Ángulos en posición estándar y coterminales

2. Ángulos en posición estándar y coterminales

Para medir ángulos existen dos sistemas de medición uno que usa como unidad de medida el grado, y otro que usa como unidad de medida el radián.

2.1 Medida en grados

Consideremos el $∡ ABC$ como ángulo central de un círculo y con sentido positivo.

Se dice que la medida del $∡ ABC$ es un grado $(1)$ si subtiende un arco cuya medida es $\frac{1}{360}$ de la circunferencia.

Figura 5.16:

Notación: m $∡ ABC = 1$ ; m $∡ ABC$ se lee “medida del ángulo $ABC$ ”

Definición 76.

a): Un minuto, denotado por $1^{'}$ , es $\frac{1}{60}$ parte del grado.
b): Un segundo, denotado por $1^{″},$ es $\frac{1}{60}$ parte de un minuto.

Por consiguiente: $1 hora = 6 0^{'}$ y $1 minuto = 6 0^{″}$ .

Representación de ángulos

■

Ejemplo 155.

a.: Representación de un ángulo cuya medida es $30$ .

Figura 5.17:
b.: Representación de un ángulo de $90$ en posición normal.

Figura 5.18:

Nota: Un ángulo cuya medida es $90$ recibe el nombre de ángulo recto

Ejercicio
Represente de manera aproximada (usando regla y transportador) un ángulo cuya medida sea:

1.: $60$
2.: $150$
3.: $180$
4.: $360$

Represente (usando regla y transportador) un ángulo en posición normal y cuya medida sea:
5.: $135$
6.: $315$
7.: $15$
8.: $120$

2.2 Medida en radianes

Para definir lo que entenderemos por radián asumiremos que los arcos del círculo se pueden medir, recordemos también que los círculos de radio 1 tienen como circunferencia $2 π$ , observaremos además que también aceptamos la existencia de un número real.

Definición 77.

Sea $C$ un círculo de radio $1$ y centro en el origen del sistema de coordenadas rectangulares

Figura 5.19:

Diremos que el valor absoluto de la medida del $∡ POQ$ , en radianes, es igual a la longitud del arco $PQ$

■

Ejemplo 156.

Sea $C$ un círculo de centro $O$ y radio $1$

a): Si el ángulo $MON$ subtiende al arco de longitud $\frac{π}{4},$ entonces la medida en radianes del ángulo $MON$ es $\frac{π}{4}$ radianes.
b): Si el ángulo $ROS$ subtiende un arco de longitud $2 π$ , entonces la medida en radianes del ángulo $ROS$ es
c): Si el ángulo $JOX$ subtiende un arco de longitud $1,$ entonces la medida en radianes del ángulo $JOX$ es 1 radián.

Nota:

1.: Si un ángulo ha sido engendrado por rotación positiva, entonces se le asigna una medida positiva.
2.: Si un ángulo ha sido engendrado por rotación negativa, entonces se le asigna una medida negativa.

■

Ejemplo 157.

1.: Los ángulos que se presentan a continuación tienen medida positiva.

Figura 5.20:

Figura 5.21:
2.: Los ángulos que se representan a continuación tienen medida negativa.

Figura 5.22:

Figura 5.23:

Por lo anterior existen ángulos cuya medida es $35$ , $- 35$ , $700$ , $3$ radianes, $\frac{- 3}{4}$ radianes, etc.

Convenio

Siempre que no se especifique las unidades para la medida de un ángulo entenderemos que las unidades son radianes.

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Ejemplo 158.

1.: $m ∡ ABC = 2 π$ significa que “la medida del $∡ ABC$ es $2$ radianes”
2.: $m ∡ POQ = \frac{- 3 π}{2}$ significa que “la medida del $∡ POQ = \frac{- 3 π}{2}$ radianes”.

2.3 Relación entre grados y radianes

Como la circunferencia de un círculo de radio $1$ es igual a $2 π$ , se tiene que un rayo engendra un ángulo cuya medida es $2 π$ radianes cuando el rayo se hace rotar “una vuelta completa”, en sentido positivo.

De la misma forma, dado que un ángulo cuya medida es $1$ , subtiende un arco cuya medida es $\frac{1}{360}$ de la circunferencia, se tiene que un rayo engendra un ángulo cuya medida es $360$ , cuando el rayo se hace rotar “una vuelta completa” en sentido positivo.

■

Ejemplo 159.

a.): Un ángulo de $360$ es equivalente a un ángulo de $2 π$ radianes.
b.): Un ángulo de $180$ es equivalente a un ángulo de $π$ radianes.
c.): Un ángulo de $90$ es equivalente a un ángulo de $\frac{π}{2}$ radianes.
d.): Un ángulo de $45$ es equivalente a un ángulo de $\frac{π}{4}$ radianes.

En particular se tiene que:

1.: La medida $R$ en radianes de un ángulo que mide $G$ grados $(G)$ es el número real $R$ por:

$R = \frac{πG}{180}$
2.: La medida $G$ en grados $(G)$ de un ángulo que mide $R$ radianes, viene dada por:

$G = \frac{180 R}{π}$

■

Ejemplo 160.

Exprese en radianes las siguientes medidas de ángulos

a.): $210$
b.): $- 36$
c.): $- 720$
d.): $315$

Solución.

a.): $R = \frac{π \cdot 210}{180} ⟹ R = \frac{7 π}{6}$ , o sea $21 0^{\circ} equivale a \frac{7 π}{6}$
b.): $R = \frac{π \cdot (- 36)}{180} ⟹ R = \frac{- π}{5}$ , o sea $- 3 6^{\circ} equivale a \frac{- π}{5}$
c.): $R = \frac{π \cdot (- 720)}{180} ⟹ R = - 4 π$ , o sea $- 72 0^{\circ} equivale a - 4 π$
d.): $R = \frac{π \cdot 315}{180} ⟹ R = \frac{7 π}{4}$ , o sea $31 5^{\circ} equivale a \frac{7 π}{4}$

■

Ejemplo 161.

Exprese en grados las siguientes medidas de ángulos, dadas en radianes.

(a.): $\frac{5 π}{3}$
(b.): $\frac{- 11 π}{4}$
(c.): $\frac{- 5 π}{6}$
(d.): $3$

Solución.

(a.): $G^{\circ} = \frac{18 0^{\circ} \frac{5 π}{3}}{π} ⟹ G^{\circ} = 30 0^{\circ}$ , o sea $\frac{5 π}{3} equivale a 30 0^{\circ}$
(b.): $G^{\circ} = \frac{18 0^{\circ} \frac{- 11 π}{4}}{π} ⟹ G^{\circ} = - 49 5^{\circ}$ , o sea $\frac{- 11 π}{4} equivale a - 49 5^{\circ}$
(c.): $G^{\circ} = \frac{18 0^{\circ} \frac{- 5 π}{6}}{π} ⟹ G^{\circ} = - 15 0^{\circ}$ , o sea $\frac{- 5 π}{6} equivale a - 15 0^{\circ}$
(d.): $G^{\circ} = \frac{18 0^{\circ} \cdot 3}{π} ⟹ G^{\circ} \approx 171.8873 4^{\circ} \approx 17 1^{\circ} 5 3^{'} 1 4^{″}$ , o sea $3 equivale a 17 1^{\circ} 5 3^{'} 1 4^{″}$ aproximadamente

Nota: para pasar $0.8873 4^{\circ}$ a minutos y segundos usamos regla de tres. En este caso $0.88734 = 53.240 4^{'} = 5 3^{'} + 0.240 4^{'} = 5 3^{'} + 14.42 4^{″}$

Ejercicio
Exprese en radianes las siguientes medidas de ángulos:

1.: $30$
2.: $90$
3.: $150$
4.: $- 300$
5.: $45$
6.: $120$
7.: $- 180$
8.: $- 330$
9.: $60$
10.: $- 135$
11.: $270$
12.: $360$

Exprese en grados las siguientes medidas de ángulos dados en radianes:
13.: $\frac{5 π}{3}$
14.: $\frac{- 7 π}{6}$
15.: $\frac{- 3 π}{2}$
16.: $\frac{5 π}{4}$
17.: $\frac{3}{2}$
18.: $\frac{- 1}{2}$

2.4 Círculo trigonométrico

Definición 78.

El círculo cuyo radio es $1$ y su centro es el punto $(0, 0)$ de un sistema de coordenadas rectangulares, se llama círculo trigonométrico.

Figura 5.24:

En la figura anterior observe que si $(x, y)$ es un punto del círculo trigonométrico entonces:

x^{2} + y^{2} = 1

¡Verifíquelo!

Figura 5.25:

Ejercicio
Con respecto a la figura anterior:
Si $(x, y)$ es un punto del círculo trigonométrico determine:

1.: ¿Cuáles son los valores posibles para $x$ ?
2.: ¿Cuáles son los valores posibles para $y$ ?
3.: ¿En qué cuadrante $x$ es positiva?
4.: ¿En qué cuadrante $x$ es negativa?
5.: ¿En que cuadrante $y$ es positiva?
6.: ¿En qué cuadrante $y$ es negativa?

En la siguiente figura, se muestra los puntos de intersección entre el círculo trigonométrico y los ejes coordenados.

Figura 5.26:

En la siguiente figura, se muestra las medidas de los ángulos (en sentido positivo) en posición normal, que se forman con los ejes coordenados.

Figura 5.27:

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