Funciones logarítmicas

2. Funciones logarítmicas

Como la función exponencial es biyectiva, entonces existe su función inversa, a esta función la llamamos función logarítmica.

Definición 65.

Sea $a \in ℝ, a > 0$ y $a \neq 1$ , sea $f$ la función definida por $f (x) = {Exp}_{a} (x)$ , la función $f^{- 1}$ , inversa de $f$ , se llama función logarítmica de base $a$ y la denotamos “ ${log}_{a}$ ”.

Así tenemos que:

\binom{{Exp}_{e} : ℝ \to] 0, + \infty [, donde y = a^{x}}{x \to y}

entonces:

\binom{{log}_{a} :] 0, + \infty [\to ℝ, donde x = {log}_{a} y}{y \to x}

Por lo anterior podemos decir que:

Si $a \in ℝ, a > 0, a \neq 1, x \in ℝ, y \in] 0, + \infty [$

${log}_{a} y = x ⟺ a^{x} = y$

La expresión ${log}_{a} y$ se lee “logaritmo de $y$ en base $a$ ”

Observaciones

1.: La función logarítmica está definida únicamente para números reales mayores que cero.
2.: La base de la función logarítmica es un número real positivo diferente de uno.

■

Ejemplo 137.

a.: $8 = 2^{3} ⟹ 3 = {log}_{2} 8$
b.: $49 = 7^{2} ⟹ 2 = {log}_{7} 49$
c.: $log_{2} (\frac{1}{2}) = - 1 ⟹ 2^{- 1} = \frac{1}{2}$
d.: ${log}_{16} 2 = \frac{1}{4} ⟹ {(16)}^{\frac{1}{4}} = 2$

■

Ejemplo 138.

Para cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la letra para que la igualdad sea verdadera.

1.: ${log}_{2} N = 4$
2.: ${log}_{c} 32 = 5$
3.: ${log}_{3} (1 ∕ 9) = b$

Solución.

1.

{log}_{2} N = 4

entonces

2^{4} = N

, o sea

16 = N

2.

{log}_{c} 32 = 5

entonces:

\begin{matrix} c^{5} & = & 32 \\ {(c^{5})}^{\frac{1}{5}} & = & {(32)}^{\frac{1}{5}} \\ c & = & {(2^{5})}^{\frac{1}{5}} \\ c & = & 2 \end{matrix}

3.

{log}_{3} (1 ∕ 9) = b

entonces:

\begin{matrix} 3^{b} & = & \frac{1}{9} \\ 3^{b} & = & 3^{- 2} \\ b & = & - 2 \end{matrix}

Ejercicio

En cada una de las siguientes expresiones, calcule el valor de la tetra para que la igualdad sea verdadera.

1.: ${log}_{x} 1 = 0$
2.: ${log}_{x} (x^{2} + x) = 2$
3.: ${log}_{2} (- x + 1) = 3$
4.: ${log}_{4} 2 = x + 1$
5.: ${log}_{x + 1} 4 = 2$
6.: ${log}_{x} (2 x^{2} - x) = 2$
7.: ${log}_{2} \frac{1}{4} = x$
8.: ${log}_{8} N = \frac{- 1}{2}$
9.: ${log}_{- 8} x = \frac{1}{3}$
10.: ${log}_{6 x - 17} (x^{2} - 9) = 1$
11.: ${log}_{2} (x^{2} + 2^{x}) = x$

2.1 Representación del gráfico de la función logarítmica

■

Ejemplo 139.

Considere las funciones logarítmicas $f$ y $g,$ definidas respectivamente por $f (x) = {log}_{2} x, g (x) = {log}_{\frac{1}{2}} x$

Realice el trazo de estas funciones.

Solución.

Para realizar el trazo de $f$ y $g$ debemos construir para cada una de ellas, una tabla de valores conveniente de la manera siguiente:



$x$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{2}$	$1$	$2$	$4$


${log}_{2} (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$



$x$	$4$	$2$	$1$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{4}$


${log}_{\frac{1}{2}} (x)$	$- 2$	$- 1$	$0$	$1$	$2$

Figura 4.3:

Figura 4.4:

2.2 Algunas propiedades de la función logarítmica

Si $f (x) = {log}_{a} x; a > 1$

1.: ${log}_{a} 1 = 0$ , pues $a^{0} = 1$
2.: ${log}_{a} a = 1$ , pues $a^{1} = a$
3.: $f$ es biyectiva.
4.: $f$ es creciente en todo su dominio.
5.: Si $x$ tiende a $+ \infty$ entonces ${log}_{a} x$ tiende a $+ \infty$
6.: Si $x$ tiende a $0$ tomando valores positivos entonces ${log}_{a} x$ tiende a $- \infty$

Si $g (x) = {log}_{a} x; 0 < a < 1$

1.: ${log}_{a} 1 = 0$ , pues $a^{0} = 1$
2.: ${log}_{a} a = 1$ , pues $a^{1} = a$
3.: $g$ es biyectiva.
4.: $g$ es decreciente en todo su dominio.
5.: Si $x$ tiende a $+ \infty$ entonces ${log}_{a} x$ tiende a $- \infty$
6.: Si $x$ tiende a $0$ tomando valores positivos entonces ${log}_{a} x$ tiende a $+ \infty$

2.3 La función logarítmica de base $e$ ( $e \approx 2, 718281$ )

Definición 66.

La función $f$ definida por:

\binom{f :] 0, + \infty [\to ℝ,}{x \to {log}_{e} x}

se llama función logarítmica de base $e$ , y escribimos $ln (x)$ o sea $ln (x) = {log}_{e} x$ .

___________

Los logaritmos de base $e$ se llaman logaritmos neperianos o logaritmos naturales.

La función logarítmica de base $e$ posee las mismas propiedades de la función logarítmica de base $a,$ con $a > 1$ .

La expresión $ln x$ se lee “logaritmo natural de $x$ ”.

2.4 La función logarítmica de base $10$

Definición 67.

La función $f$ definida por:

\binom{f :] 0, + \infty [\to ℝ,}{x \to {log}_{10} x}

se llama función logarítmica de base $10$ y escribimos $log (x)$ o sea $log (x) = {log}_{10} x$ .

Los logaritmos de base $10$ se laman logaritmos decimales.

Ejercicio
Considere las funciones definidas por:

1.: $f (x) = ln (x)$
2.: $h (x) = {log}_{2} (x + 2)$
3.: $p (x) = ln (- x + 3)$
4.: $g (x) = e^{- x}$
5.: $m (x) = 3^{x} + 1$
6.: $q (x) = {log}_{10} (1 - 3 x)$

Para cada una de las funciones anteriores determine:
7.: Determine su máximo dominio real.
8.: Realice su trazo.

2.5 Propiedades de los logaritmos

Proposición 19.

Sea $a \in ℝ, a > 0 y a \neq 1$ , como ${Exp}_{a}$ y ${log}_{a}$ son funciones mutuamente inversas entonces al calcular la composición de estas dos funciones se obtiene :

a.: $[{Exp}_{a} \circ {log}_{a}] (x) = x$ , con $x \in ℝ$ y $x > 0$
b.: $[{log}_{a} \circ {Exp}_{a}] (x) = x$ , con $x \in ℝ$

Por $(a)$ se tiene:

\begin{matrix} x & = & [{Exp}_{a} \circ {log}_{a}] (x) \\ = & {Exp}_{a} [{log}_{a} (x)] & por definición {Exp}_{a} (x) = a^{x} \\ = & a {log}_{a} (x) \end{matrix}

Por lo tanto $a^{{log}_{a} x} = x$ Por 19a

Por $(b)$ se tiene:

\begin{matrix} x & = & [{log}_{a} \circ {Exp}_{a}] (x) \\ = & {log}_{a} [{Exp}_{a} (x)] & por definición {Exp}_{a} (x) = a^{x} \\ = & {log}_{a} a^{x} \end{matrix}

Por lo tanto: ${log}_{a} a^{x} = x$ Por 19b

■

Ejemplo 140.

a.: ${log}_{3} 3^{2} = 2$ Por 19b
b.: $5^{{log}_{5} 7} = 7$ Por 19a

■

Ejemplo 141.

Resuelva las siguientes ecuaciones, aplicando las propiedades 19a y 19b.

a.: $3^{- 2 x + 5} = 1$
b.: $ln [(x + 3) (x + 5)] = ln 15$

Solución.

a.

3^{- 2 x + 5} = 1

Si $3^{- 2 x + 5} = 1$ entonces aplicando ${log}_{3} x$ a ambos términos de la igualdad se obtiene que:

{log}_{3} 3^{- 2 x + 5} = {log}_{3} 1

Como ${log}_{3} 3^{- 2 x + 5} = - 2 x + 5$ Por 19b y ${log}_{3} 1 = 0,$ entonces:

\begin{matrix} - 2 x + 5 & = & 0 \\ - 2 x & = & - 5 \\ x & = & \frac{- 5}{- 2} \\ x & = & \frac{5}{2} \end{matrix}

Así el conjunto solución de $3^{- 2 x + 5} = 1$ es ${\frac{5}{2}}$

b.

ln [(x + 3) (x + 5)] = ln 15

Si $ln [(x + 3) (x + 5)] = ln 15,$ entonces aplicando ${Exp}_{e} x$ a ambos términos de la igualdad se tiene que:

e^{ln [(x + 3) (x + 5)]} = e^{ln 15}

Como $e^{ln [(x + 3) (x + 5)]} = (x + 3) (x + 5)$ y $e^{ln 15} = 15$ Por 19a

Entonces: $(x + 3) (x + 5) = 15$

Por lo que:

\begin{matrix} x^{2} + 8 x + 15 & = & 15 \\ x^{2} + 8 x + 15 - 15 & = & 0 \\ x^{2} + 8 x & = & 0 \\ x (x + 8) & = & 0 \\ x = 0 & o & x = - 8 \end{matrix}

Así obtenemos dos posibles soluciones para la ecuación propuesta; para averiguar si efectivamente son soluciones de la ecuación se debe realizar la prueba en $ln [(x + 3) (x + 5)] = ln 15$ y descartar aquellos valores para la $x$ , que no proporcionen una igualdad verdadera.

Prueba:

(i)

Para

x = 0

, Sustituyendo:

\begin{matrix} ln [(0 + 3) (0 + 5)] & = & ln 15 \\ ln (3 \cdot 5) & = & ln 15 \\ ln 15 & = & ln 15 \end{matrix}

Por lo que $0$ es una solución de la ecuación original.

(ii)

Para

x = - 8

, Sustituyendo:

\begin{matrix} ln [(- 8 + 3) (- 8 + 5)] & = & ln 15 \\ ln [(- 5) \cdot (- 3)] & = & ln 15 \\ ln 15 & = & ln 15 \end{matrix}

Por lo que $- 8$ es una solución de la ecuación original.

Por lo tanto $S = {0, - 8}$ .

Observación

En el proceso de resolución de ecuaciones que involucren logaritmos, los valores de la incógnita, que se obtienen, no siempre son soluciones de la ecuación original, por lo tanto para determinar el conjunto solución es necesario verificar cuales de los valores obtenidos son soluciones de la ecuación original.

Proposición 20.

Sea $a \in ℝ, a > 0, a \neq 1, x \in ℝ, y \in ℝ$

$a^{x} = a^{y} ⟹ x = y$

Demostración

Si $a^{x} = a^{y}$ entonces aplicando ${log}_{a}$ a ambos miembros de la igualdad:

\begin{matrix} {log}_{a} a^{x} & = & {log}_{a} a^{y} Por 19 b \\ x & = & y \end{matrix}

■

Ejemplo 142.

Resolver ${log}_{2} (\frac{1}{32}) = x$

Solución.

\begin{matrix} {log}_{2} (\frac{1}{32}) & = & x \\ 2^{x} & = & \frac{1}{32} \\ 2^{x} & = & \frac{1}{2^{5}} \\ 2^{x} & = & 2^{- 5} Por 20 \\ x & = & - 5 \end{matrix}

Por lo tanto $S = {- 5}$

■

Ejemplo 143.

Resolver la ecuación $\frac{2^{x}}{4} = 32$

Solución.

\begin{matrix} \frac{2^{x}}{4} & = & 32 \\ \frac{2^{x}}{2^{2}} & = & 2^{5} \\ 2^{x - 2} & = & 2^{5} Por 20 \\ x - 2 & = & 5 \\ x & = & 7 \end{matrix}

Por lo tanto $S = {7}$

Proposición 21.

Sean $a \in ℝ, a > 0, a \neq 1, x \in] 0, + \infty [, y \in] 0, + \infty [$

${log}_{a} x = {log}_{a} y ⟹ x = y$

Demostración

Si ${log}_{a} x = {log}_{a} y$ entonces aplicando ${Exp}_{a}$ a ambos miembros de la igualdad:

\begin{matrix} a^{{log}_{a} x} & = & a^{{log}_{a} y} Por 19 a \\ x & = & y \end{matrix}

■

Ejemplo 144.

Resolver $ln (x^{2} - 3 x + 2) = ln (x^{2} - 5 x + 5)$

Solución.

\begin{matrix} ln (x^{2} - 3 x + 2) & = & ln (x^{2} - 5 x + 5) Por 21 \\ x^{2} - 3 x + 2 & = & x^{2} - 5 x + 5 \\ 2 x - 3 & = & 0 \\ 2 x & = & 3 \\ x & = & \frac{3}{2} \end{matrix}

Prueba

$ln (x^{2} - 3 x + 2) = ln (x^{2} - 5 x + 5)$

Si $x = \frac{3}{2}$ ;

\begin{matrix} ln [{(\frac{3}{2})}^{2} - 3 \cdot (\frac{3}{2}) + 2] & = & ln [{(\frac{3}{2})}^{2} - 5 \cdot (\frac{3}{2}) + 5] \\ ln (\frac{- 1}{4}) & = & ln (\frac{- 1}{4}) \end{matrix}

Como $ln (\frac{- 1}{4})$ no está definido en $ℝ,$ entonces $\frac{3}{2}$ no es solución de la ecuación.

Por lo tanto $S = \emptyset$

Ejercicio
Resuelva para $x$ cada una de las siguientes ecuaciones.

1.: $3 = 2 e^{x}$
2.: $7 = e^{- 6 x}$
3.: $11 = \frac{2^{x}}{3}$
4.: $\sqrt{5} = \frac{r^{x}}{\sqrt{5}}$
5.: $e^{x} = 81$
6.: $3^{- x} = 27$
7.: $9^{2 x} = 3 \cdot 2 7^{x}$
8.: $3^{x + 1} = 729$
9.: $4 \cdot 1 6^{x} = 6 4^{x - 1}$
10.: $5^{4 x^{2} - 4 x - 3} = 1$
11.: $8^{x - 1} \cdot 2^{x} \cdot \frac{1}{4^{x - 2}} = \frac{1}{16}$
12.: $\sqrt{12 5^{x}} \cdot \frac{1}{2 5^{x - 1}} = \sqrt{5^{x}}$

Proposición 22.

Sean $a \in ℝ, a > 0, a \neq 1, x \in] 0, + \infty [, y \in] 0, + \infty [$ entonces:

${log}_{a} (x \cdot y) = {log}_{a} x + {log}_{a} y$

Demostración

Sean $M = {log}_{a} x; N = {log}_{a} y$

De $M = {log}_{a} x$ se tiene que $a^{M} = x$ ; de $N = {log}_{a} y$ se tiene que $a^{N} = y$

Así:

\begin{matrix} x \cdot y & = & a^{M} \cdot a^{N} \\ x \cdot y & = & a^{M + N} \end{matrix}

Aplicando ${log}_{a}$ a ambos miembros de la igualdad se tiene que:

\begin{matrix} {log}_{a} (x \cdot y) & = & {log}_{a} a^{M + N} Por 19 b \\ {log}_{a} (x \cdot y) & = & M + N \end{matrix}

Pero $M = {log}_{a} x y N = {log}_{a} y$ por lo que:

{log}_{a} (x \cdot y) = {log}_{a} x + {log}_{a} y

■

Ejemplo 145.

Sabiendo que $log 2 ≃ 0, 30103$ y $log 3 ≃ 0, 47712$ .

Determine el valor de $log 12$

Solución.

Como:

\begin{matrix} log 12 & = & log (4 \cdot 3) & Por 21 \\ = & log 4 + log 3 \\ = & log (2 \cdot 2) + log 3 & Por 21 \\ = & log 2 + log 2 + log 3 \\ = & 2 log 2 + log 3 \\ = & 2 \cdot 0, 30103 + 0, 47712 \\ = & 1, 07918 \end{matrix}

Por lo tanto $log 12 ≃ 1, 07918$

■

Ejemplo 146.

Resolver $log (x - 3) + log (x + 2) = log (5 x - 14)$

Solución.

\begin{matrix} log (x - 3) + log (x + 2) & = & log (5 x - 14) & Por 22 \\ log [(x - 3) \cdot (x + 2)] & = & log (5 x - 14) & Por 21 \\ (x - 3) \cdot (x + 2) & = & 5 x - 14 \\ x^{2} - x - 6 - 5 x + 14 & = & 0 \\ x^{2} - 6 x + 8 & = & 0 \\ x & = & 4 y x = 2 \end{matrix}

Prueba: $log (x - 3) + log (x + 2) = log (5 x - 14)$

a.

x = 4

\begin{matrix} log (4 - 3) + log (4 + 2) & = & log (5 \cdot 4 - 14) \\ log (1) + log (6) & = & log (6) \\ 0 + log (6) & = & log (6) \\ log (6) & = & log (6) \end{matrix}

Por lo tanto $4$ es solución

b.

x = 2

\begin{matrix} log (2 - 3) + log (2 + 2) & = & log (5 \cdot 2 - 14) \\ log (- 1) + log (4) & = & log (- 4) \end{matrix}

Como $log (- 1) y log (- 4)$ no están definidos en $ℝ,$ tenemos que $2$ no es solución.

$∴ S = {4}$

Proposición 23.

Sean $a \in ℝ, a > 0, a \neq 1, x \in] 0, + \infty [, n \in ℝ$ entonces:

${log}_{a} x^{n} = n \cdot {log}_{a} x$

Demostración

Sea $x = a^{y}$ con $y \in ℝ$ entonces ${log}_{a} x = y$

así ${log}_{a} x^{n} = {log}_{a} {(a^{y})}^{n} = {log}_{a} a^{y \cdot n} = y \cdot n,$

o sea, ${log}_{a} x^{n} = y \cdot n$ . Pero como $y = {log}_{a} x$ , tenemos que ${log}_{a} x^{n} = n \cdot {log}_{a} x$

■

Ejemplo 147.

Resolver $2 log (1 - 2 x) = log (- x + 1)$

Solución.

\begin{matrix} 2 log (1 - 2 x) & = & log (- x + 1) & Por 23 \\ log {(1 - 2 x)}^{2} & = & log (- x + 1) & Por 21 \\ {(1 - 2 x)}^{2} & = & (- x + 1) \\ 1 - 4 x + 4 x^{2} & = & - x + 1 \\ 4 x^{2} - 3 x & = & 0 \\ x (4 x - 3) & = & 0 \\ x & = & 0 y x = \frac{3}{4} \end{matrix}

Prueba: $2 log (1 - 2 x) = log (- x + 1)$

a.

x = 0

\begin{matrix} 2 log (1 - 2 \cdot 0) & = & log (- 0 + 1) \\ 2 log (1) & = & log (1) \\ 2 \cdot 0 & = & 0 \\ 0 & = & 0 \end{matrix}

Por lo tanto $0$ es solución

b.

x = \frac{3}{4}

\begin{matrix} 2 log (1 - 2 \cdot \frac{3}{4}) & = & log (- \frac{3}{4} + 1) \\ 2 log (1 - \frac{3}{2}) & = & log (\frac{1}{4}) \\ 2 log (- \frac{1}{2}) & = & log (\frac{1}{4}) \end{matrix}

como $log (\frac{- 1}{2})$ no está definido en $ℝ$ , entonces $\frac{3}{4}$ no es solución.

Proposición 24.

Sean $a \in ℝ, a > 0, a \neq 1, x \in] 0, + \infty [, y \in] 0, + \infty [$ entonces:

${log}_{a} \frac{x}{y} = {log}_{a} x - {log}_{a} y$

Demostración

\begin{matrix} {log}_{a} \frac{x}{y} & = & {log}_{a} (x \cdot y^{- 1}) & Por 22 \\ = & {log}_{a} x + {log}_{a} y^{- 1} & Por 23 \\ = & {log}_{a} x + - 1 \cdot {log}_{a} y \\ = & {log}_{a} x - {log}_{a} y \end{matrix}

O sea ${log}_{a} \frac{x}{y} = {log}_{a} x - {log}_{a} y$

■

Ejemplo 148.

Resolver $ln (x - 10) - ln (x - 7) = ln 2$

Solución.

\begin{matrix} ln (x - 10) - ln (x - 7) & = & ln 2 & Por 24 \\ ln \frac{x - 10}{x - 7} & = & ln 2 & Por 21 \\ \frac{x - 10}{x - 7} & = & 2 \\ x - 10 & = & 2 (x - 7) \\ x - 10 & = & 2 x - 14 \\ - x + 4 & = & 0 \\ x & = & 4 \end{matrix}

Prueba: $ln (x - 10) - ln (x - 7) = ln 2$

\begin{matrix} ln (4 - 10) - ln (4 - 7) & = & ln 2 \\ ln (- 6) - ln (- 3) & = & ln 2 \end{matrix}

Como $ln (- 6) y ln (- 3)$ no están definidos en $ℝ$ entonces $4$ no es solución, por lo tanto $S = \emptyset$

■

Ejemplo 149.

Verifique que ${log}_{2} [\frac{2^{3 x} \cdot x^{2} \cdot 5}{\sqrt{8} \cdot 2^{x^{5}}}] = 3 x + 2 \cdot {log}_{2} 5 - \frac{3}{2} - x^{5}$

Solución.

\begin{matrix} {log}_{2} [\frac{2^{3 x} \cdot x^{2} \cdot 5}{\sqrt{8} \cdot 2^{x^{5}}}] & = & {log}_{2} (2^{3 x} \cdot x^{2} \cdot 5) - {log}_{2} (\sqrt{8} \cdot 2^{x^{5}}) \\ = & {log}_{2} 2^{3 x} + {log}_{2} x^{2} + {log}_{2} 5 - ({log}_{2} \sqrt{8} + {log}_{2} 2^{x^{5}}) \\ = & {log}_{2} 2^{3 x} + {log}_{2} x^{2} + {log}_{2} 5 - {log}_{2} \sqrt{8} - {log}_{2} 2^{x^{5}} \\ = & 3 x \cdot {log}_{2} 2 + 2 \cdot {log}_{2} x + {log}_{2} 5 - {log}_{2} 8^{\frac{1}{2}} - x^{5} \cdot {log}_{2} 2 \\ = & 3 x \cdot 1 + 2 \cdot {log}_{2} x + {log}_{2} 5 - \frac{1}{2} \cdot {log}_{2} 8 - x^{5} \cdot 1 \\ = & 3 x + 2 \cdot {log}_{2} x + {log}_{2} 5 - \frac{1}{2} \cdot 3 - x^{5} \\ = & 3 x + 2 \cdot {log}_{2} x + {log}_{2} 5 - \frac{3}{2} - x^{5} \end{matrix}

Ejercicio
Verifique cada una de las siguientes identidades:

1.: $log [\frac{x^{3} \cdot 1 0^{2 x}}{1 0^{x^{2}}}] = 3 \cdot log x + 2 x - x^{2}$
2.: ${log}_{3} \sqrt[3]{2 \sqrt{3}} = {log}_{3} \sqrt[3]{2} - {log}_{3} \sqrt[6]{x}$

■

Ejemplo 150.

1.

Resuelva

9 \cdot 3^{2 x} - 15 \cdot 3^{x} - 6 = 0

Solución.

\begin{matrix} 9 \cdot 3^{2 x} - 15 \cdot 3^{x} - 6 & = & 0 \\ 9 \cdot {(3^{x})}^{2} - 15 \cdot 3^{x} - 6 & = & 0 \end{matrix}

Sea $y = 3^{x}$ (*)

\begin{matrix} 9 \cdot y^{2} - 15 \cdot y - 6 & = & 0 \\ y & = & \frac{- 1}{3}, y = 2 \end{matrix}

De (*) tenemos que:

a.: $3^{x} = \frac{- 1}{3} S_{1} = \emptyset$ ¿Por qué?.
b.: $3^{x} = 2 ⟹ x = {log}_{3} 2 ⟹ S_{2} = {{log}_{3} 2}$

Por lo tanto $S = {lo g_{3} 2}$

2.

Resuelva

\sqrt{{log}_{2} x} = {log}_{2} \sqrt{x}

Solución.

\begin{matrix} \sqrt{{log}_{2} x} & = & {log}_{2} \sqrt{x} \\ \sqrt{{log}_{2} x} & = & \frac{1}{2} \cdot {log}_{2} x \\ {(\sqrt{{log}_{2} x})}^{2} & = & {(\frac{1}{2} \cdot {log}_{2} x)}^{2} \\ {log}_{2} x & = & \frac{1}{4} \cdot ({log}_{2} x)^{2} \\ {log}_{2} x - \frac{1}{4} \cdot ({log}_{2} x)^{2} & = & 0 \\ {log}_{2} x \cdot (1 - \frac{1}{4} \cdot {log}_{2} x) & = & 0 \end{matrix}

Así ${log}_{2} x = 0$ ó $1 - \frac{1}{4} \cdot {log}_{2} x = 0$

Caso I

${log}_{2} x = 0 ⟺ x = 2^{0} ⟺ x = 1$

Caso II

$1 - \frac{1}{4} \cdot {log}_{2} x = 0 ⟺ 1 = \frac{1}{4} \cdot {log}_{2} x ⟺ 4 = {log}_{2} x ⟺ x = 16$

Por lo tanto $S = {1, 16}$

Ejercicio

Resuelva para $x$ , cada una de las siguientes ecuaciones:

1.: $3^{2 x + 2} - 5 \cdot 3^{x + 1} - 6 = 0$
2.: $9^{x - 2} + 3^{x - 1} - 2 = 0$
3.: $2 7^{x + 3} = \frac{{(\sqrt{3})}^{x}}{9^{x - 2}}$
4.: $3^{1 - 2 x} = 2^{x + 5}$
5.: $1 0^{7 - 2 x} = 3^{5 - 3 x}$
6.: $5^{x + 2} = 4^{x - 1}$
7.: $- log (x - 1) = 2$
8.: $- {log}_{2} (x - 2) = 1$
9.: $log \sqrt{x} = \sqrt{ln x}$
10.: $\frac{2 log (1 + x)}{log (x + 2)} = 0$
11.: $- 1 + log x = \frac{- 1 - log x}{log x + 1}$
12.: $log (x^{8}) = {(ln x)}^{4}$
13.: $log x^{3} = {(log x)}^{3}$
14.: $log x^{4} = {log}^{4} x$
15.: $2 {log}_{5} (x - 2) - {log}_{5} (x + 4) = {log}_{5} 3$
16.: $log (2 x + 7) - log (x - 1) = log 5$
17.: $- {log}_{2} \frac{1}{x - 2} = 2 + {log}_{2} (x - 2)$
18.: $y = ln (x + \sqrt{x^{2} - 1})$
19.: $y = ln (x - \sqrt{x^{2} - 2})$
20.: $y = ln \sqrt{\frac{x + 3}{x - 3}}$
21.: $e^{ln 4} = e^{(x + \sqrt{x^{2} - 4})}$
22.: $x^{\sqrt{log x}} = 1 0^{8}$

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2. Funciones logarítmicas

2.1 Representación del gráfico de la función logarítmica

2.2 Algunas propiedades de la función logarítmica

2.3 La función logarítmica de base e (e ≈ 2,718281)

2.4 La función logarítmica de base 10

2.5 Propiedades de los logaritmos

2.3 La función logarítmica de base $e$ ( $e \approx 2, 718281$ )

2.4 La función logarítmica de base $10$