Ejercicios

Ejercicio 4.2. Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba la fracción racional resultante en su forma más simple:

1.: $\frac{(x^{3} + 1) (x^{2} - 1)}{{(x - 1)}^{2} {(x + 1)}^{3}}$
2.: $\frac{x^{3} - 121 x}{x^{2} - 49} \div \frac{x^{2} - 11 x}{x + 7}$
3.: $\frac{y^{2} - y - 6}{2 y^{2} + 12 y + 16} \cdot \frac{- y^{2} - 2 y + 8}{2 - y}$
4.: $\frac{1}{m^{3} - 8} - \frac{1}{{(m - 2)}^{3}}$
5.: $\frac{1}{{(n - 1)}^{2}} + \frac{1}{n - 1} - \frac{1}{{(n - 1)}^{3}} - \frac{1}{n}$
6.: $\frac{1}{y - 1} + \frac{2 y}{y^{2} - 1} - \frac{3 y^{2}}{y^{3} - 1}$
7.: $\frac{x + 1}{x^{2} - \frac{4}{x} - 6} - \frac{x - 4}{x^{2} - 4 x + 3} + \frac{x + 4}{x^{2} + x - 2}$
8.: $[x + 3 - \frac{5}{x - 1}] [x - 2 + \frac{5}{x + 4}]$
9.: $[\frac{a + 1}{a - 1} + \frac{a - 1}{a + 1}] \div [\frac{a + 1}{a - 1} - \frac{a - 1}{a + 1}]$
10.: $\frac{\frac{10 x + 4}{x}}{\frac{4}{x^{2}} - 25}$
11.: $\frac{1 - x + \frac{x^{2}}{1 + x}}{1 - \frac{1}{1 + x}}$
12.: $\frac{2 x^{2} + 2 x}{2 x^{2}} \cdot \frac{x^{2} - 3 x}{x^{2} - 2 x - 3}$
13.: $\frac{a^{3} - 27}{a^{2} - 4} \div \frac{a^{2} + 3 a + 9}{a - 2}$
14.: $[\frac{a^{2} - 16 a + 64}{a^{2} - 64} \cdot \frac{a^{3} - 9 a^{2} + 8 a}{2 a^{2} - 128}] \div \frac{a^{2} + a}{2}$
15.: $\frac{n^{2} - 6 n}{3 n^{2} - 27} + \frac{3}{2 n - 6} - \frac{n}{4 n + 12}$
16.: $\frac{x}{x^{2} + x - 2} - \frac{3}{x^{2} + 2 x - 3} - \frac{x}{x^{2} + 5 x + 6}$
17.: $\frac{2}{r + r^{2}} - \frac{1}{r - r^{2}} - \frac{1 - 3 r}{r - r^{3}}$
18.: $\frac{y^{3}}{27 - y^{3}} - \frac{y}{3 - y}$
19.: $[3 - \frac{6}{x + 2}] [1 + \frac{1}{x}] \div [\frac{x + 1}{2 x + 4}]$
20.: $[\frac{x + 3}{x - 1} - x] [2 x + \frac{x^{2}}{x + 1}] \div [\frac{2 x}{x - 1} - x]$
21.: $\frac{\frac{3}{x + 1} - \frac{x - 2}{x^{2} - 1}}{\frac{2 x - 1}{x^{2} + 2 x - 3}}$
22.: $\frac{1 - \frac{7}{x} + \frac{12}{x^{2}}}{x - \frac{16}{x}}$

1.: $\frac{x^{2} - x + 1}{x^{2} - 1}$
2.: $\frac{x + 11}{x - 7}$
3.
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5.
6.
7.
8.
9.
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19.
20.
21.

A continuación nuestro objetivo es efectuar operaciones con expresiones algebraicas que involucran potencias enteras negativas y con expresiones algebraicas de varias variables.

Para esto, haremos uso de las propiedades de las potencias, y de los procedimientos que se usan para realizar operaciones con fracciones racionales, como se ilustra en los ejemplos que siguen.

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Ejemplo 134.

Realice las operaciones indicadas en cada una de las siguientes expresiones y escriba el resultado en su forma más simple:

a.): $\frac{a^{- 1} + b^{- 1}}{a^{- 2} - b^{- 2}}$
c.): $\frac{x}{y + 3} - \frac{x^{2} - 1}{xy + 3 x} - \frac{1 - 6 x}{y^{2} - 9}$
e.): $\frac{\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^{2}}} \div \frac{x + y}{x \cdot y}$

b.): $\frac{{(x^{- 2} - 4 y^{- 2})}^{- 1}}{x - \frac{xy}{y + 2 x}}$
d.): $(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \div (\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y})$
f.): $\frac{2 x^{- 6}}{{(x + 1)}^{2} x^{- 4} - (2 x + 1) x^{- 4}}$

Solución.

$a.) \frac{a^{- 1} + b^{- 1}}{a^{- 2} - b^{- 2}}$	$=$	$\frac{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}}{\frac{1}{a^{2}} - \frac{1}{b^{2}}}$
	$=$	$\frac{\frac{b + a}{ab}}{\frac{b^{2} - a^{2}}{a^{2} b^{2}}}$
	$=$	$\frac{(b + a) a^{2} b^{2}}{(b^{2} - a^{2}) ab}$
	$=$	$\frac{(b + a) a^{2} b^{2}}{(b + a) (b - a) ab}$
	$=$	$\frac{ab}{(b - a)}$

Por lo que:

$\frac{a^{- 1} + b^{- 1}}{a^{- 2} - b^{- 2}} = \frac{ab}{(b - a)}$

$b.) \frac{{(x^{- 2} - 4 y^{- 2})}^{- 1}}{x - \frac{xy}{y + 2 x}}$	$=$	$\frac{{(\frac{1}{x^{2}} - \frac{4}{y^{2}})}^{- 1}}{\frac{x}{1} - \frac{xy}{y + 2 x}}$
	$=$	$\frac{{(\frac{y^{2} - 4 x^{2}}{x^{2} y^{2}})}^{- 1}}{\frac{x (y + 2 x) - xy}{y + 2 x}}$
	$=$	$\frac{\frac{x^{2} y^{2}}{y^{2} - 4 x^{2}}}{\frac{xy + 2 x^{2} - xy}{y + 2 x}}$
	$=$	$\frac{x^{2} y^{2} (y + 2 x)}{(y^{2} - 4 x^{2}) (xy + 2 x^{2} - xy)}$
	$=$	$\frac{x^{2} y^{2} (y + 2 x)}{(y - 2 x) (y + 2 x) (2 x^{2})}$
	$=$	$\frac{y^{2}}{2 (y - 2 x)}$

Por lo que:

$\frac{{(x^{- 2} - 4 y^{- 2})}^{- 1}}{x - \frac{xy}{y + 2 x}} = \frac{y^{2}}{2 (y - 2 x)}$

$c.) \frac{x}{y + 3} - \frac{x^{2} - 1}{xy + 3 x} - \frac{1 - 6 x}{y^{2} - 9}$	$=$	$\frac{x}{y + 3} - \frac{x^{2} - 1}{x (y + 3)} - \frac{1 - 6 x}{(y + 3) (y - 3)}$
	$=$	$\frac{x [x (y - 3)] - (x^{2} - 1) (y - 3) - (1 - 6 x) x}{x (y + 3) (y - 3)}$
	$=$	$\frac{x (xy - 3 x) - (x^{2} y - 3 x^{2} - y + 3) - (x - 6 x^{2})}{x (y + 3) (y - 3)}$
	$=$	$\frac{x^{2} y - 3 x^{2} - x^{2} y + 3 x^{2} + y - 3 - x + 6 x^{2}}{x (y + 3) (y - 3)}$
	$=$	$\frac{6 x^{2} - x + y - 3}{x (y + 3) (y - 3)}$

Por lo que:

$\frac{x}{y + 3} - \frac{x^{2} - 1}{xy + 3 x} - \frac{1 - 6 x}{y^{2} - 9} = \frac{6 x^{2} - x + y - 3}{x (y + 3) (y - 3)}$

$d.) (\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \div (\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y})$	$=$	$[\frac{1 (x + y) - 1 (x - y)}{(x - y) (x + y)}] \div [\frac{1 (x + y) + 1 (x - y)}{(x - y) (x + y)}]$
	$=$	$\frac{x + y - x + y}{(x - y) (x + y)} \div \frac{x + y + x - y}{(x - y) (x + y)}$
	$=$	$\frac{2 y}{(x - y) (x + y)} \div \frac{2 x}{(x - y) (x + y)}$
	$=$	$\frac{2 y (x - y) (x + y)}{2 x (x - y) (x + y)}$
	$=$	$\frac{y}{x}$

Por lo que:

$(\frac{1}{x - y} - \frac{1}{x + y}) \div (\frac{1}{x - y} + \frac{1}{x + y}) = \frac{y}{x}$

$e.) \frac{\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^{2}}} \div \frac{x + y}{xy}$	$=$	$\frac{\frac{x \cdot x^{2} + y \cdot y^{2}}{x^{2} y^{2}}}{\frac{1 \cdot y^{2} - 1 (xy) + 1 \cdot x^{2}}{x^{2} y^{2}}} \div \frac{x + y}{xy}$
	$=$	$\frac{\frac{x^{3} + y^{3}}{x^{2} y^{2}}}{\frac{y^{2} - xy + x^{2}}{x^{2} y^{2}}} \div \frac{x + y}{xy}$
	$=$	$\frac{(x^{3} + y^{3}) x^{2} y^{2}}{(y^{2} - xy + x^{2}) x^{2} y^{2}} \div \frac{x + y}{xy}$
	$=$	$\frac{(x + y) (x^{2} - xy + y^{2}) x^{2} y^{2}}{(y^{2} - xy + x^{2}) x^{2} y^{2}} \div \frac{x + y}{xy}$
	$=$	$(x + y) \div \frac{x + y}{xy}$
	$=$	$\frac{(x + y) xy}{x + y}$
	$=$	$xy$

Por lo que:

$\frac{\frac{x}{y^{2}} + \frac{y}{x^{2}}}{\frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{xy} + \frac{1}{y^{2}}} \div \frac{x + y}{xy} = xy$

$f.) \frac{2 x^{- 6}}{{(x + 1)}^{2} x^{- 4} - (2 x + 1) x^{- 4}}$	$=$	$\frac{\frac{2}{x^{6}}}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{x^{4}} - \frac{2 x + 1}{x^{4}}}$
	$=$	$\frac{\frac{2}{x^{6}}}{\frac{{(x + 1)}^{2} - (2 x + 1)}{x^{4}}}$
	$=$	$\frac{2 x^{4}}{x^{6} [{(x + 1)}^{2} - (2 x + 1)]}$
	$=$	$\frac{2 x^{4}}{x^{6} (x^{2} + 2 x + 1 - 2 x - 1)}$
	$=$	$\frac{2 x^{4}}{x^{6} x^{2}}$
	$=$	$\frac{2 x^{4}}{x^{8}}$
	$=$	$\frac{2}{x^{4}}$

Por lo que:

\frac{2 x^{- 6}}{{(x + 1)}^{2} x^{- 4} - (2 x + 1) x^{- 4}} = \frac{2}{x^{4}}

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