Ejercicios

Ejercicio 4.1. Simplifique, si es posible, cada una de las siguientes fracciones racionales.

1.: $\frac{{(m - 2)}^{2}}{m^{2} - 4}$
2.: $\frac{3 x^{3} + 9 x^{2}}{x^{2} + 6 x + 9}$
3.: $\frac{x^{2} - 4 (x - 1)}{x^{2} - 4}$
4.: $\frac{a^{3} + 1}{a^{4} - a^{3} + a - 1}$
5.: $\frac{a^{3} - 3 a^{2} + 3 a - 1}{a^{2} - 2 a + 1}$
6.: $\frac{(x + 3) (x + 12)}{x + 3 \cdot x + 12}$
7.: $\frac{x^{2} + x - 6}{{(2 x - 7)}^{2}}$
8.: $\frac{x + 1 - x^{3} - x^{2}}{x^{3} - x - 2 x^{2} + 2}$
9.: $\frac{x \cdot x - 25}{x^{2} - 5 x}$

1.: $\frac{m - 2}{m + 2}$
2.: $\frac{3 x^{2}}{x + 3}$
3.: $\frac{x - 2}{x + 2}$
4.: $\frac{a + 1}{a^{4} - a}$
5.
6.: $\frac{x + 12}{4}$
7.
8.
9.: $\frac{x + 5}{x}$

Operaciones con fracciones racionales

Para realizar operaciones con fracciones racionales usaremos los procedimientos utilizados para realizar operaciones con números racionales. Así:

Si $\frac{A (x)}{B (x)}$ y $\frac{C (x)}{B (x)}$ son fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientes igualdades:

1.): $\frac{A (x)}{B (x)} + \frac{C (x)}{D (x)} = \frac{A (x) \cdot D (x) + C (x) \cdot B (x)}{B (x) \cdot D (x)}$
2.): $\frac{A (x)}{B (x)} - \frac{C (x)}{D (x)} = \frac{A (x) \cdot D (x) - C (x) \cdot B (x)}{B (x) \cdot D (x)}$
3.): $\frac{A (x)}{B (x)} \cdot \frac{C (x)}{D (x)} = \frac{A (x) \cdot C (x)}{B (x) \cdot D (x)}$
4.): $\frac{A (x)}{B (x)} \div \frac{C (x)}{D (x)} = \frac{A (x) \cdot D (x)}{B (x) \cdot C (x)}$

$\frac{A (x)}{B (x)} \div \frac{C (x)}{D (x)} = \frac{\frac{A (x)}{B (x)}}{\frac{C (x)}{D (x)}}$ por lo que $\frac{\frac{A (x)}{B (x)}}{\frac{C (x)}{D (x)}} = \frac{A (x) \cdot D (x)}{B (x) \cdot C (x)}$

■

Ejemplo 130.

Sean $\frac{P (x)}{Q (x)} = \frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 1}$ ; $\frac{R (x)}{S (x)} = \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 x + 6}$

Determine:

$a) \frac{P (x)}{Q (x)} \cdot \frac{R (x)}{S (x)} b) \frac{P (x)}{Q (x)} \div \frac{R (x)}{S (x)}$

En cada caso exprese el resultado como una fracción racional en su forma más simple.

Solución.

$a.) \frac{P (x)}{Q (x)} \cdot \frac{R (x)}{S (x)}$	$=$	$\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 1} \cdot \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 x + 6}$
	$=$	$\frac{(x^{2} + 5 x + 6) (x^{2} + 2 x - 3)}{(x^{2} - 1) (3 x + 6)}$
	$=$	$\frac{[(x + 3) (x + 2)] [(x + 3) (x - 1)]}{[(x - 1) (x + 1)] \cdot 3 (x + 2)}$
	$=$	$\frac{(x + 3) (x + 3)}{3 (x + 1)}$

$b.) \frac{P (x)}{Q (x)} \div \frac{R (x)}{S (x)}$	$=$	$\frac{x^{2} + 5 x + 6}{x^{2} - 1} \div \frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 x + 6}$
	$=$	$\frac{(x^{2} + 5 x + 6) (3 x + 6)}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2 x - 3)}$
	$=$	$\frac{[(x + 3) (x + 2)] 3 (x + 2)}{(x^{2} - 1) (x^{2} + 2 x - 3)}$
	$=$	$\frac{[(x + 3) (x + 2)] (3 x + 6)}{(x - 1) (x + 1) (x + 3) (x - 1)}$
	$=$	$\frac{3 (x + 2) (x + 2)}{(x - 1) (x + 1) (x - 1)}$

■

Ejemplo 131.

Realice las operaciones indicadas en cada una de las expresiones siguientes y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:

$a.) \frac{3}{x - 7} + \frac{2}{x + 6} b.) \frac{x}{x + 1} - \frac{2 x}{1 - x^{2}}$

Solución.

$a.) \frac{3}{x - 7} + \frac{2}{x + 6}$	$=$	$\frac{3 (x + 6) + 2 (x - 7)}{(x - 7) (x + 6)}$
	$=$	$\frac{3 x + 18 + 2 x - 14}{(x - 7) (x + 6)}$
	$=$	$\frac{5 x + 4}{(x - 7) (x + 6)}$

Por lo que:

$\frac{3}{x - 7} + \frac{2}{x + 6} = \frac{5 x + 4}{(x - 7) (x + 6)}$

$b.) \frac{x}{x + 1} - \frac{2 x}{1 - x^{2}}$	$=$	$\frac{x (1 - x^{2}) - 2 x (x + 1)}{(x + 1) (1 - x^{2})}$
	$=$	$\frac{x - x^{3} - 2 x^{2} - 2 x}{(x + 1) (1 - x^{2})}$
	$=$	$\frac{- x^{3} - 2 x^{2} - x}{(x + 1) (1 - x^{2})}$
	$=$	$\frac{- x (x^{2} + 2 x + 1)}{(x + 1) (1 - x^{2})}$
	$=$	$\frac{- x {(x + 1)}^{2}}{(x + 1) (1 - x^{2})}$
	$=$	$\frac{- x (x + 1)}{(1 - x^{2})}$
	$=$	$\frac{- x (x + 1)}{(1 - x) (1 + x)}$
	$=$	$\frac{- x}{(1 - x)}$

Por lo que:

\frac{x}{x + 1} - \frac{2 x}{1 - x^{2}} = \frac{- x}{(1 - x)}

A continuación enunciaremos un resultado que puede ser usado para sumar y restar fracciones racionales.

Resultado:

Si $\frac{A (x)}{B (x)}$ y $\frac{C (x)}{B (x)}$ son fracciones racionales entonces son verdaderas las siguientes igualdades:

$i .)$: $\frac{A (x)}{B (x)} + \frac{C (x)}{B (x)} = \frac{A (x) + C (x)}{B (x)}$
$ii .)$: $\frac{A (x)}{B (x)} - \frac{C (x)}{B (x)} = \frac{A (x) - C (x)}{B (x)}$

Justificación del resultado:

$i .)$: $\frac{A (x)}{B (x)} + \frac{C (x)}{B (x)} = \frac{A (x) \cdot B (x) + C (x) \cdot B (x)}{B (x) \cdot B (x)}$
: $= \frac{[A (x) + C (x)] B (x)}{B (x) \cdot B (x)}$
: $= \frac{A (x) + C (x)}{B (x)}$

Por lo que:

$\frac{A (x)}{B (x)} + \frac{C (x)}{B (x)} = \frac{A (x) + C (x)}{B (x)}$
$ii .)$: Justificación análoga a la anterior.

Nota el resultado enunciado anteriormente se generaliza al caso en que se suman o restan tres o más fracciones racionales.

En los ejemplos siguientes ilustraremos el uso de este resultado al sumar o restar fracciones racionales.

■

Ejemplo 132.

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple.

a.): $\frac{8 x}{x + 2} + \frac{- 6 x + 4}{x + 2}$
c.): $\frac{- 3 x + 5}{x^{2} - 25} + \frac{2}{x - 5}$
e.): $\frac{1}{x^{2} - 16} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 4} - \frac{2}{x^{2} + 8 x + 16}$
g.): $\frac{2}{x^{3} - 2} - \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$

b.): $\frac{1 + 3 b}{3 ab} + \frac{- a + 1}{a^{2} b} - \frac{b^{2} + 1}{2 a b^{2}}$
d.): $\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$
f.): $\frac{1}{x^{2} - 2 x} - \frac{1}{x^{2} + 2 x} - \frac{4}{x^{3} - 4 x}$

Solución.

$a.) \frac{8 x}{x + 2} + \frac{- 6 x + 4}{x + 2}$	$=$	$\frac{8 x + (- 6 x) + 4}{x + 2}$
	$=$	$\frac{2 x + 4}{x + 2}$
	$=$	$\frac{2 (x + 2)}{x + 2}$
	$=$	$2$

Por lo que:

$\frac{8 x}{x + 2} + \frac{- 6 x + 4}{x + 2} = 2$

$b.) \frac{1 + 3 b}{3 ab} + \frac{- a + 1}{a^{2} b} - \frac{b^{2} + 1}{2 a b^{2}}$	$=$	$\frac{1 + 3 b}{3 ab} \cdot \frac{2 ab}{2 ab} + \frac{- a + 1}{a^{2} b} \cdot \frac{6 b}{6 b} - \frac{b^{2} + 1}{2 a b^{2}} \cdot \frac{3 a}{3 a}$
	$=$	$\frac{(1 + 3 b) (2 ab)}{6 a^{2} b^{2}} + \frac{(- a + 1) 6 b}{6 a^{2} b^{2}} - \frac{(b^{2} + 1) 3 a}{6 a^{2} b^{2}}$
	$=$	$\frac{(1 + 3 b) 2 ab + (- a + 1) 6 b - (b^{2} + 1) 3 a}{6 a^{2} b^{2}}$
	$=$	$\frac{2 ab + 6 a b^{2} - 6 ab + 6 b - 3 a b^{2} - 3 a}{6 a^{2} b^{2}}$
	$=$	$\frac{- 4 ab + 3 a b^{2} + 6 b - 3 a}{6 a^{2} b^{2}}$

Por lo que:

$\frac{1 + 3 b}{3 ab} + \frac{- a + 1}{a^{2} b} - \frac{b^{2} + 1}{2 a b^{2}} = \frac{- 4 ab + 3 a b^{2} + 6 b - 3 a}{6 a^{2} b^{2}}$

$c.) \frac{- 3 x - 5}{x^{2} - 25} + \frac{2}{x - 5}$	$=$	$\frac{- 3 x - 5}{(x - 5) (x + 5)} + \frac{2}{x - 5}$
	$=$	$\frac{- 3 x - 5}{(x - 5) (x + 5)} + \frac{2}{x - 5} \cdot \frac{x + 5}{x + 5}$
	$=$	$\frac{- 3 x - 5}{(x - 5) (x + 5)} + \frac{2 (x + 5)}{(x - 5) (x + 5)}$
	$=$	$\frac{- 3 x - 5 + 2 (x + 5)}{(x - 5) (x + 5)}$
	$=$	$\frac{- 3 x - 5 + 2 x + 10}{(x - 5) (x + 5)}$
	$=$	$\frac{- x + 5}{(x - 5) (x + 5)}$
	$=$	$\frac{- 1 (x - 5)}{(x - 5) (x + 5)}$
	$=$	$\frac{- 1}{(x + 5)}$

Por lo que:

\frac{- 3 x - 5}{x^{2} - 25} + \frac{2}{x - 5} = \frac{- 1}{(x + 5)}

$d.) \frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}}$	$=$	$\frac{x}{(x - 1) (x + 1)} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x - 1)}$
	$=$	$\frac{x}{(x - 1) (x + 1)} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{(x - 1) (x - 1)} \cdot \frac{x + 1}{x + 1}$
	$=$	$\frac{x (x - 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)} - \frac{{(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$
	$=$	$\frac{x (x - 1) - {(x + 1)}^{2}}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$
	$=$	$\frac{x^{2} - x - (x^{2} + 2 x + 1)}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$
	$=$	$\frac{x^{2} - x - x^{2} - 2 x - 1}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$
	$=$	$\frac{- 3 x - 1}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

Por lo que:

$\frac{x}{x^{2} - 1} - \frac{x + 1}{{(x - 1)}^{2}} = \frac{- 3 x - 1}{{(x - 1)}^{2} (x + 1)}$

e.): $\frac{1}{x^{2} - 16} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 4} - \frac{2}{x^{2} + 8 x + 16}$
: $= \frac{1}{(x - 4) (x + 4)} + \frac{1}{(x - 1) (x - 4)} - \frac{2}{{(x + 4)}^{2}}$
: $= \frac{1}{(x - 4) (x + 4)} \cdot \frac{(x - 1) (x + 4)}{(x - 1) (x + 4)} + \frac{1}{(x - 1) (x - 4)} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{2}} - \frac{2}{{(x + 4)}^{2}} \cdot \frac{(x - 1) (x - 4)}{(x - 1) (x - 4)}$
: $= \frac{(x - 1) (x + 4) + {(x + 4)}^{2} - 2 (x - 1) (x - 4)}{(x - 1) (x - 4) {(x + 4)}^{2}}$
: $= \frac{x^{2} + 4 x - x - 4 + (x^{2} + 8 x + 16) - 2 (x^{2} - 4 x - x + 4)}{(x - 1) (x - 4) {(x + 4)}^{2}}$
: $= \frac{x^{2} + 3 x - 4 + x^{2} + 8 x + 16 - 2 x^{2} + 8 x + 2 x - 8}{(x - 1) (x - 4) {(x + 4)}^{2}}$
: $= \frac{21 x + 4}{(x - 1) (x - 4) {(x + 4)}^{2}}$

Por lo que:

$\frac{1}{x^{2} - 16} + \frac{1}{x^{2} - 5 x + 4} - \frac{2}{x^{2} + 8 x + 16} = \frac{21 x + 4}{(x - 1) (x - 4) {(x + 4)}^{2}}$

$f.) \frac{1}{x^{2} - 2 x} - \frac{1}{x^{2} + 2 x} - \frac{4}{x^{3} - 4 x}$	$=$	$\frac{1}{x (x - 2)} - \frac{1}{x (x + 2)} - \frac{4}{x (x^{2} - 4)}$
	$=$	$\frac{1}{x (x - 2)} - \frac{1}{x (x + 2)} - \frac{4}{x (x - 2) (x + 2)}$
	$=$	$\frac{1}{x (x - 2)} \cdot \frac{x + 2}{x + 2} - \frac{1}{x (x + 2)} \cdot \frac{x - 2}{x - 2} - \frac{4}{x (x - 2) (x + 2)}$
	$=$	$\frac{x + 2}{x (x - 2) (x + 2)} - \frac{x - 2}{x (x - 2) (x + 2)} - \frac{4}{x (x - 2) (x + 2)}$
	$=$	$\frac{x + 2 - x + 2 - 4}{x (x - 2) (x + 2)}$
	$=$	$\frac{0}{x (x - 2) (x + 2)}$
	$=$	$0$

Por lo que:

$\frac{1}{x^{2} - 2 x} - \frac{1}{x^{2} + 2 x} - \frac{4}{x^{3} - 4 x} = 0$

$g.) \frac{2}{x^{3} - 1} - \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$ $\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1}$	=
$x^{2} + x + 1$ no es factorizable en el conjunto de los números reales.
$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} + x + 1}{x^{2} + x + 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1}$	=
$\frac{2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{(x^{2} - x + 1) (x^{2} + x + 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)} - \frac{(x + 1) (x - 1)}{(x^{2} + x + 1) (x - 1)}$	=
$\frac{2 - (x^{2} - x + 1) (x^{2} + x + 1) - (x + 1) (x - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$	=
$\frac{2 - (x^{4} + x^{3} + x^{2} - x^{3} - x^{2} - x + x^{2} + x + 1) - (x^{2} - 1)}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$	=
$\frac{2 - x^{4} - x^{3} - x^{2} + x^{3} + x^{2} + x - x^{2} - x - 1 - x^{2} + 1}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$	=
$\frac{x^{4} - 2 x^{2} + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

Por lo que:

$\frac{2}{x^{3} - 2} - \frac{x^{2} - x + 1}{x - 1} - \frac{x + 1}{x^{2} + x + 1} = \frac{x^{4} - 2 x^{2} + 2}{(x - 1) (x^{2} + x + 1)}$

■

Ejemplo 133.

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:

$a.) \frac{x - 1 - \frac{12}{x - 2}}{x + 6 + \frac{16}{x - 2}}$ $b.) \frac{\frac{3}{3 + x} - \frac{3}{6 + 2 x}}{\frac{3}{3 - x} + \frac{3}{3 + x}}$

Solución.

$a.) \frac{x - 1 - \frac{12}{x - 2}}{x + 6 + \frac{16}{x - 2}}$	$=$	$\frac{\frac{(x - 1) (x - 2) - 12}{x - 2}}{\frac{(x + 6) (x - 2) + 16}{x - 2}}$
	$=$	$\frac{\frac{x^{2} - 2 x - x + 2 - 12}{x - 2}}{\frac{x^{2} - 2 x + 6 x - 12 + 16}{x - 2}}$
	$=$	$\frac{\frac{x^{2} - 3 x - 10}{x - 2}}{\frac{x^{2} + 4 x + 4}{x - 2}}$
	$=$	$\frac{(x^{2} - 3 x - 10) (x - 2)}{(x^{2} + 4 x + 4) (x - 2)}$
	$=$	$\frac{(x - 5) (x + 2) (x - 2)}{{(x + 2)}^{2} (x - 2)}$
	$=$	$\frac{x - 5}{x + 2}$

Por lo que:

$\frac{x - 1 - \frac{12}{x - 2}}{x + 6 + \frac{16}{x - 2}} = \frac{x - 5}{x + 2}$

$b.) \frac{\frac{3}{3 + x} - \frac{3}{6 + 2 x}}{\frac{3}{3 - x} + \frac{3}{3 + x}}$	$=$	$\frac{\frac{6}{2 (3 + x)} - \frac{3}{6 + 2 x}}{\frac{3}{3 - x} + \frac{3}{3 + x}}$
	$=$	$\frac{\frac{6 - 3}{2 (3 + x)}}{\frac{3 (3 + x) + 3 (3 - x)}{(3 - x) (3 + x)}}$
	$=$	$\frac{\frac{3}{2 (3 + x)}}{\frac{9 + 3 x + 9 - 3 x}{(3 - x) (3 + x)}}$
	$=$	$\frac{\frac{3}{2 (3 + x)}}{\frac{18}{(3 - x) (3 + x)}}$
	$=$	$\frac{3 (3 - x) (3 + x)}{2 (3 + x) 18}$
	$=$	$\frac{3 - x}{12}$

Por lo que:

$\frac{\frac{3}{3 + x} - \frac{3}{6 + 2 x}}{\frac{3}{3 - x} + \frac{3}{3 + x}} = \frac{3 - x}{12}$

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