Función lineal

1. Función lineal

Definición 39.

Sea $f$ una función tal que, $f : ℝ \to ℝ .$

$f$ se llama función lineal si $f (x) = mx + b,$ com $m$ y $b$ constantes reales.

■

Ejemplo 77.

1.: La función $f$ definida por $f (x) = 5 x + 3,$ es una función lineal, con $m = 5$ y $b = 3$ .
2.: La función $f$ definida por $f (x) = - \sqrt{2} x + 5,$ es una función lineal, con $m = - \sqrt{2}$ y $b = 5$ .
3.: La función $f$ definida por $f (x) = - 3 x,$ es una función lineal, con $m = - 3$ y $b = 0$ .
4.: La función $f$ definida por $f (x) = k,$ con $k$ constante real es una función lineal, con $m = 0$ y $b = k$ .

Notación

Como la imagen de $x$ por la función $f$ usualmente se denota por $y$ , es decir $y = f (x)$ , es frecuente escribir $y = mx + b$ en lugar de $f (x) = mx + b .$

1.1 Gráfico de una función lineal

Definición 40.

Sea $f$ una función lineal tal que $f (x) = mx + b$ .

El gráfico de $f$ es el conjunto $G_{f}$ definido por $G_{f} = {(x, y) \in ℝ \times ℝ tal que y = mx + b}$

Definición 41.

Se llama recta al gráfico de una función lineal.

Convenio

Si $l$ es una recta definida por $l = {(x, y) \in ℝ \times ℝ tal que y = mx + b}$ con $m$ y $b$ constantes reales.

Diremos que $l$ es la recta cuya ecuación es $y = mx + b .$

Definición 42.

Sean $m$ y $b$ constantes reales y sea $l$ la recta cuya ecuación es $y = mx + b$ . Diremos que el número $m$ es la pendiente de la recta $l$ .

Ejercicio
La pendiente de la recta cuya ecuación es $y = - 2 x + 5$ es

La pendiente de la recta cuya ecuación es $y = \sqrt{7} x - 7$ es

La pendiente de la recta cuya ecuación es $y = \frac{x}{2} + \sqrt{2}$ es

Proposición 14.

Dados dos puntos en $ℝ \times ℝ$ existe una y sólo una recta que los contiene.

Así, si conocemos dos puntos $A$ y $B$ en $ℝ \times ℝ$ , tal que $A = (x_{1}, y_{1})$ y $B = (x_{2}, y_{2}),$ podemos hallar la ecuación de la recta que los contiene, de la siguiente manera:

1.

La pendiente

m

de la recta está dada por la igualdad:

$m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ , $x_{2} \neq x_{1}$

Justificación

Sea $l$ la recta cuya ecuación es $y = mx + b$ , y que contiene a $(x_{1}, y_{1})$ y $(x_{2}, y_{2}) .$ Como $(x_{2}, y_{2}) \in L$ se cumple que:

y_{2} = m x_{2} + b

(3.1)

Y como $(x_{1}, y_{1}) \in l$ se cumple que:

y_{1} = m x_{1} + b

(3.2)

Multiplicando a ambos miembros de la ecuación 3.2 por $- 1$ y sumando término a término con la ecuación 3.1 tenemos:

		$y_{2}$	=		$m x_{2}$	$+$	b
	$-$	$y_{1}$	=	$-$	$m x_{1}$	$-$	b

$y_{2}$	$-$	$y_{1}$	=		$m x_{2}$	$-$	$m x_{1}$

como: $y_{2} - y_{1} = m x_{2} - m x_{1}$

$y_{2} - y_{1} = m (x_{2} - x_{1})$

$\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} = m$

2.

Conociendo

m

lo sustituimos en la ecuación

y = mx + b

, y sustituimos

x

y

por las coordenadas de

A

o de

B

en dicha ecuación y podemos despejar

b

, obteniendo su valor.

3.

Conociendo

m

b

podemos escribir la ecuación de la recta

y = mx + b

■

Ejemplo 78.

Hallar la ecuación de la recta que contiene a los puntos $(3, - 2)$ y $(5, - 6)$

Solución.

Buscamos una ecuación de la forma

y = mx + b,

(3.3)

¿Por qué?

Para ello debemos calcular el valor de $m$ y el valor de $b$ .

El valor de $m$ está dado por: $m = \frac{- 6 - (- 2)}{5 - 3} = \frac{- 4}{2} = - 2$ , es decir $m = - 2$

Sustituyendo el valor de $m$ en 3.3 tenemos $y = - 2 x + b$

Sustituyendo $x$ e $y$ por las coordenadas de $(3, - 2)$ tenemos

$- 2$	$=$	$- 2 \cdot 3 + b$
$- 2$	$=$	$- 6 + b$
$- 2 + 6$	$=$	$b$
$4$	$=$	$b$

Y por lo tanto la ecuación de la recta que contiene a los puntos $(3, - 2)$ y $(5, - 6)$ es $y = - 2 x + 4$

■

Ejemplo 79.

Calcular la ecuación de la recta que contiene al punto $(5, 2)$ y tiene una pendiente igual a $- 2$

Solución.

Buscamos una ecuación de la forma

y = mx + b

(3.4)

¿Por qué?

En este caso el valor de la pendiente es conocido, y sustituyendo en 3.4 tenemos que:

y = - 2 x + b

(3.5)

Como esta recta contiene al punto $(5, 2),$ entonces las coordenadas de este punto satisfacen la ecuación 3.5 es decir:

$2$	$=$	$- 2 \cdot 5 + b$
$2$	$=$	$- 10 + b$
$12$	$=$	$b$

Por lo tanto la ecuación de la recta cuya pendiente es $- 2$ y contiene al $(5, 2)$ es $y = - 2 x + 12$

Proposición 15.

Sean $A, B, C$ constantes reales con $B \neq 0,$ entonces toda ecuación de la forma $Ax + By + C = 0$ es equivalente a otra de la forma $y = mx + b$ .

En efecto:

Si $Ax + By + C = 0$ entonces $By = - Ax - C$ y como $B \neq 0$ entonces:

$y = \frac{- Ax - C}{B}$ y por lo tanto

$y = \frac{- Ax}{B} + \frac{- C}{B}$

Ahora, tomamos $m = \frac{- A}{B}$ y $b = \frac{- C}{B}$ tenemos $y = mx + b$

Debido a la proposición anterior, es que en algunos casos hablamos de rectas determinadas por una ecuación de la forma $Ax + By + C = 0$ , con $A, B, C$ constantes reales y $B \neq 0$

■

Ejemplo 80.

¿Cuál es la pendiente de la recta cuya ecuación es $3 x - y + 1 = 0$ ?

Solución.

Debemos encontrar una ecuación de la forma $y = mx + b,$ que sea equivalente a $3 x - y + 1 = 0$

$3 x - y + 1 = 0$ $⟹$ $y = 3 x + 1$ . Por lo tanto la pendiente de la recta cuya ecuación es $3 x - y + 1 = 0$ es $3$ .

Definición 43.

Sean $l_{1}$ y $l_{2}$ dos rectas cuyas ecuaciones son respectivamente:
$y = m_{1} x + b_{1}$ e $y = m_{2} x + b_{2},$ entonces decimos que:

a): $l_{1}$ es paralela a $l_{2} (l_{1} ∥ L_{2})$ si y sólo sí $m_{1} = m_{2}$
b): $l_{2}$ es perpendicular a $L_{2} (l_{1} ⊥ l_{2})$ si y sólo sí $m_{1} \cdot m_{2} = - 1$

■

Ejemplo 81.

Las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ cuyas ecuaciones respectivas son $y = - 3 x + 7$ y $y = \frac{1}{3} x + 12$ son perpendiculares pues el producto de sus pendientes es $- 1$

■

Ejemplo 82.

Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto $(2, 3)$ y es paralela a la recta cuya ecuación es $2 x + y - 1 = 0$

Solución.

Buscamos una ecuación de la forma

y = mx + b

(3.6)

donde $m$ es igual a la pendiente de la recta cuya ecuación es $2 x + y - 1 = 0$

¿ Por qué?

Como $2 x + y - 1 = 0$ entonces $y = - 2 x + 1$ de donde tenemos que $m = - 2$

Sustituyendo $m$ por $- 2$ en 3.6, tenemos $y = - 2 x + b;$ como esta recta contiene al punto $(2, 3)$ entonces:

$3 = - 2 \cdot 2 + b ⟹ 3 = - 4 + b ⟹ 7 = b$

Por lo tanto la ecuación de la recta que contiene al punto $(2, 3),$ y que es paralela a la recta cuya ecuación es $2 x + y - 1 = 0$ es $y = - 2 x + 7$

■

Ejemplo 83.

Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto $(2, 3)$ y es perpendicular a la recta cuya ecuación es $2 x + y - 1 = 0$

Solución.

Buscamos una ecuación de la forma

y = mx + b

(3.7)

Como la pendiente de la recta cuya ecuación es $2 x + y - 1 = 0$ es $- 2$ (ver ejemplo anterior) entonces debe darse que $- 2 \cdot m = - 1$ ¿Por qué?

$- 2 \cdot m = - 1 ⟹ m = \frac{1}{2}$

Sustituyendo $m$ por $\frac{1}{2}$ en 3.7 tenemos $y = \frac{1}{2} x + b;$ como esta recta contiene al punto $(2, 3)$ entonces:

$3 = \frac{1}{2} \cdot 2 + b ⟹ 3 = 1 + b ⟹ 2 = b$

Por lo tanto la ecuación que buscamos es $y = \frac{1}{2} x + 2$

Dado que una recta queda determinada si se conocen dos de sus puntos, entonces para trazar su gráfica basta con conocer dos de sus puntos. Para este efecto dos puntos convenientes son la intersección de la recta con los ejes coordenados, los cuales los determinamos de la manera siguiente.

Consideremos la recta $l$ cuya ecuación es $y = mx + b$

a): Su intersección con el eje $X$ es el punto $(x_{0}, 0),$ donde $x_{0}$ es la solución de la ecuación $0 = mx + b$ ¿Por qué?
b): Su intersección con el eje $Y$ es el punto $(0, b)$ ¿Por qué?

■

Ejemplo 84.

Trazar la gráfica de la recta cuya ecuación es $y = - 2 x + 3$

Solución.

a): Como $0 = - 2 x + 3 ⟹ - 3 = - 2 x ⟹ \frac{3}{2} = x,$ entonces el punto de intersección de la recta con el eje $X$ es $(\frac{3}{2}, 0)$
b): El punto de intersección de la recta con el eje $Y$ es $(0, 3)$
c): Ubicamos los puntos $(\frac{3}{2}, 0)$ y $(0, 3)$ en un sistema de coordenadas rectangulares, así podemos trazar la recta que contiene a estos puntos como se muestra en la figura siguiente:

Figura 3.1:

Dadas las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ de ecuaciones respectivas $y = m_{1} x + b_{1}$ y $y = m_{2} x + b_{2}$ ; si $l_{1}$ y $l_{2}$ no son paralelas $(m_{1} \neq m_{2})$ , entonces $l_{1}$ y $l_{2}$ se intersecan en un punto, el cual se obtiene resolviendo el sistema de ecuaciones

${\begin{matrix} y & = & m_{1} x + b_{1} \\ y & = & m_{2} x + b_{2} ¿Por qué? \end{matrix}$

■

Ejemplo 85.

Hallar el punto de intersección entre las rectas $l_{1}$ y $l_{2}$ cuyas ecuaciones respectivas son:

$2 x - y - 1 = 0$ y $x - y + 7 = 0$

Solución.

Debemos resolver el sistema ${\begin{matrix} 2 x - y - 1 & = & 0 \\ x - y + 7 & = & 0 \end{matrix}$

A la primera ecuación le restamos, miembro a miembro, la segunda ecuación

$2 x - y - 1$	$=$	$0$		$2 x - y - 1$	$=$	$0$
			$⟺$
$x - y + 7$	$=$	$0$		$- (x - y + 7)$	$=$	$0$

				$x - 8$	$=$	$0$	$⟹ x = 8$

Sustituyendo $x = 8$ en $x - y + 7 = 0$ obtenemos:

$8 - y + 7 = 0 ⟹ - y + 15 = 0 ⟹ - y = - 15 ⟹ y = 15$

Por lo tanto la intersección entre $l_{1}$ y $l_{2}$ es el punto $(8, 15)$

Sean $P_{0} = (x_{0}, y_{0})$ y $P_{1} = (x_{1}, y_{1})$ dos puntos en $ℝ \times ℝ,$ vamos a calcular la distancia $d$ entre $P_{0}$ y $P_{1},$ es decir la longitud del segmento que estos determinan.

Figura 3.2:

Aplicando el teorema de Pitágoras tenemos que:

$d^{2} = {(x_{1} - x_{0})}^{2} + {(y_{1} - y_{0})}^{2},$ de donde tenemos que $d = \sqrt{{(x_{1} - x_{0})}^{2} + {(y_{1} - y_{0})}^{2}}$

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Ejemplo 86.

Calcule la distancia entre los puntos $(3, 4)$ y $(2, 1)$

Solución.

$d$	$=$	$\sqrt{{(1 - 4)}^{2} + {(2 - 3)}^{2}}$
$d$	$=$	$\sqrt{{(- 3)}^{2} + {(- 1)}^{2}}$
$d$	$=$	$\sqrt{9 + 1}$
$d$	$=$	$\sqrt{10}$

Así, la distancia entre los puntos $(3, 4)$ y $(2, 1)$ es $\sqrt{10}$

Ejercicio

Dada la recta $l$ cuya ecuación es $2 x + 3 y - 5 = 0$ . Encontrar una ecuación de la recta perpendicular a $l$ que contenga al punto $(- 1, 3)$ .

Hallar la ecuación de la recta que contiene al punto $(1, 4)$ y es paralela a la recta cuya ecuación es $2 x - 5 y + 7 = 0$

Hallar la ecuación de la recta que contiene a los puntos $(1, 1)$ y $(- 2, 2) .$

Muestre que la ecuación de la recta que interseca a los ejes coordenados en los puntos $(a, 0)$ y $(0, b)$ puede escribirse en la forma: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$

Hallar la ecuación del conjunto de puntos equidistantes de los puntos $(3, - 1)$ y $(- 3, 3)$

Determinar la ecuación de la recta paralela a la recta cuya ecuación es $x + \frac{y}{2} - \frac{5}{2} = 0$ y que contiene al punto de intersección entre las rectas $3 x - y + 6 = 0$ y $x - 5 = - 2 y$

Demostrar que el triángulo cuyos vértices son los puntos $(- 1, 4)$ , $(0, 1)$ y $(2, 5)$ es isósceles.

Verifique que el triángulo cuyos vértices son $(2, 2)$ , $(5, 7)$ y $(10, 4)$ es rectángulo.

Determine el punto de la recta $y - 2 x - 2 = 0,$ que equidista de $(- 2, 5)$ y $(- 1, 0)$

Determine el área del triángulo determinado por la recta cuya ecuación es $7 x - 14 y + 21 = 0$ y los ejes coordenados.

Si $x$ denota el número de unidades diarias que se producen de un cierto artículo, $C (x)$ denota el costo total. Para la elaboración de este artículo pueden usarse dos procedimientos.

El primero tiene un costo fijo de $100$ colones, más $6$ colones por cada unidad producida.

El segundo tiene un costo fijo de $300$ colones, más $4$ colones por cada unidad producida.

1.: Halle $C (x)$ para ambos procedimientos
2.: Encuentre el número de unidades que es necesario producir para que ambos procesos tengan el mismo costo total.
3.: Que procedimiento es más barato, si se desea producir más de $100$ unidades diarias

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