Funciones polinomiales

3. Funciones polinomiales

Definición 50.

Se llama polinomio a toda expresión algebraica que es monomio o una suma de monomios.

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Ejemplo 94.

Ejemplos de polinomios

a.) $5$

b.) $3 x^{2} y$

c.) $\sqrt{5} x^{3} y^{2} z + 4$

d.) $0$

e.) $2 x y^{2} + y + \frac{x}{3}$

f.) $\frac{xyw}{3} - \frac{xy}{2} - yw$

Definición 51.

Si un polinomio está formado por la suma de dos monomios no semejantes entre sí recibe el nombre de binomio.

Definición 52.

Si un polinomio está formado por la suma de tres monomios no semejantes entre sí (dos a dos) recibe el nombre de trinomio.

■

Ejemplo 95.

a.)

Son binomios:

i .)

x + 8

ii .)

x^{2} - 3 y^{2}

iii .)

\frac{x^{2} y}{7} + \frac{a b^{2} c}{\sqrt{5}}

b.)

Son trinomios:

i .)

a^{2} - ab + b

ii .)

y^{2} + y + 1

iii .)

a^{2} bc - 5 b^{2} a c^{2} + 8

Definición 53.

Si un polinomio no involucra variable recibe el nombre de polinomio constante.

Definición 54.

Si un polinomio involucra $n$ variables recibe el nombre de polinomio en $n$ variables

■

Ejemplo 96.

$i .)$ $x^{2} y + x + y^{2}$ es un polinomio en dos variables.

$ii .)$ $x^{2} - 3 x + 1$ es un polinomio en una variable.

$iii .)$ $\frac{3}{2} \sqrt{2}$ es un polinomio constante.

1.): Dado un polinomio en una variable $x$ ; éste se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:

$A (x), B (x), C (x), . . ., P (x), Q (x), . . ., W (x)$
2.): Dado un polinomio en dos variables $x$ e $y$ ; éste se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:

$A (x, y), B (x, y), C (x, y), . . ., P (x, y), Q (x, y), . . ., W (x, y)$
3.): Dado un polinomio en tres variables $x, y, z$ ; éste se puede denotar por alguna de las siguientes expresiones:

$A (x, y, z), B (x, y, z), C (x, y, z), . . ., P (x, y, z), Q (x, y, z), . . ., W (x, y, z)$

En forma análoga se denotan los polinomios en $n$ variables

■

Ejemplo 97.

a.): El polinomio $x^{2} - 3 x + 1$ se puede denotar por $A (x)$ , y en tal caso escribimos $A (x) = x^{2} - 3 x + 1 .$
b.): El polinomio $3 a^{2} b - 2 a + ab$ se puede denotar por $R (a, b)$ , y en tal caso escribimos $R (a, b) = 3 a^{2} b - 2 a + ab .$
c.): El polinomio $xyz + x^{2} y^{2} z + yz + xz$ se puede denotar por $A (x, y, z)$ , y en tal caso escribimos $A (x, y, z) = xyz + x^{2} y^{2} z + yz + xz .$
d.): El polinomio $xacyb + x^{2} ac + ybc$ se puede denotar por $P (a, b, c, x, y)$ , y en tal caso escribimos $P (a, b, c, x, y) = xacyb + x^{2} ac + ybc .$

División de polinomios en una variable

Podemos observar que al efectuar la suma, la resta y el producto de dos polinomios, se obtiene otro polinomio. Sin embargo al dividir un polinomio por otro polinomio el resultado NO necesariamente es un polinomio.

No obstante en cuanto a la división de polinomios se tiene el siguiente teorema:

Teorema 2 — (Algoritmo de la división).

Dados dos polinomios $A (x)$ y $B (x)$ , con $B (x) \neq 0$ , existen únicos polinomios $Q (x)$ y $R (x)$ tales que:

A (x) = B (x) \cdot Q (x) + R (x)

con el grado de $R (x)$ menor que el grado de $B (x) o R (x) = 0$

$A (x)$ recibe el nombre de dividendo, $B (x)$ el de divisor, $Q (x)$ el de cociente y $R (x)$ el de residuo.

Los polinomios $Q (x)$ y $R (x)$ se obtiene al efectuar la división de $A (x)$ por $B (x)$ mediante el siguiente procedimiento.

Procedimiento para efectuar la división de $A (x)$ por $B (x)$

a.): Ordenar los polinomios $A (x)$ y $B (x)$ , en forma descendente de acuerdo con el exponente de la variable.
b.): Se divide el primer sumando del dividendo (el de mayor exponente) por el primer sumando del divisor (el de mayor exponente); el resultado es un sumando del cociente.
c.): Se multiplica el sumando del cociente obtenido en el paso anterior por el divisor, y el resultado se resta del dividendo, obteniendo un residuo "parcial".
d.): Si el residuo obtenido en el paso anterior es cero o de grado menor que el divisor, ahí terminó el procedimiento, en caso contrario se repiten los pasos $(a)$ , $(b)$ , $(c)$ y $(d)$ , pero tomando como dividendo el residuo obtenido en el paso anterior.

■

Ejemplo 98.

Sea $A (x) = x^{3} - 5 x^{2} + x - 1$ y $B (x) = x - 1$

Efectúe la división de $A (x)$ por $B (x)$ , e indique el cociente y el residuo

Solución.

	$x^{3}$	-	$5 x^{2}$	+	$x$	-	$1$	$x - 1$

-	$(x^{3}$	-	$x^{2})$

								$x^{2} - 4 x - 3$
		-	$4 x^{2}$	+	$x$	-	$1$
	-	(-	$4 x^{2}$	+	$4 x)$


				-	$3 x$	-	$1$
			-	(-	$3 x$	+	$3)$


						-	$4$

Aquí el cociente es $x^{2} - 4 x - 3$ y el residuo es $- 4$ .

■

Ejemplo 99.

Efectuar la división de $A (x)$ por $B (x)$ donde $A (x) = 2 - x^{5}; B (x) = x^{2} + x$

Solución.

-

x^{5}

+

0 x^{4}

+

0 x^{3}

+

0 x^{2}

+

0 x

+

2

x^{2} + x

-

(- x^{5}

-

x^{4})

- x^{3} + x^{2} - x + 1

x^{4}

+

0 x^{3}

+

0 x^{2}

+

0 x

+

2

-

(x^{4}

x^{3})

-

x^{3}

+

0 x^{2}

+

0 x

+

2

-

(- x^{3}

-

x^{2})

x^{2}

+

0 x

+

2

(x^{2}

+

x)

-

x

+

2

Aquí el cociente es $- x^{3} + x^{2} - x + 1$ y el residuo es $- x + 2$

Además:

$- x^{5} + 2 = (x^{2} + x) (- x^{3} + x^{2} - x + 1) + (- x + 2)$

Teorema 3.

Sean $A (x), B (x), Q (x)$ y $R (x)$ polinomios tales que $B (x) \neq 0$

Si $A (x) = B (x) \cdot Q (x) + R (x)$ entonces $\frac{A (x)}{B (x)} = Q (x) + \frac{R (x)}{B (x)}$

Demostración:

$A (x) = B (x) \cdot Q (x) + R (x)$	$⟹$	$\frac{A (x)}{B (x)}$	=	$\frac{B (x) \cdot Q (x) + R (x)}{B (x)}$
	$⟹$	$\frac{A (x)}{B (x)}$	=	$\frac{B (x) \cdot Q (x)}{B (x)} + \frac{R (x)}{B (x)}$
	$⟹$	$\frac{A (x)}{B (x)}$	=	$Q (x) + \frac{R (x)}{B (x)}$

Por lo que: $\frac{A (x)}{B (x)} = Q (x) + \frac{R (x)}{B (x)}$

■

Ejemplo 100.

a.): Como $x^{3} - 5 x^{2} + x - 1 = (x - 1) (x^{2} - 4 x - 3) - 4$

entonces por el teorema anterior se cumple que:

$\frac{x^{3} - 5 x^{2} + x - 1}{x - 1} = x^{2} - 4 x - 3 - \frac{4}{x - 1}$
b.): Como $- x^{5} + 2 = (x^{2} + x) (- x^{3} + x^{2} - x + 1) + (- x + 2)$

entonces por el teorema anterior se cumple que:

$\frac{- x^{5} + 2}{x^{2} + x} = - x^{3} + x^{2} - x + 1 + \frac{- x + 1}{x^{2} + x}$

Ejercicio

Ejercicio 3.1. Para cada par de polinomios

A (x)

B (x)

que se definen a continuación, realice la división de

A (x)

por

B (x)

e indique el cociente y el residuo que se obtiene al efectuar esta división:

1.: $A (x) = 6 x^{5} - 5 x^{4} - 7 x^{2} + 3$ ; $B (x) = 3 x^{3} - 4 x^{2} - x + 1$
2.: $A (x) = 2 x^{7} - 5 x^{5} + 8 x^{3} + 3 x$ ; $B (x) = 2 x^{3} - x$
3.: $A (x) = x^{3} - 5 x^{2} - 8 x - 4$ ; $B (x) = x - 2$
4.: $A (x) = 3 x - 5 x^{2} + 9 + x^{3}$ ; $B (x) = 3 - x$
5.: $A (x) = 2 x^{4} - 3 x^{2} - 6 x^{3} + 1 - 3 x$ ; $B (x) = - 3 x + x^{2} + 1$

1.: El cociente es $2 x^{2} + x + 2$ y el residuo es $x + 1$ .
2.: El cociente es $x^{4} - 2 x^{2} + 3$ y el residuo es $6 x$ .
3.: El cociente es $x^{2} - 3 x - 14$ y el residuo es $- 32$ .
4.: El cociente es $- x^{2} + 2 x + 3$ y el residuo es $0$ .
5.: El cociente es $2 x^{2} - 5$ y el residuo es $- 18 x + 6$ .

Definición 55.

Sean $A (x)$ y $B (x)$ dos polinomios con $B (x) \neq 0$ . Si al dividir $A (x)$ por $B (x)$ se obtiene como residuo cero entonces decimos que $A (x)$ es divisible por $B (x)$ y se cumple que: $A (x) = B (x) \cdot Q (x)$ ; donde $Q (x)$ es el cociente que se obtiene al dividir $A (x)$ por $B (x)$ .

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Ejemplo 101.

Sean $A (x)$ y $B (x)$ polinomios tales que:

$A (x) = x^{3} - 4 x^{2} + 2 x + 1; B (x) = x^{2} - 3 x - 1$

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $A (x)$ por $B (x)$ .
¿Es $A (x)$ divisible por $B (x)$ ?

Solución.

	$x^{3}$	$-$	$4 x^{2}$	$+$	$2 x$	$+$	$1$	$x^{2} - 3 x - 1$

-	$x^{3}$	$+$	$3 x^{2}$	$+$	$x$

								$x - 1$
		$-$	$x^{2}$	$+$	$3 x$	$+$	$1$
			$x^{2}$	$-$	$3 x$	$-$	$1$


							$0$

Por lo que el cociente es

x - 1

y el residuo es

0

.
Como en este caso el residuo es

0, A (x)

es divisible por

B (x)

Ejercicio

Ejercicio 3.2. Para cada par de polinomios

A (x)

B (x)

que se definen a continuación, determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir

A (x)

por

B (x)

¿Es $A (x)$ divisible por $B (x)$ ? Justifique su respuesta.

1.: $A (x) = - 3 x^{3} + 2 x^{2} - 3 x + 1$ ; $B (x) = 1 + x^{2}$
2.: $A (x) = 5 x^{4} + 10 x^{3} + 4 x^{2} + 7 x - 2$ ; $B (x) = x + 2$
3.: $A (x) = 2 x - 4 x^{2} + 3 x^{3} - 1$ ; $B (x) = 1 + 2 x + x^{2}$
4.: $A (x) = 2 x^{4} + 3 x^{3} - x - 5$ ; $B (x) = - 5 + 2 x^{3} + 2 x - x^{2}$

1.: El cociente es $- 3 x + 2$ y el residuo es $- 1$ , como el residuo es $\neq 0$ , entonces $A (x)$ no es divisible por $B (x)$ .
2.: El cociente es $5 x^{3} + 4 x - 1$ y el residuo es $0$ , como el residuo es igual a $0$ , entonces $A (x)$ es divisible por $B (x)$ .
3.: El cociente es $3 x - 10$ y el residuo es $19 x + 9$ , como el residuo es $\neq 0$ , entonces $A (x)$ no es divisible por $B (x)$ .
4.: El cociente es $x + 2$ y el residuo es $5$ , como el residuo es $\neq 0$ , entonces $A (x)$ no es divisible por $B (x)$ .

Observación

Si $A (x)$ es un polinomio de grado $n$ , con $n > 1$ y si $B (x)$ es un polinomio de grado $1,$ entonces al dividir $A (x)$ por $B (x)$ se obtiene:

a.) Como cociente un polinomio $Q (x)$ de grado $n - 1$ y

b.) Como residuo una constante

■

Ejemplo 102.

Si $A (x) = 2 x^{3} + x + 1$ y $B (x) = 2 x + 1$

Al dividir $A (x)$ por $B (x)$ se tiene:

	$2 x^{3}$	$+$	$0 x^{2}$	$+$	$x$	$+$	$1$	$2 x + 1$

$-$	$2 x^{3}$	$-$	$x^{2}$

								$x^{2} - \frac{1}{2} x + \frac{3}{4}$
		$-$	$x^{2}$	$+$	$x$	$+$	$1$
			$x^{2}$	$+$	$\frac{1}{2} x$


					$\frac{3}{2} x$	$+$	$1$

				$-$	$\frac{3}{2} x$	$-$	$\frac{3}{4}$


							$\frac{1}{4}$

En este caso se tiene que

A (x)

es un polinomio de grado 3 y el cociente es un polinomio de grado

2

.
Además el residuo es una constante.

Teorema 4.

Si $P (x)$ es un polinomio de grado $n, n > 1$ y $α \in I R$ entonces $P (α)$ es igual al residuo que se obtiene al dividir $P (x)$ por $x - α$ .

Demostración:

Como $P (x)$ y $x - α$ son polinomios, por el algoritmo de la división, existen polinomios $Q (x)$ y $R (x)$ tales que:

$P (x) = (x - α) \cdot Q (x) + R (x)$

Pero por la observación anterior, $R (x)$ es una constante $C$ o sea

P (x) = (x - α) Q (x) + C

(3.15)

donde C es el residuo que se obtiene al dividir $P (x)$ por $x - α$

Tenemos que demostrar que $P (α) = C$

Suatituyendo la $x$ por $α$ en 3.15 se tiene:

$P (α) = (α - α) Q (α) + C$

$P (α) = 0 \cdot Q (α) + C$

$P (α) = C$ ; que es lo que se quería demostrar.

■

Ejemplo 103.

Si $P (x) = 3 x^{2} + x + 1$ y $B (x) = x - 4$ , al dividir $P (x)$ por $B (x)$ se tiene que:

	$3 x^{2}$	$+$	$x$	$+$	$1$	$x - 4$

-	$3 x^{2}$	$+$	$12 x$

						$3 x + 13$
			$13 x$	$+$	$1$
		$-$	$13 x$	$+$	$52$


					$53$

En este caso tenemos que el residuo que se obtiene al dividir

3 x^{2} + x + 1

por

x - 4

53

.

Luego:

P (4) = 3 {(4)}^{2} + 4 + 1 = 3 (16) + 4 + 1 = 48 + 4 + 1 = 53,

o sea

P (4) = 53

Definición 56.

Sea $P (x)$ un polinomio y sea $α$ un número real, $α$ es un cero de $P (x)$ si y sólo sí $P (α) = 0$

■

Ejemplo 104.

a.): Sea $P (x) = x^{2} - x - 6$ ; se tiene que $3$ y $- 2$ son ceros de $P (x)$ porque:

$P (3) = 3^{2} - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0,$ así $P (3) = 0$

$P (- 2) = {(- 2)}^{2} - (- 2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0,$ así $P (- 2) = 0$
b.): Sea $A (x) = x^{3} + 8$ ; se tiene que -2 es un cero de $A (x)$ porque:

$A (- 2) = {(- 2)}^{3} + 8 = - 8 + 8 = 0,$ así $P (- 2) = 0$

División Sintética

La división sintética es un procedimiento "abreviado” para determinar el cociente y el residuo que se obtiene al dividir un polinomio $P (x)$ de grado $n, n \geq 1$ , por un polinomio de la forma $x - α$ , con $α \in I R$ , a partir de los coeficiente de $P (x)$ y el cero de $x - α$ .

El procedimiento que usaremos para realizar la división sintética de un polinomio $P (x)$ , por un polinomio de la forma $x - α$ , lo ilustraremos a través de ejemplos.

■

Ejemplo 105.

Sean $P (x)$ y $Q (x)$ polinomios tales que:

$P (x) = 4 x^{3} + 3 x^{2} - 5 x + 2; Q (x) = x - 3$

Determine el cociente y el residuo que se obtiene al dividir $P (x)$ por $Q (x)$ :

a.) Usando el método estudiado anteriormente (División larga)

b.) Usando división sintética

Solución.

a.)

	$4 x^{3}$	$+$	$3 x^{2}$	$-$	$5 x$	$+$	$2$	$x - 3$

$-$	$4 x^{3}$	$+$	$12 x^{2}$

								$4 x^{2} + 15 x + 40$
			$15 x^{2}$	$-$	$5 x$	$+$	$2$
		$-$	$15 x^{2}$	$+$	$45 x$


					$40 x$	$+$	$2$
				$-$	$40 x$	$+$	$120$


							$122$

Por lo que al dividir

P (x)

por

Q (x)

se obtiene

4 x^{2} + 15 x + 40

como cociente y 122 como residuo.

b.) Usando división sintética, $P (x)$ se divide por $Q (x)$ de la siguiente manera:

Coeficiente de $P (x) ⟹$	$4$	$3$	$- 5$	$2$	$3$	$⟹$ Cero de $x - 3$


		$12$	$45$	$120$


Coeficientes del cociente $⟹$	$4$	$15$	$40$	$\underset{̲}{122}$		$\leftarrow$ Residuo

Donde los números 4, 15 y 40 son los coeficientes del cociente y 122 el residuo de la división.

Observe que, según la parte (a) de este ejercicio, los números obtenidos en la tercera fila son los coeficientes del cociente y el residuo, como se muestra en el esquema anterior.

Los números representados en la primera fila son los coeficientes de $P (x)$ (dividendo) y el cero de $x - 3$ (divisor).

Los números representados en la segunda fila se obtienen de la siguiente forma:

$12$ es el producto de $4$ y $3$

$45$ es el producto de $15$ y $3$

$120$ es el producto de $40$ y $3$

Los números representados en la tercera fila se obtienen de la siguiente forma:

$4$ es el coeficiente de $x^{3}$ en $P (x)$

$15$ es la suma de $3$ y $12$

$40$ es la suma de $- 5$ y $45$

$122$ es la suma de $2$ y $120$

■

Ejemplo 106.

Sean $P (x)$ y $Q (x)$ polinomios tales que: $P (x) = - 8 x^{3} + x^{4} - 16 + 2 x; Q (x) = x - 8$ .
Usando división sintética, determine el cociente $C (x)$ y el residuo $R (x)$ que se obtiene al dividir $P (x)$ por $Q (x)$ .

Solución.

Ordenando $P (x)$ en forma descendente de acuerdo a su grado, se obtiene:

$P (x) = x^{4} - 8 x^{3} + 0 x^{2} + 2 x - 16$ , y realizando la división se tiene:

$1$	-8	$0$	$2$	-16	$8$

	$8$	$0$	$0$	$16$

$1$	$0$	$0$	$2$	$0$

$↪ Residuo$

Los números 1, 0, 0 y 2 son coeficientes del cociente. Y el número 0 es el residuo.

Por lo que $C (x) = x^{3} + 0 x^{2} + 0 x + 2$ o sea $C (x) = x^{3} + 2$ y $R (x) = 0$

Observe que al realizar la división sintética, tanto los coeficientes del dividendo que son diferentes de cero, como los que son iguales a cero, deben escribirse.

■

Ejemplo 107.

Sean $P (x)$ y $Q (x)$ polinomios tales que: $P (x) = x^{3} + x$ y $Q (x) = x + 4$
Usando división sintética determine el cociente $C (x)$ y $Q (x)$ .

Solución.

Como $P (x) = x^{3} + 0 x^{2} + x + 0$ y el cero de $x + 4$ es $- 4,$ tenemos que:

$1$	0	$1$	$0$	$- 4$

	$- 4$	$16$	$- 68$

$1$	$- 4$	$17$	$- 68$

Por lo tanto el cociente que se obtiene, al dividir $P (x)$ por $Q (x)$ es $x^{2} - 4 x + 17$ y el residuo es -68.

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3. Funciones polinomiales

División de polinomios en una variable

Procedimiento para efectuar la división de A(x) por B(x)

División Sintética

Procedimiento para efectuar la división de $A (x)$ por $B (x)$