Ángulos, definición y notación

1. Ángulos, definición y notación

La palabra “Trigonometría” procede del griego y su significado es “medida de triángulos”. Así, se considera la trigonometría como aquella parte de la matemática que trata de los elementos de los triángulos, tanto planos como esféricos.

No obstante a pesar del concepto de trigonometría que se acaba de ofrecer, hoy en día la trigonometría posee otras muchas importantes aplicaciones que no se refieren específicamente a los triángulos.

Muchos fenómenos físicos se representan de un modo regular o periódico, por ejemplo, el movimiento de un péndulo oscila de modo regular; el voltaje de un circuito de corriente alterna oscila constantemente entre los valores positivos y negativos; incluso las estaciones del año tienen un ciclo perfectamente definido.

Por lo anterior, se dice que estos fenómenos tienen cambios periódicos.

Para el estudio de estos cambios periódicos, se usan modelos matemáticos, en los cuales las funciones trigonométricas son fundamentales.

Para iniciar el desarrollo de este capítulo, recordaremos algunos conceptos fundamentales de geometría plana.

Definición 68.

Sea $L$ una recta de ecuación $y = mx + b$ , con $m \in ℝ, b \in ℝ$ . Si $A$ y $B$ son puntos de $L$ , entonces escribimos $L = \binom{AB}{\leftrightarrow}$

La recta $L$ la podemos representar geométricamente sin usar coordenadas rectangulares de la siguiente forma:

Figura 5.1:

Definición 69.

Rayo:
Sea $L$ una recta de ecuación $y = mx + b$ , con $m \in ℝ, b \in ℝ$ y sean $A, B y C$ tres puntos en $L$ como se muestra en la siguiente figura:

Figura 5.2:

Sea $B = (x_{0}, y_{0})$ . Los conjuntos definidos por:

a.): $\vec{BA} = {(x, y) \in L/ x \leq x_{0}}$
b.): $\vec{BC} = {(x, y) \in L/ x \geq x_{0}}$

reciben el nombre de rayos y el punto $B$ recibe el nombre de origen o punto inicial del rayo.

De acuerdo con la figura anterior, los rayos $\vec{BA}$ y $\vec{BC}$ se pueden representar respectivamente así:

Figura 5.3:

Definición 70 (Círculo).

Sea $P$ un plano, $O$ un punto en $P$ y $r \in ℝ, r \geq 0$ .

Se llama círculo de centro $O$ y de radio $r$ , al conjunto de puntos en $P$ cuya distancia a $O$ es $r$ .

Figura 5.4:

■

Ejemplo 151.

a): Sea $C$ un círculo cuyo radio es $2 cm$ y su centro es el punto $(0, 0),$ entonces $C$ se puede representar así:

Figura 5.5:
b): Sea $C$ un círculo cuyo radio es $2, 5 cm$ y su centro es $(2, - 1)$ entonces $C$ se puede representar así:

Figura 5.6:

Ejercicio
Represente cada uno de los siguientes círculos:

1.: $C$ es un círculo de radio $3, 5 cm$ y su centro es $(- 2, - 1)$
2.: $C$ es un círculo de radio $4 cm$ y su centro es $(0, 2)$
3.: $C$ es un círculo de radio $2, 25 cm$ y su centro es $(- 3, 2)$

Definición 71 (Circunferencia).

Sea $C$ un círculo, se llama circunferencia de $C$ a la longitud del círculo $C$ .

Si $C$ es un círculo de radio $r$ , entonces la circunferencia $L$ de $C$ es dada por:

$L = 2 πr$

■

Ejemplo 152.

1.

Sea

C

un círculo cuyo radio es

5 cm

entonces la circunferencia

L

C

es dada por:

L = 2 π \cdot 5 ⟹ L = 10 π

Así la circunferencia de $C$ es $10 π cm$ .

2.

Sea

C

un círculo cuyo radio es

7, 5 cm

entonces la circunferencia

L

C

es dada por:

L = 2 π \cdot 7.5 ⟹ L = 15 π

Así la circunferencia de $C$ es $15 π cm$ .

Ejercicio
Calcule la circunferencia de cada uno de los siguientes círculos:

1.: $C$ es un círculo cuyo radio es $12 cm$ .
2.: $C$ es un círculo cuyo radio es $1 cm$ .
3.: $C$ es un círculo cuyo radio es $13, 5$ pulgadas.

Definición 72 (Ángulo plano).

Se llama ángulo plano a la unión de dos rayos con un origen común. Los rayos que forman un ángulo se llaman lados del ángulo y al punto común u origen de los rayos, se llama vértice del ángulo.

Figura 5.7:

En la figura anterior los rayos $\vec{OA}$ y $\vec{OC}$ determinan un ángulo y se denota $∡ AOC$ ( $∡ AOC$ se lee “ángulo $AOC$ ”)

Definición 73 (Ángulo central).

Se llama ángulo central de un círculo a aquel ángulo cuyo vértice es el centro del círculo.

Figura 5.8:

El $∡ AOB$ es un ángulo central.

Definición 74 (Arco subtendido).

Sea un círculo de centro $O$ y radio $r$ , sea el $∡ POQ$ un ángulo central de $C$ , tal que $P$ y $Q$ están en $C$ .

Se llama arco subtendido por el ángulo $POQ$ al conjunto de puntos de $C$ que están entre $P$ y $Q$ , incluyendo a estos.

Figura 5.9:

A veces resulta conveniente designar a uno de los lados de un ángulo como el lado inicial del ángulo y al otro como lado final.

En un sistema de coordenadas rectangulares los ángulos que tienen su vértice en el origen del sistema de coordenadas y el rayo positivo del eje $X$ como lado inicial, se dice que están en posición normal

■

Ejemplo 153.

Figura 5.10:

El $∡ POQ$ está en posición normal, su lado inicial es $\vec{OQ}$ y su lado final es $\vec{OP}$ .

Figura 5.11:

Ejercicio

Complete la frase siguiente: si $∡ ROS$ está en posición normal, entonces su lado inicial es y su lado final es

Rotación positiva y rotación negativa

Un ángulo puede considerarse engendrado por dos rayos con un origen común de la siguiente manera, un rayo fijo (lado inicial) y un rayo móvil (lado final) que rota alrededor de su origen.

Definición 75.

Dado un ángulo que se considere engendrado por una rotación, si ésta se ha realizado en el sentido contrario al que giran las agujas del reloj, se dice que el ángulo tiene sentido positivo, en caso contrario, se dice que el ángulo tiene sentido negativo.

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Ejemplo 154.

Figura 5.12:

El $∡ RPQ$ tiene sentido positivo

Figura 5.13:

Figura 5.14:

El $∡ ABC$ tiene sentido negativo

Figura 5.15:

Ejercicio
Dibuje dos ángulos, uno con sentido positivo y otro con sentido negativo.

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