7. Identidades trigonométricas

Algunas identidades trigonométricas importantes.

Nota: Las identidades trigonométricas que se demostrarán tomando como unidad de medida el radián, son también válidas si se considera como unidad de medida el grado.

1.

$$Sea $\alpha \in ℝ$ y $\beta \in ℝ$, entonces:

$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\cdot \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )$

Demostración:

Para la demostración de esta identidad haremos uso de los siguientes resultados de la geometría plana.

i.)

Notación: Si $P$ y $Q$ son puntos de un círculo $C$ entonces $\widehat{\mathit{PQ}}$ denota el arco de extremos $P$ y $Q$.

ii.)

Teorema: Sean $A,B,P\text{y}Q$ puntos del círculo $C$, entonces:

$$m(\widehat{\mathit{BP}})=m(\widehat{\mathit{AQ}})⟺d(B,P)=d(A,Q)$$

Demostración (de la identidad 1)

Considere la siguiente figura:

donde:
$\begin{array}{ccc}\hfill A& \hfill =\hfill & (\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ),\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ))\hfill \\ \hfill B& \hfill =\hfill & (\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta ),\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta ))\hfill \\ \hfill P& \hfill =\hfill & (1,0)\hfill \end{array}$

Con respecto a la figura anterior, tenemos:

$m\measuredangle \mathit{POA}=\alpha ⟹m(\widehat{\mathit{PA}})=\alpha$ y $m\measuredangle \mathit{AOB}=\beta ⟹m(\widehat{\mathit{AB}})=\beta$

entonces $m(\widehat{\mathit{PB}})=m(\widehat{\mathit{PA}})+m(\widehat{\mathit{AB}})=\alpha +\beta$  (i)

Considere la siguiente figura:

donde:
$\begin{array}{ccc}\hfill A& \hfill =\hfill & (\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ),\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha ))\hfill \\ \hfill Q& \hfill =\hfill & (\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta ),\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta ))\hfill \\ \hfill P& \hfill =\hfill & (1,0)\hfill \end{array}$

Con respecto a la figura anterior tenemos:

$m\measuredangle \mathit{AOP}=\alpha ⟹m(\widehat{\mathit{AP}})=\alpha$ y $m\measuredangle \mathit{POQ}=-\beta ⟹m(\widehat{\mathit{PQ}})=\beta$

entonces $m(\widehat{\mathit{AQ}})=m(\widehat{\mathit{AP}})+m(\widehat{\mathit{PQ}})=\alpha +\beta$  (ii)

de (i) y (ii) tenemos que $m(\widehat{\mathit{PB}})=m(\widehat{\mathit{AQ}})$

de donde por el teorema anterior, $d(P,B)=d(A,Q)$   (*)

Además, por la figura tras anterior, obtenemos que:

$\begin{array}{ccc}\hfill d(P,B)& \hfill =\hfill & \sqrt{{[\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )-1]}^2+{[\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )-0]}^2}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha +\beta )-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )+1+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha +\beta )}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha +\beta )+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha +\beta )-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )+1}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{1-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )+1}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )}\hfill \end{array}$

por lo que $d(P,B)=\sqrt{2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )}$

y, por la figura anterior, obtenemos que

$\begin{array}{ccc}\hfill d(A,Q)& \hfill =\hfill & \sqrt{{[\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta )]}^2+{[\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta )]}^2}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{{[\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )]}^2+{[\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )]}^2}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha )-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\beta )+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\beta )}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{({\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha )+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\alpha ))+({\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\beta )+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2(\beta ))-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{1+1-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \sqrt{2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )}\hfill \end{array}$

por lo que $d(A,Q)=\sqrt{2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )}$

por lo tanto de (*) tenemos que:

$$d(B,P)=d(A,C)$$

o sea:

$$\begin{array}{ccc}\hfill \sqrt{2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )}& \hfill =\hfill & \sqrt{2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )}\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \hfill \\ \hfill 2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )& \hfill =\hfill & 2-2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \hfill \\ \hfill -2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )& \hfill =\hfill & -2\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+2\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \hfill \\ \hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )& \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\hfill \end{array}$$

2.

$$Sean $\alpha \in ℝ$ y $\beta \in R$, entonces:

$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha -\beta )=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\cdot \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )$

Demostración

$\begin{array}{ccc}\hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha -\beta )& \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +-\beta )\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta )+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta )\text{Por identidad 1}\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\hfill \end{array}$

Aplicando la identidad (1) o (2) y sustituyendo $\alpha$ y $\beta$ por el valor correspondiente, se puede demostrar las siguientes identidades (llamadas fórmulas de reducción)

Sea $x\in ℝ$ entonces:

3.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}+x\right)=-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

4.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

5.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi +x)=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

6.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\pi -x)=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

7.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

8.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

Ejercicio

Demostrar las identidades (3), (4), (5), (6), (7) y (8)

$$Sea $\alpha \in ℝ$, entonces:

$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$

Demostración:

Si $\alpha \in ℝ$ entonces existe $\beta ,\beta \in ℝ$ tal que

i.)

$$$\alpha =\frac{\pi }{2}-\beta$

ii.)

$$$\beta =\frac{\pi }{2}-\alpha$

$\begin{array}{cccc}\hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )& \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}-\beta \right)\hfill & \text{por (i)}\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \mathit{sen}(\beta )\hfill & \text{por identidad (4)}\hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \mathit{sen}\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\hfill & \text{por (ii)}\hfill \end{array}$

por lo tanto $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\alpha =\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)$

9.

$$Sean $\alpha \in ℝ$ entonces:

$\mathit{sen}(\alpha +\beta )=sen(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$

Demostración:

Recuerde que $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}-x\right)=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)$  por identidad (4)

Por lo tanto:

$\begin{array}{cccc}\hfill \mathit{sen}(\alpha +\beta )& \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left[\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta )\right]\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left[\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)-\beta \right]\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\left(\frac{\pi }{2}-\alpha \right)\cdot \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\hfill & \text{por identidad (2)}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \mathit{sen}(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\cdot \mathit{sen}(\beta )\hfill & \text{por identidad (4) y (5)}\hfill \end{array}$

10.

$$Sean $\alpha \in ℝ$ y $\beta \in ℝ$, entonces:

$\mathit{sen}(\alpha -\beta )=sen(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$

Demostración:

$\begin{array}{cccc}\hfill \mathit{sen}(\alpha -\beta )& \hfill =\hfill & \mathit{sen}(\alpha +-\beta )\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \mathit{sen}(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta )+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-\beta )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\hfill & \text{por identidad (10)}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \mathit{sen}(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )-\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\hfill & \text{por e-iii}\hfill \end{array}$

Aplicando las identidades (9) o (10) y sustituyendo $\alpha$ o $\beta$ por el valor correspondiente, se pueden demostrar las siguientes identidades (llamadas fórmulas de reducción)

Sea $x\in ℝ$ entonces:

11.

$$$\mathit{sen}\left(\frac{\pi }{2}+x\right)=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)$

12.

$$$\mathit{sen}(\pi +x)=-sen(x)$

13.

$$$\mathit{sen}(\pi -x)=sen(x)$

14.

$$$\mathit{sen}\left(\frac{3\pi }{2}+x\right)=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)$

15.

$$$\mathit{sen}\left(\frac{3\pi }{2}-x\right)=-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)$

Ejercicio

Demostrar las identidades (11), (12), (13), (14), (15), (16).

Utilizando las identidades (1), (2), (10), (11) se puede demostrar que:
Si $\alpha \in ℝ$ y $\beta \in R$, entonces:

(a)

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha +\beta )=\frac{\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )+\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )}{1-\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\cdot \text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\beta }$

(b)

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha -\beta )=\frac{\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )-\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\beta )}{1+\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )\cdot \text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\beta }$

$\text{■}$ Ejemplo 171.

Determinar:

a.)

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(15^{\circ })$

b.)

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(120^{\circ })$

Solución.

a.)

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(15^{\circ })$

$15^{\circ }=45^{\circ }-30^{\circ }$, por lo que:

$\begin{array}{ccc}\hfill \text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->15^{\circ }& \hfill =\hfill & \text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(45^{\circ }-30^{\circ })\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->45^{\circ }-\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->30^{\circ }}{1+\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->45^{\circ }\cdot \text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->30^{\circ }}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{1-\frac{1}{\sqrt{3}}}{1+1\cdot \frac{1}{\sqrt{3}}}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}}}{\frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{3}}}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}\hfill \end{array}$

Por lo tanto $\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(15^{\circ })=\frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{3}+1}$

b.)

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(120^{\circ })$

$120^{\circ }=2\cdot 60^{\circ }$, por lo que:

$\begin{array}{cccc}\hfill \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->120^{\circ }& \hfill =\hfill & \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(2\cdot 60^{\circ })\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}60^{\circ }-{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}60^{\circ }\hfill & \text{por identidad (19)}\hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & {\left(\frac{1}{2}\right)}^2-{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)}^2\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{1}{4}-\frac{3}{4}\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{-2}{4}\hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill \hfill & \hfill \\ \hfill & \hfill =\hfill & \frac{-1}{2}\hfill & \hfill \end{array}$

por lo tanto $\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(120^{\circ })=\frac{-1}{2}$

$\text{■}$ Ejemplo 172.

Determinar:

a.)

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->75^{\circ }$

b.)

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->165^{\circ }$

c.)

$$$\mathit{sen}255^{\circ }$

d.)

$$$\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->{(-15)}^{\circ }$

En particular sí, en las identidades (1), (10) y (17), $\alpha =\beta$ obtenemos las identidades para el ángulo doble, a saber:

16.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->2\alpha ={\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2\alpha -{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2\alpha$

17.

$$$\mathit{sen}2\alpha =2sen(\alpha )\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )$

18.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->2\alpha =\frac{2\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(\alpha )}{1-{\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^2\alpha }$

y si, en cada una de las identidades (19), (20) y (21), $\alpha =\frac{x}{2},x\in ℝ$ obtenemos las identidades para el ángulo medio

19.

$$$\mathit{sen}\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{2}}$

20.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{2}}$

21.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{x}{2}=\sqrt{\frac{1-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{1+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}}$

Ejercicio
Demostrar las identidades (19), (20), (21), (22), (23) y (24)

Usando las identidades trigonométricas anteriores, la definición de las funciones trigonométricas y las propiedades de las operaciones definidas en $ℝ$, es posible comprobar otras identidades trigonométricas.

Ejercicio
Compruebe cada una de las siguientes identidades:

1.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-x)+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x=1$

2.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\cdot \text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-x)+{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x+{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x=0$

3.

$$${\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x\cdot {\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x={\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x-{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$

4.

$$$\frac{\mathit{sen}(x)}{\text{csc}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}+\frac{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}=1$

5.

$$$\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\cdot (1-{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x)=\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

6.

$$${\mathit{sen}}^{4}x=\frac{1-{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x}{{\text{csc}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x}$

7.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->2A={\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{4}A-{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{4}A$

8.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->A+\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->B=\frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(A+B)}{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->A\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->B}$

9.

$$$\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x-\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=2\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->2x$

10.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{x}{2}(1+\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x))=\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)$

11.

$$$(\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x)\cdot \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=1$

12.

$$$2\text{csc}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->2x=\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x\cdot \text{csc}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x$

13.

$$$\mathit{sen}(A+B)+sen(A-B)=2senA\cdot senB$

14.

$$$\mathit{sen}(A+B)\cdot sen(A-B)={\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}B-{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}A$

15.

$$$-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-x)+\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)\cdot \text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(-x)=-1$

16.

$$$1+{\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x={\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->}^{2}x$

17.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x=2\text{csc}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->2x$

18.

$$$\frac{\text{sec}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}{\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x+\text{cot}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->x}=\mathit{sen}(x)$

19.

$$$\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x+\frac{\pi }{3})-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x-\frac{\pi }{6})=0$

20.

$$${\mathit{sen}}^{2}x=\frac{1-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{2}$

21.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->A-\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->B=\frac{\mathit{sen}(A-B)}{\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->A\cdot \text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->B}$

22.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->A=\frac{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->2A}{1+\mathit{cos}2A}$

23.

$$$\mathit{sen}(x)\cdot \mathit{cos}x=\frac{sen2x}{2}$

24.

$$$\text{tan}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->\frac{x}{2}=\frac{1-\text{cos}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}{\text{sen}<!--\; FUNCTION\; APPLICATION\; -->(x)}$

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