 0$ , es equivalente a encontrar los ceros de $f$ , por lo tanto para resolver las ecuaciones de segundo grado podemos aplicar las fórnulas del discriminante.

■

Ejemplo 66.

Resuelva $x^{2} - 5 x = - 6$

Solución.

$x^{2} - 5 x = - 6 entonces$

$x^{2} - 5 x + 6 = 0$

$△ = 25 - 4 (1) (6) = 25 - 24$

$△ = 1 por lo tanto existen dos soluciones$

$x_{1} = \frac{5 + \sqrt{1}}{2}$		$x_{2} = \frac{5 - \sqrt{1}}{2}$
$x_{1} = \frac{5 + 1}{2}$		$x_{2} = \frac{5 - 1}{2}$
$x_{1} = 3$		$x_{2} = 2$

Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación $x^{2} - 5 x = - 6$ es ${2, 3}$

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Ejemplo 67.

Resuelva $x^{2} + x + 1 = 0$

Solución.

En este caso $△ = 1 - 4 (1) (1) = 1 - 4 = - 3,$ es decir $△ = - 3$

Por lo tanto el conjunto solución de la ecuación $x^{2} + x + 1 = 0$ es vacío.

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Ejemplo 68.

Resuelva $- 4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$

Solución.

En este caso $△ = 16 - 4 (- 4) (- 1) = 16 - 16 = 0$ , o sea $△ = 0,$ por lo tanto existen dos soluciones reales ambas iguales a: $\frac{- 4}{- 8} = \frac{1}{2}$

Así el conjunto solución de $- 4 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ es ${\frac{1}{2}}$

Ejercicio
Resuelva cada una de las siguientes ecuaciones

1.: $6 x^{2} + 5 x - 4 = 0$
2.: $24 x^{2} + 26 x + 5 = 0$
3.: $5 - 9 x - 2 x^{2} = 0$
4.: $x^{2} - 4 x + 4 = 0$
5.: $2 x^{2} - 6 x + 7 = 0$
6.: $x^{2} + 3 x + 9 = 0$

14.1 Resolución de problemas

Cuando el planteo de un problemas da origen a una ecuación de segundo grado, al resolver esta ecuación se obtienen dos valores para la incógnita.

En estos casos se aceptan como solución del problema los valores de la incógnita que satisfacen las condiciones del problema y se rechazan las que no las cumplen.

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Ejemplo 69.

Resuelva el siguiente problema

El largo de un terreno rectangular es el doble que su ancho. Si el largo se aumenta en $40 m$ y el ancho en $6 m$ , el área se aumenta al doble. Hallar las dimensiones del terreno.

Solución.

Sea $x$ al ancho del terreno, entonces $2 x$ es el largo.

El área del terreno es $2 x \cdot x = 2 x^{2}$

Ahora aumentando el largo en $40 m,$ obtenemos $2 x + 40$ y aumentando el ancho en $6 m$ , obtenemos $x + 6$ , y el área será $(2 x + 40) (x + 6) = 2 x^{2} + 52 x + 240$

Pero, según las condiciones del problema, el área es el doble del área anterior, es decir:

$2 x^{2} + 52 x + 240$	$=$	$4 x^{2}, por lo tanto$
$- 2 x^{2} + 52 x + 240$	$=$	$0$
$- 2 (x^{2} - 26 x - 120)$	$=$	$0 entonces$
$x^{2} - 26 x - 120$	$=$	$0$

en este caso

$△$	$=$	${(- 26)}^{2} - 4 (1) (- 120)$
$△$	$=$	$676 + 480$
$△$	$=$	$1156$

Por lo que:

$x_{1} = \frac{26 + \sqrt{1156}}{2}$		$x_{2} = \frac{26 - \sqrt{1156}}{2}$
$x_{1} = \frac{26 + 34}{2}$		$x_{2} = \frac{26 - 34}{2}$
$x_{1} = 30$		$x_{2} = - 4$

$x_{2} = - 4$ no puede ser solución del problema

Por lo tanto el ancho del terreno es $30 m$ , y como el largo es el doble del ancho, entonces el largo es de $60 m$ .

Respuesta: El ancho del terreno es de $30 m$ y el largo es de $60 m$

Ejercicio

Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1.: Dos alfareros llevan en conjunto 200 vasijas de arcilla para la venta. El primero vende $\subset | 0.50$ menos por unidad que el segundo y se recauda $\subset | 240$ . El segundo recauda $\subset | 60$ menos que el primero. ¿Cuántas vasijas vendió cada uno y a qué precio?
2.: Los asistentes a una fiesta tienen que pagar en total $\subset | 390$ . Pero se decide que dos de ellos no paguen la cuota, por lo cual los demás aceptan pagar cada uno $\subset | 4$ más de lo que les correspondía pagar. ¿Cuántas personas asistieron a la fiesta?
3.: Una oficina cuadrada contiene $25$ escritorios y además un pasillo de $3 m$ de ancho a lo largo de uno de sus lados. Si el espacio destinado a cada escritorio es $5, 2 m^{2}$ , calcule la medida del lado de la oficina.

Existe otro tipo de problemas en los cuales se aplica el concepto de vértice para resolverlos, consideremos el ejemplo siguiente

■

Ejemplo 70.

Se quiere cercar un terreno de forma rectangular, para sembrar hortalizas. Si con el material que se dispone se puede cercar una longitud de $32 m$ . ¿Cuáles deben ser las dimensiones del terreno para que su área sea máxima?.

Solución.

Sean $x$ e $y$ las dimensiones del terreno. Entonces debe cumplirse que:

2 x + 2 y = 32

(2.14)

Figura 2.49:

Además el área del terreno, se puede expresar en términos de x e y (A(x,y)) de la manera siguiente:

A (x, y) = x \cdot y

(2.15)

Ahora si despejamos de 2.14 una de las incógnitas, digamos y, obtenemos que:

$2 x + 2 y$	$=$	$32$
$2 (x + y)$	$=$	$32$
$x + y$	$=$	$16$
$y$	$=$	$16 - x$

Sustituyendo $y$ por $16 - x$ en 2.15 tenemos el área únicamente en términos de $x$ , así

$A (x)$	$=$	$x (16 - x)$
$A (x)$	$=$	$16 x - x^{2}$
$A (x)$	$=$	$- x^{2} + 16 x$

Como esta es una función de segundo grado, cóncava hacia abajo, alcanza su máximo en el vértice de la parábola.

El vértice de esta parábola es:

$(\frac{- 16}{- 2}, f (\frac{- 16}{- 2})) =$ $(8, f (8)) = (8, 64)$

El valor correspondiente a $x$ en este caso es $8$ .

Sustituyendo $x$ por $8$ en 2.14 tenemos que

$2 \cdot 8 + 2 y = 32$	$⟹$	$16 + 2 y$	$=$	$32$
		$2 y$	$=$	$16$
		$y$	$=$	$8$

Respuesta: El largo del rectángulo debe medir $8 m$ y su ancho $8 m$ , es decir se trata de un cuadrado.

Nota: Observe que el área máxima del terreno es $64 m^{2}$ .

Ejercicio

Resuelva cada uno de los siguientes problemas:

1.

El momento de flexión de una viga de longitud

L

en metros y soportando una carga de

W

kilogramos por metro

(kg ∕ m)

uniformemente distribuida cuando se fija en su extremo, está dado para un punto localizado a

x

metros del extremo fijado por:

M = \frac{W}{8} (4 x^{2} - 5 Lx + L^{2})

a.1) Encuentre la distancia $x$ para el máximo momento de flexión.

a.2) Si la viga tiene una longitud $L$ de $18 m$ y soporta $150 kg ∕ m$ , encuentre
el valor de $x$ para el cual el momento de flexión es cero.

2.

En un cine con capacidad para

800

personas se sabe que si se cobra a

\subset | 12

la entrada asisten

800

personas y que por cada

\subset | 2

de aumento en el costo la entrada disminuye en

80

el número de espectadores.

b.1) Escriba el criterio para la función $R$ , donde $R (x)$ denota la recau
dación total de las entradas y $x$ denota el número de incrementos de $\subset | 2$ en el costo de cada entrada.

b.2) Calcule $g (0), g (1), g (3), g (4) y g (10)$

b.3) ¿Cuál es el precio de la entrada que dará la máxima ganancia y cuál es la recaudación.

3.

Un granjero tiene un terreno limitado en uno de sus lados por un muro de piedra. Si cuenta con

120 m

de material, para cercar una parcela rectangular utilizando el muro como uno de sus lados ¿Qué dimensiones debe tener la parcela para cercar la mayor área?.

4.

En una fábrica

y

es el costo de producción de

x

miles de artículos. Si este costo satisface la relación

\frac{y}{x} = \frac{x - y}{2}

, determine cuántos miles de artículos deben producirse para que el costo sea mínimo.

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