6. Amplitud y período

Se definen las funciones:

a)

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \text{coseno}:\hfill & \hfill ℝ\hfill & \hfill \to \hfill & \hfill ℝ\hfill & \hfill \hfill \end{array}$$

Nota: Designamos con $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha$ el criterio de la función coseno; o sea $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )=$ coseno $(\alpha )$

b)

$$\begin{array}{ccccc}\hfill \text{seno}:\hfill & \hfill ℝ\hfill & \hfill \to \hfill & \hfill ℝ\hfill & \hfill \hfill \\ \hfill \hfill & \hfill \alpha \hfill & \hfill \to \hfill & \hfill y,\hfill & \hfill \text{o sea, seno}(\alpha )=y\hfill \end{array}$$

Nota: Designamos con $\mathit{sen}\alpha$ el criterio de la función seno; o sea, $\mathit{sen}(\alpha )=$ seno $(\alpha )$

Por lo anterior se obtiene que $x=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$; $y=\mathit{sen}(\alpha )$ o sea, $P=(x,y)=(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ),\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ))$

Algunas propiedades de las funciones seno y coseno

a.)

Ámbito de las funciones seno y coseno

Como el punto $P$ pertenece al círculo trigonométrico, se obtiene que las coordenadas “$x$” y “$y$” de $P$ satisfacen respectivamente las desigualdades compuestas.

i.)

$$$-1\le x\le 1$

ii.)

$$$-1\le y\le 1$

Además como $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )=x$ y $\mathit{sen}\alpha =y$ entonces:

i.)

$$$-1\le \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\le 1$

ii.)

$$$-1\le \mathit{sen}(\alpha )\le 1$

Por lo que el ámbito de las funciones seno y coseno es $[-1,1]$.

b.)

Signo de los valores de las funciones seno y coseno

Con base en el ejercicio $6$ y la definición de las funciones seno y coseno se obtiene que:

i.)

Si $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ entonces $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$ y $\mathit{sen}(\alpha )$ son números reales positivos.

ii.)

Si $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ entonces $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$ es un número real negativo y $\mathit{sen}(\alpha )$ es un número real positivo.

iii.)

Si $\pi <\alpha <\frac{3\pi }{2}$ entonces $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$ y $\mathit{sen}(\alpha )$ son números reales negativos.

iv.)

Si $\frac{3\pi }{2}<\alpha <2\pi$ entonces $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$ es un número real positivo y $\mathit{sen}(\alpha )$ es un número real negativo.

Las propiedades anteriores pueden resumirse de la siguiente forma:

a. La función seno toma valores positivos en el $I$ y $\mathit{II}$ cuadrante y valores negativos en el $\mathit{III}$ y $\mathit{IV}$ cuadrante.

b. La función coseno toma valores positivos en el $I$ y $\mathit{IV}$ cuadrante y valores negativos en el $\mathit{II}$ y $\mathit{III}$ cuadrante.

c.

Algunos valores de las funciones seno y coseno

Como los puntos de intersección del círculo trigonométrico con los ejes coordenados son $(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)$ como se muestra en la figura siguiente:

Tenemos que:

i)

$$$\mathit{sen}0=0$     y   $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->0=1$

ii)

$$$\mathit{sen}\frac{\pi }{2}=1$    y   $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{\pi }{2}=0$

iii)

$$$\mathit{sen}\pi =0$     y   $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\pi =-1$

iv)

$$$\mathit{sen}\frac{3\pi }{2}=-1$   y   $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{3\pi }{2}=0$

Ejercicio
Para cada uno de los siguientes ángulos:

(a)

$$$\alpha =\frac{-3\pi }{2}$

(b)

$$$\alpha =\frac{-\pi }{2}$

(c)

$$$\alpha =2\pi$

(d)

$$$\alpha =7\pi$

(e)

$$$\alpha =\frac{-5\pi }{2}$

(f)

$$$\alpha =27\pi$

Represente en el círculo trigonométrico, el ángulo correspondiente.

Para cada valor de $\alpha$, calcule $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$ y $\mathit{sen}(\alpha )$.

d.)

Periodicidad de las funciones seno y coseno

Sea $P=(x,y)$ un punto en el círculo trigonométrico. Sea $\alpha$ la medida del ángulo, cuyo lado inicial es el lado positivo del eje $X$ y cuyo lado final es el rayo $\mathit{OP}$. Si hacemos girar el rayo OP “una vuelta completa”, o en forma general “$n$ vueltas completas”, entonces el rayo $\mathit{OP}$ en su posición final interseca al círculo trigonométrico en el mismo punto $(x,y)$, por lo cual los valores de las funciones seno y coseno no han variado, así tenemos que:

$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +2\pi )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha \text{y}\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +2\pi )=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha$$

En general:

$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +n\cdot 2\pi )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha$   y    $\mathit{sen}(\alpha +n\cdot 2\pi )=sen\alpha$

Por lo anterior se dice que las funciones seno y coseno son funciones periódicas y su período es $2\pi$.

e.)

Sea $P=(x,y)$ un punto del círculo trigonométrico, sea $\alpha ,0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ la medida del ángulo formado por la parte positiva del eje $X$ y el rayo $\mathit{OP}$ entonces:

i.)

$\mathit{sen}(\pi -\alpha )=sen\alpha$   y    $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi -\alpha )=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha$

Justificación

De la figura se obtiene que:

$$\begin{array}{ccc}\hfill \mathit{sen}(\alpha )& \hfill =\hfill & y\hfill \\ \hfill \mathit{sen}(\pi -\alpha )& \hfill =\hfill & y\hfill \end{array}\}\mathit{sen}(\pi -\alpha )=sen(\alpha )$$

$$\begin{array}{ccc}\hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )& \hfill =\hfill & x\hfill \\ \hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi -\alpha )& \hfill =\hfill & -x\hfill \end{array}\}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi -\alpha )=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$$

ii)

$\mathit{sen}(\pi +\alpha )=-sen\alpha$   y    $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi +\alpha )=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha$

Justificación

De la figura se obtiene que:

$$\begin{array}{ccc}\hfill \mathit{sen}(\alpha )& \hfill =\hfill & y\hfill \\ \hfill \mathit{sen}(\pi +\alpha )& \hfill =\hfill & -y\hfill \end{array}\}\mathit{sen}(\pi +\alpha )=-sen(\alpha )$$

$$\begin{array}{ccc}\hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )& \hfill =\hfill & x\hfill \\ \hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi +\alpha )& \hfill =\hfill & -x\hfill \end{array}\}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi +\alpha )=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$$

iii)

$\mathit{sen}(-\alpha )=-sen\alpha$   y    $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\alpha )$

Justificación

De la figura se obtiene que:

$$\begin{array}{ccc}\hfill \mathit{sen}(\alpha )& \hfill =\hfill & y\hfill \\ \hfill \mathit{sen}(-\alpha )& \hfill =\hfill & -y\hfill \end{array}\}\mathit{sen}(-\alpha )=-sen(\alpha )$$

$$\begin{array}{ccc}\hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )& \hfill =\hfill & x\hfill \\ \hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\alpha )& \hfill =\hfill & x\hfill \end{array}\}\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\alpha )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$$

f.

Sea $P$ un punto del círculo trigonométrico tal que $P=(x,y)$.

Sea $\alpha$ la medida del ángulo formado por la parte positiva del eje $X$ y el rayo $\mathit{OP}$, entonces las coordenadas de $P$ satisfacen la igualdad $x^2+y^2=1$.

Como $x=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha$ y $y=\mathit{sen}(\alpha )$ entonces:

$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ){)}^2+{(\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ))}^2=1$$

(5.3)

Notación ${(\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ))}^n={\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^n\alpha$   y   ${(\mathit{sen}(\alpha ))}^n={sen}^n\alpha$

Así la igualdad 5.3 se escribe:

${\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2\alpha +{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2\alpha =1$

Observación importante: La periodicidad de las funciones seno y coseno (así como las propiedades enunciadas en puntos $e.i$ y $e.\mathit{ii}$, nos permiten generalizar la propiedad enunciada en el punto $e.\mathit{iii}$

O sea: Si $\alpha \in ℝ$ entonces:

$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\alpha )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha$   y    $\mathit{sen}(-\alpha )=-sen(\alpha )$

Valores de las funciones trigonométricas de un ángulo cuya medida es $\alpha$, donde $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$

Recuerde que:

a)

Un ángulo cuya medida es $\alpha$, donde $0<\alpha <\frac{\pi }{2}$ recibe el nombre de ángulo agudo.

b)

Un ángulo cuya medida es $\alpha$, donde $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ recibe el nombre de ángulo obtuso.

c)

La suma de las medidas de los ángulos internos de un triángulo es $\pi$.

d)

Un triángulo en el cual uno de sus ángulos internos es un ángulo recto recibe el nombre de triángulo rectángulo y se representa:

e)

Sea $l$ una recta y sean $A$ y $B$ puntos de $l$, se llama segmento de extremos $A$ y $B$ al conjunto de puntos de $l$ que están entre $A$ y $B$ incluyendo a éstos; se denota $\overline{\mathit{AB}}$ y se representa:

f)

Sea $\mathrm{\Delta }\mathit{ABC}$ tal que $m\measuredangle \mathit{ABC}=\frac{\pi }{2}$

entonces:

i)

$$$\overline{\mathit{AB}}$ y $\overline{\mathit{BC}}$ reciben el nombre de catetos del $△\mathit{ABC}$.

ii)

$$$\overline{\mathit{AC}}$ recibe el nombre de hipotenusa del $△\mathit{ABC}$.

Las funciones seno y coseno, como razón entre las medidas de los lados de
un triángulo rectángulo.

Sea $P$ un punto del círculo trigonométrico tal que $P=(x,y)$. Sea $\alpha$ la medida del ángulo formado por la parte positiva del eje $X$ y el rayo $\mathit{OP}$.

Sea $A$ un punto en la parte positiva del eje $x$ tal que $d(O,A)>1$ y sea $B$ un punto de $\overrightarrow{\mathit{OP}}$ tal que $\overline{\mathit{BA}}\perp \overline{\mathit{OA}}$, como se muestra en la figura.

Por semejanza de triángulos tenemos que el $△\mathit{OQP}$ es semejante al $△\mathit{OAB}$ de donde:

i)

$$$\frac{d(Q,P)}{d(O,P)}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}$

como $d(Q,P)=\mathit{sen}(\alpha )$, y $d(O,P)=1$

entonces:

$$\frac{\mathit{sen}(\alpha )}{1}=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}$$

Por lo tanto:

$\mathit{sen}(\alpha )=\frac{d(A,B)}{d(O,B)}$

ii)

$$$\frac{d(O,Q)}{d(O,P)}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}$

como $d(O,Q)=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$, y $d(O,P)=1$

entonces:

$$\frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )}{1}=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}$$

Por lo tanto:

$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )=\frac{d(O,A)}{d(O,B)}$

en general se tiene que si el $△\mathit{ABC}$ es un triángulo rectángulo y $\alpha$ es la medida de uno de sus ángulos internos agudos, como se muestra en la figura.

entonces:

$\mathit{sen}(\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto opuesto al ángulo cuya medida es}\alpha }{\text{longitud de la hipotenusa}}$

$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )=\frac{\text{longitud del cateto adyacente al ángulo cuya medida es}\alpha }{\text{longitud de la hipotenusa}}$

Por lo tanto de acuerdo a la figura:

$\mathit{sen}(\alpha )=\frac{c}{b}$  y   $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )=\frac{a}{b}$

Ejercicio
Considere las siguientes figuras:

Determine:

1.

$$$\alpha$

2.

$$$\mathit{sen}45^{\circ }$ y $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->45^{\circ }$

3.

$$$\mathit{sen}60^{\circ }$ y $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->60^{\circ }$

4.

$$$\beta$

5.

$$$\mathit{sen}(\beta )$ y $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )$

Valores de las funciones seno y coseno, para ángulos cuya medida es $45^{\circ },60^{\circ }$ ó $30^{\circ }$

De particular importancia son los valores de las funciones seno y coseno para ángulos cuya medida sea $45^{\circ }$, $30^{\circ }$ y $60^{\circ }$ y dado que estas funciones para un ángulo agudo, pueden expresarse como razones entre las medidas de los lados de un triángulo rectángulo, recordemos los valores de las funciones seno y coseno para $45^{\circ }$, $30^{\circ }$ y $60^{\circ }$, mediante las siguientes figuras:

Obtenemos así la siguiente tabla:

Nota: Recuerde que:

$60^{\circ }$ es equivalente a $\frac{\pi }{3}$

$30^{\circ }$ es equivalente a $\frac{\pi }{6}$

$45^{\circ }$ es equivalente a $\frac{\pi }{4}$

6.1 Representación gráfica de las funciones seno y coseno

1.

Representación del gráfico de la función seno.

Recordemos que seno: $ℝ\to [-1,1]$, así para analizar el trazo de la función seno construiremos la siguiente tabla de valores convenientes:

$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
$x$	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi }{6}$	$\frac{4\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{2}$	$\frac{5\pi }{3}$	$\frac{11\pi }{6}$	$2\pi$
$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
$y=\mathit{sen}x$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{-1}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$
$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$

Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas tenemos:

por lo tanto representando los pares $(\alpha ,\mathit{sen}(\alpha ))$ para todo $\alpha ,\alpha \in [0,2\pi ]$. Se obtendrá el trazo de la función seno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura

Dado que la función seno es una función periódica, de período $2\pi$ o sea $\mathit{sen}(\alpha +2\mathit{n\pi })=sen\alpha$, el trazo correspondiente a la función seno en el intervalo $[0,2\pi ]$ se repite cada $2\pi$, obteniéndose así:

2.

Representación del gráfico de la función coseno.

Recordemos que coseno: $ℝ\to [-1,1]$, así para realizar el trazo de la función coseno construiremos la siguiente tabla de valores convenientes:

$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
$x$	$0$	$\frac{\pi }{6}$	$\frac{\pi }{3}$	$\frac{\pi }{2}$	$\frac{2\pi }{3}$	$\frac{5\pi }{6}$	$\pi$	$\frac{7\pi }{6}$	$\frac{4\pi }{3}$	$\frac{3\pi }{2}$	$\frac{5\pi }{3}$	$\frac{11\pi }{6}$	$2\pi$
$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$
$y=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$	$1$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$0$	$\frac{-1}{2}$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$-1$	$\frac{-\sqrt{3}}{2}$	$\frac{-1}{2}$	$0$	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$1$
$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$	$$

Al representar cada uno de los puntos en un sistema de coordenadas obtenemos:

por lo tanto representando los pares $(\alpha ,\mathit{cos\alpha })$ para todo $\alpha ,\alpha \in [0,2\pi ]$ se obtendrá el trazo de la función coseno correspondiente a ese intervalo, como se muestra en la figura

Como la función coseno es una función periódica, de período $2\pi$ (o sea $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +2\pi )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha )$, el trazo correspondiente a la función coseno en el intervalo $[0,2\pi ]$ se repite cada $2\pi$, obteniéndose así:

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