Funciones racionales

4. Funciones racionales

Fracciones Racionales en una Variable

Definición 62.

Sean $P (x)$ y $Q (x)$ dos polinomios en una variable. La expresión $\frac{P (x)}{Q (x)}$ recibe el nombre de fracción racional, $P (x)$ recibe el nombre de numerador y $Q (x)$ recibe el nombre de denominador de la fracción.

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Ejemplo 128.

Son fracciones racionales las siguientes expresiones:

$a.) \frac{x^{2} - 3 x + 1}{2 x - 1}$	$b.) \frac{x^{2} - 1}{3 x^{3} - 2 x^{2} + x - 1}$	$c.) \frac{1}{x^{3} + 1}$

$d.) \frac{x + 1}{x + 4}$	$e.) \frac{x^{2} - 9}{x - 3}$	$f.) \frac{x + 3 (x - 1)}{x + 3}$

Simplificación de fracciones racionales

Diremos que una fracción racional está expresada en su forma más simple, cuando el numerador y el denominador de dicha fracción no tienen factores comunes. Para simplificar fracciones racionales haremos uso del siguiente resultado:

Resultado:. Si

P (x)

Q (x)

C (x)

son polinomios entonces se cumple que:

: $\frac{P (x) \cdot C (x)}{Q (x) \cdot C (x)} = \frac{P (x)}{Q (x)}$ ; para todo $x$ , tal que $C (x) \neq 0$

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Ejemplo 129.

Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales:

$a.) \frac{2 x - 6}{2 x^{2} - 18}$	$b.) \frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4}$	$c.) \frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 (x - 1)}$

$d.) \frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1}$	$e.) \frac{x^{2} - 9 (x - 2)}{x - 3 (x - 2)}$	$f.) \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 7 x + 12}$

Solución.

a.)

\frac{2 x - 6}{2 x^{2} - 18} = \frac{2 (x - 3)}{2 (x^{2} - 9)}

: $= \frac{2 (x - 3)}{2 (x - 3) (x + 3)}$

: $= \frac{1}{x + 3}$ , si $x - 3 \neq 0$

Por lo que:

$\frac{2 x - 6}{2 x^{2} - 18} = \frac{1}{x + 3}$ , si $x \neq 3$

b.)

\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4} = \frac{(x - 2) (x^{2} + 2 x + 4)}{(x - 2) (x + 2)}

: $= \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$ , si $x - 2 \neq 0$

Por lo que:

$\frac{x^{3} - 8}{x^{2} - 4} = \frac{x^{2} + 2 x + 4}{x + 2}$ , si $x \neq 2$

c.)

\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 (x - 1)} = \frac{(x - 2) (x + 2)}{x^{2} - 4 x + 4}

: $= \frac{(x - 2) (x + 2)}{(x - 2) (x - 2)}$
: $= \frac{(x + 2)}{(x - 2)}$ , si $x - 2 \neq 0$

Por lo que:

$\frac{x^{2} - 4}{x^{2} - 4 (x - 1)} = \frac{(x + 2)}{(x - 2)}$ , si $x \neq 2$

$d.) \frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1}$	$=$	$\frac{(x^{3} + 2 x^{2}) - (x + 2)}{(x - 1) (x + 1)}$
	$=$	$\frac{x^{2} (x + 2) - (x + 2)}{(x - 1) (x + 1)}$
	$=$	$\frac{(x + 2) (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x + 1)}$
	$=$	$\frac{(x + 2) (x - 1) (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}$
	$=$	$x + 2, si x - 1 \neq 0$ y $x + 1 \neq 0$

Por lo que:

$\frac{x^{3} + 2 x^{2} - x - 2}{x^{2} - 1} = x + 2$ , si $x \neq 1$ y $x \neq - 1$

$e.) \frac{x^{2} - 9 (x - 2)}{x - 3 (x - 2)}$	$=$	$\frac{x^{2} - 9 x + 18}{x - 3 x + 6}$
	$=$	$\frac{(x - 6) (x - 3)}{- 2 x + 6}$
	$=$	$\frac{(x - 6) (x - 3)}{- 2 (x - 3)}$
	$=$	$\frac{x - 6}{- 2}, si x - 3 \neq 0$

Por lo que:

$\frac{x^{2} - 9 (x - 2)}{x - 3 (x - 2)} = \frac{x - 6}{- 2}$ , si $x \neq 3$

$f.) \frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 7 x + 12}$	$=$	$\frac{(x + 3) (x - 2)}{(x + 3) (x + 4)}$
	$=$	$\frac{x - 2}{x + 4}; si x + 3 \neq 0$

Por lo que:

\frac{x^{2} + x - 6}{x^{2} + 7 x + 12} = \frac{x - 2}{x + 4}

, si

x \neq - 3

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