Funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente

8. Funciones arcoseno, arcocoseno y arcotangente

Recordemos que:

a.)

sen (α) = 0

sí y sólo sí

α = - π, α = 0, α = π, α = 2 π . . .

o sea

$sen (- π) = 0, sen 0 = 0, sen π = 0, sen 2 π = 0 . . .$

En general

sen (k \cdot π) = 0, k \in ℤ

b.)

cos (α) = 0

sí y sólo sí

α = \frac{- 3 π}{2}, α = \frac{- π}{2}, α = \frac{π}{2}, α = \frac{3 π}{2}; . . .

o sea

$cos (\frac{- 3 π}{2}) = 0, cos (\frac{- π}{2}) = 0, cos (\frac{π}{2}) = 0, cos (\frac{3 π}{2}) = 0 . . .$

observemos que:

\begin{matrix} \frac{- 3 π}{2} & = & \frac{π}{2} + - 2 π \\ \frac{- π}{2} & = & \frac{π}{2} + - 1 \cdot π \\ \frac{π}{2} & = & \frac{π}{2} + 0 \cdot π \\ \frac{- 3 π}{2} & = & \frac{π}{2} + 1 \cdot π \end{matrix}

En general

cos (\frac{π}{2} + k \cdot π) = 0, k \in ℤ

___________

Sean $A = {α \in ℝ ∕ cos (α) = 0}, B = {α \in ℝ ∕ sen α = 0}$ entonces

$A = {α \in ℝ ∕ α = \frac{π}{2} + k \cdot π, k \in ℤ}$

$B = {α \in ℝ ∕ α = k \cdot π, k \in ℤ}$

Definición 82.

Función tangente

\begin{matrix} Tangente : & ℝ - A & \to & ℝ \end{matrix}

Nota: Tangente $(α)$ se denota $tan (α)$ o sea $tan (α) = \frac{sen (α)}{cos (α)}$

Definición 83.

Función cotangente

\begin{matrix} Cotangente : & ℝ - B & \to & ℝ \end{matrix}

Nota: Cotangente $(α)$ se denota $cot (α)$ , o sea $cot α = \frac{cos (α)}{sen (α)}$

Definición 84.

Función secante

\begin{matrix} Secante : & ℝ - A & \to & ℝ \end{matrix}

Nota: Secante $(α)$ se denota $sec (α)$ , o sea $sec (α) = \frac{1}{cos (α)}$

Definición 85.

Función cosecante

\begin{matrix} Cosecante : & ℝ - B & \to & ℝ \end{matrix}

Nota: Cosecante $(α)$ se denota $csc (α)$ , o sea $csc (α) = \frac{1}{sen (α)}$

■

Ejemplo 179.

Calcule:

a.): $tan (\frac{π}{3})$
b.): $cot (\frac{- π}{4})$
c.): $sec (- π)$
d.): $csc (\frac{2 π}{3})$

Solución.

a.): $tan (\frac{π}{3}) = \frac{sen (\frac{π}{3})}{cos (\frac{π}{3})} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3}$ , o sea $tan (\frac{π}{3}) = \sqrt{3}$
b.): $cot (\frac{- π}{4}) = \frac{cos (\frac{- π}{4})}{sen (\frac{- π}{4})} = \frac{cos (\frac{π}{4})}{- sen (\frac{π}{4})} = - \frac{cos (\frac{π}{4})}{sen (\frac{π}{4})} = - \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = - 1$ o sea $cot (\frac{- π}{4}) = - 1$
c.): $sec (- π) = \frac{1}{cos (- π)} = \frac{1}{cos (π)} = \frac{1}{- 1} = - 1$ o sea $sec (- π) = - 1$
d.): $csc (\frac{2 π}{3}) = \frac{1}{sen (\frac{2 π}{3})} = \frac{1}{sen (π - \frac{π}{3})} = \frac{1}{sen (\frac{π}{3})} = \frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

o sea $csc (\frac{2 π}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$

Ejercicio
Calcule cada uno de los siguientes valores:

1.: Tangente
2.: Cotangente
3.: Secante
4.: Cosecante
5.: $tan (\frac{- π}{6})$
6.: $cot (\frac{5 π}{2})$
7.: $sec (\frac{4 π}{3})$
8.: $csc (\frac{π}{6})$
9.: $tan (\frac{3 π}{4})$
10.: $cot (\frac{- 5 π}{4})$
11.: $sec (\frac{9 π}{4})$
12.: $csc (\frac{- 4 π}{3})$
13.: $tan (\frac{7 π}{6})$
14.: $cot (\frac{- 2 π}{3})$
15.: $sec (\frac{- 7 π}{6})$
16.: $csc (\frac{5 π}{3})$
17.: $tan (- 3 π)$
18.: $cot (\frac{- π}{6})$
19.: $sec (0)$
20.: $csc (\frac{- π}{2})$

Periocidad de las funciones tangente y cotangente

Sean $α \in ℝ$ y $k \in ℤ$ , entonces:

$tan (α + kπ) = tan (α), cos (α) \neq 0$

$cot (α + kπ) = cot α, sen (α) \neq 0$

Lo anterior dice que la tangente y cotangente son periódicas, de período $π$ .

Nota: Este resultado se demostrará más adelante.

Periodicidad de las Funciones Secante y Cosecante

Sea $α \in ℝ$ y $k \in ℤ$ entonces:

$sec (α + 2 kπ) = sec α, cos (α) \neq 0$

$csc (α + 2 kπ) = csc α, sen (α) \neq 0$

Demostración:

1.

sec (α + 2 kπ) = sec (α)

se obtiene del hecho de que:

\begin{matrix} sec (α + 2 kπ) & = & \frac{1}{cos (α + 2 kπ)} \\ = & \frac{1}{cos (α)} \\ = & sec (α) \end{matrix}

2.

csc (α + 2 kπ) = csc (α)

se obtiene del hecho que:

\begin{matrix} csc (α + 2 kπ) & = & \frac{1}{sen (α + 2 kπ)} \\ = & \frac{1}{sen (α)} \\ = & csc (α) \end{matrix}

Signo de los Valores de las Funciones Tangente, Cotangente, Secante y Cosecante

Con respecto a los signos de los valores de las funciones seno y coseno enunciadas anteriormente y de acuerdo a las definiciones tangente, cotangente, secante y cosecante obtenemos la siguiente tabla de signos:


	Cuadrante

	I	II	III	IV

$α$	0 $π ∕ 2$ $π$ $3 π ∕ 2$

$tan (α)$	+	$-$	+	$-$

$cot (α)$	+	$-$	+	$-$

$sec (α)$	+	$-$	$-$	+

$csc (α)$	+	+	$-$	$-$

Representación del gráfico de la tangente

Para representar el gráfico de la tangente construimos la siguiente tabla de valores :



$α$	$\frac{- π}{2}$	$\frac{- π}{3}$	$\frac{- π}{4}$	$\frac{- π}{6}$	$0$	$\frac{π}{6}$	$\frac{π}{4}$	$\frac{π}{3}$	$\frac{π}{2}$



$tan (α)$	indef	$- \sqrt{3}$	$- 1$	$\frac{- \sqrt{3}}{3}$	$0$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$1$	$- \sqrt{3}$	indef

con los valores de la tabla anterior, construimos el trazo de la tangente en el intervalo $] \frac{- π}{2}, \frac{π}{2} [$

Figura 5.103:

Dado que la tangente es una función periódica, de período $π$ (o sea $tan (α + kπ) = tan α, k \in ℝ$ ) el trazo correspondiente a la función tangente en el intervalo $] \frac{- π}{2}, \frac{π}{2} [$ se repite cada $π$ , obteniéndose así:

Figura 5.104:

Considerándose el $△ ABC$ tal que $m∠ ABC = \frac{π}{2}$ , sea $α$ la medida de uno de sus ángulos internos agudos $(o sea 0 < α < \frac{π}{2})$ como se muestra en la figura:

Figura 5.105:

Como $tan (α) = \frac{sen (α)}{cos (α)}$ se tiene que:

$tan (α) = \frac{\frac{longitud del cateto opuesto al ángulo que mide α}{longitud de la hipotenusa}}{\frac{longitud del cateto adyacente al ángulo que mide α}{longitud de la hipotenusa}}$

o sea:

$tan (α) = \frac{longitud del cateto opuesto al ángulo que mide α}{longitud del cateto adyacente al ángulo que mide α}$

En forma similar se tiene que:

$cot (α) = \frac{longitud del cateto adyacente al ángulo que mide α}{longitud del cateto opuesto al ángulo que mide α}$

$sec (α) = \frac{longitud de la hipotenusa}{longitud del cateto adyacente al ángulo que mide α}$

$csc (α) = \frac{longitud de la hipotenusa}{longitud del cateto opuesto al ángulo que mide α}$

Así con respuesta a la figura anterior y los resultados anteriores se obtiene que para $0 < α < \frac{π}{2}$ , se cumple:

a.): $tan (α) = \frac{a}{c}$
b.): $sec (α) = \frac{b}{c}$
c.): $cot (α) = \frac{c}{a}$
d.): $csc (α) = \frac{b}{a}$

■

Ejemplo 180.

Si $cos (α) = \frac{6}{7}$ y $0 < α < \frac{π}{2}$ , calcule $sen (α), tan (α), cot (α), sec (α) y csc (α)$ .

Solución.

Como $cos (α) = \frac{6}{7}$ y $0 < α < \frac{π}{2}$ entonces se tiene que:

Figura 5.106:

¿Porqué?

Como no sabemos cuanto mide el cateto opuesto al ángulo que mide $α$ , hay que determinar su valor (usando el teorema de Pitágoras).

Sea $x$ la medida del cateto opuesto al ángulo que mide $α$ entonces:

\begin{matrix} x^{2} + 6^{2} & = & 7^{2} \\ x^{2} + 36 & = & 49 \\ x^{2} & = & 13 \\ | x | & = & \sqrt{13} \end{matrix}

por lo tanto $x = \sqrt{13}$ ó $x = - \sqrt{13}$ ; pero $x = - \sqrt{13}$ no nos sirve ¿Por qué?

Por lo que el otro cateto mide $\sqrt{13},$ o sea tenemos el triángulo:

Figura 5.107:

Así pues:

1.): $sen (α) = \frac{\sqrt{13}}{7}$
2.): $tan (α) = \frac{\sqrt{13}}{6}$
3.): $cot (α) = \frac{6}{\sqrt{13}}$
4.): $sec (α) = \frac{7}{6}$
5.): $csc (α) = \frac{7}{\sqrt{13}}$

■

Ejemplo 181.

Si $sen α = \frac{- 3}{4}$ y $π < α < \frac{3 π}{2}$ , calcule $cos α, tan α, cot α, sec α y csc α$ .

Solución.

Observe que $sen α$ es negativo, pues $α$ esta en el tercer cuadrante

Como $π < α < \frac{3 π}{2}$ entonces:
existe $β, 0 < β < \frac{π}{2}$ , tal que:
$α = π + β$

Figura 5.108:

Por lo que $sen (α) = sen (π + β) = - sen (β) = \frac{- 3}{4}$ de donde

$sen (β) = \frac{3}{4}$

Como $sen (β) = \frac{3}{4}$ y $0 < β < \frac{π}{2}$ , entonces se tiene que:

Figura 5.109:

Como no sabemos cuánto mide el cateto adyacente al ángulo que mide $β$ , hay que determinar su valor (usando el teorema de Pitágoras).

Sea $x$ la medida del cateto adyacente al ángulo que mide $β$ , entonces:

\begin{matrix} x^{2} + 3^{2} & = & 4^{2} \\ x^{2} & = & 16 - 9 \\ x^{2} & = & 7 \\ x & = & \sqrt{7} \end{matrix}

Así tenemos el triángulo siguiente:

Figura 5.110:

Así pues:

1.: $cos (α) = cos (π + β) = - cos (β) = \frac{- \sqrt{7}}{4}$
2.: $tan (α) = \frac{sen (π + β)}{cos (π + β)} = \frac{- sen (β)}{- cos (β)} = \frac{sen (β)}{cos (β)} = tan (β) = \frac{3}{\sqrt{7}}$
3.: $cot (α) = \frac{cos (π + β)}{sen (π + β)} = \frac{- cos (β)}{- sen (β)} = \frac{cos (β)}{sen (β)} = cot (β) = \frac{\sqrt{7}}{3}$
4.: $sec (α) = \frac{1}{cos (π + β)} = \frac{1}{- cos (β)} = - \frac{1}{cos (β)} = - sec (β) = \frac{- 4}{\sqrt{7}}$
5.: $csc (α) = \frac{1}{sen (π + β)} = \frac{1}{- sen (β)} = \frac{1}{- sen (β)} = - csc (β) = \frac{- 4}{3}$

■

Ejemplo 182.

Si $tan (α) = - \frac{1}{2}$ y $\frac{π}{2} < α < π$ . Calcule $sen (α)$ y $cos (α)$

Solución.

Observe que $tan (α)$ es negativo, pues $α$ está en el segundo cuadrante.

como $\frac{π}{2} < α < π$ entonces existe $β, 0 < β < \frac{π}{2}$ tal que $α = π - β$

Figura 5.111:

Por lo que:

$tan α = tan (- β) = \frac{sen (π - β)}{cos (π - β)} = \frac{sen (β)}{- cos (β)} = - tan (β) = \frac{- 1}{2}$

de donde $tan (β) = \frac{1}{2}$

Como $tan (β) = \frac{1}{2}$ y $0 < β < \frac{π}{2}$ , entonces se tiene que:

Figura 5.112:

Usando el teorema de Pitágoras tenemos $x = \sqrt{5}$

Por lo que:

1.: $sen (α) = sen (π - β) = sen (β) = \frac{1}{\sqrt{5}}$
2.: $cos (α) = cos (π - β) = - cos (β) = - \frac{2}{\sqrt{5}}$

■

Ejemplo 183.

Si $sec (α) = 4$ y $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ . Calcule: $sen (α); tan α$

Solución.

Observe que $sec (α)$ es positivo, pues $α$ está en el cuarto cuadrante

Como $\frac{3 π}{2} < α < 2 π$ , entonces existe $β, 0 < β < \frac{π}{2}$ , tal que: $α = 2 π - β$

Figura 5.113:

Por lo que:

$sec (α) = sec (2 π - β) = \frac{1}{cos (2 π - β)} = \frac{1}{cos (2 π + (- β))} = \frac{1}{cos (- β)} = \frac{1}{cos (β)} = sec (β) = 4$

Como $sec β = 4$ y $0 < β < \frac{π}{2}$ , entonces se tiene que:

Figura 5.114:

Usando el teorema de Pitágoras tenemos que $x = \sqrt{15}$ , por lo que:

1.: $sen (α) = sen (2 π - β) = sen [2 π + (- β)] = sen (- β) = - sen (β) = - \frac{\sqrt{15}}{4}$
2.: $tan (α) = tan (2 π - β) = \frac{sen [2 π + (- β)]}{cos [2 π + (- β)]} = \frac{sen (- β)}{cos (- β)} = \frac{- sen (β)}{cos (β)} = - tan (β) = - \sqrt{15}$

Ejercicio
Calcule: $cot (α), cos (α), sec (α)$

1.: Si $sen (α) = \frac{- 2}{3}$ y $\frac{- 3}{2} < α < 2 π$

Calcule: $cos (α), tan (α), sen (α)$
2.: Si $tan (α) = \frac{2}{3}$ y $π < α < \frac{3 π}{2}$

Calcule: $sen (α), cos (α), csc (α)$
3.: Si $csc (α) = - 5$ y $\frac{π}{2} < α < π$

Calcule: $cot (α), cos (α), sec (α)$

■

Ejemplo 184.

Determine el valor de A donde:

$A = {sen}^{2} (\frac{π}{4}) - sen (\frac{2 π}{3}) \cdot cos (5 π)$

Solución.

$A = {sen}^{2} (\frac{π}{4}) - sen (\frac{2 π}{3}) \cdot cos (5 π)$

$A = {[sen (\frac{π}{4})]}^{2} - sen (\frac{2 π}{3}) \cdot cos (5 π)$

como:

$\begin{matrix} (1) & sen (\frac{π}{4}) & = & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ (2) & sen (\frac{2 π}{3}) & = & sen (π - \frac{π}{3}) \\ = & sen (\frac{π}{3}) & Por propiedad e-i \\ = & \frac{\sqrt{3}}{2} \\ (3) & cos (5 π) & = & cos (π + 4 π) & Por periodicidad del coseno \\ = & - 1 \end{matrix}$

entonces:

$\begin{matrix} A & = & {(\frac{1}{\sqrt{2}})}^{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot - 1 \\ A & = & \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \\ A & = & \frac{1 + \sqrt{3}}{2} \end{matrix}$

Ejercicio
Para cada una de las siguientes expresiones determine el valor de A:

1.: $A = {cos}^{3} (\frac{3 π}{2}) + sen (\frac{- π}{2}) + 2 cos (\frac{5 π}{3})$
2.: $A = - cos (3 π) + sen (\frac{5 π}{6}) \cdot cos (\frac{- 2 π}{3})$
3.: $A = tan (\frac{2 π}{3}) - sec (\frac{- π}{4}) \cdot cos (\frac{7 π}{4})$

La pendiente de una recta como la tangente del ángulo de inclinación de ésta.

Definición 86.

Sea $L$ una recta de ecuación $y = mx + b$ con $m \neq 0$

Sea $A$ el punto de intersección de $L$ y el eje $X$ tal que $A = (a, 0)$

Sea $B$ un punto del eje $X$ tal que $B = (b, 0)$ y $b > a .$

Sea $P \in L$ tal que $P = (x, y)$ , con $y > 0$ (ver las siguientes figuras)

El $∡ BAP$ se llama ángulo de inclinación de la recta $L$ .

Figura 5.115:

Figura 5.116:

Definición 87.

Sea $L$ una recta de ecuación $y = b$ , $b$ constante real, entonces se dice que la medida del ángulo de inclinación es $0$ .

Nota: Si $α$ es la medida del ángulo de inclinación de una recta entonces $0 < α < π$

Nota: La pendiente de una recta es igual a la tangente de su ángulo de inclinación.

Justificación:

Sea $L$ la recta de ecuación $y = mx + b$

Sea $α$ la medida del ángulo de inclinación de $L$

Sean $P$ y $Q$ puntos de $L$ tal que $P = (x_{1}, y_{1})$ y $Q = (x_{2}, y_{2})$ . Sea $α$ la medida

del ángulo de inclinación de $L$ , como se muestra en la figura siguiente

Figura 5.117:

Sabemos que $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ pero $tan (α) = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$

por lo tanto:

$m = tan (α)$

■

Ejemplo 185.

Determine la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es $\frac{2 π}{3}$ y que contiene el punto $(\sqrt{3}, 2)$

Solución.

Sea $y = mx + b$ la ecuación de la recta, entonces $m = tan (\frac{2 π}{3})$

\begin{matrix} m & = & tan (π - \frac{π}{3}) \\ m & = & tan (- \frac{π}{3}) \\ m & = & - tan (\frac{π}{3}) \\ m & = & - \sqrt{3} \end{matrix}

por lo que $y = - \sqrt{3} x + b$ , como $(\sqrt{3}, 2)$ es un punto de la recta, entonces:

\begin{matrix} 2 & = & - \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} + b \\ 2 & = & - 3 + b \\ 5 & = & b \end{matrix}

Por lo tanto la ecuación de la recta es $y = - \sqrt{3} x + 5$

Ejercicio
Determine la ecuación de la recta cuyo ángulo de inclinación es $\frac{π}{4}$ y contiene el punto $(- 2, 2)$

Determine la ecuación de la recta que contiene el origen del sistema de coordenadas y cuyo ángulo de inclinación es $π$

Identidades

Una identidad es una igualdad que es verdadera para todo elemento del dominio de las variables que intervienen.

■

Ejemplo 186.

1.): $x (x + 1) = x^{2} + x$ ; por propiedad distributiva esta igualdad es verdadera para todo número real.
2.): $\frac{(x - 3) (x + 3)}{x - 3} = x + 3$ ; esta igualdad es verdadera para todo número real diferente de $3$ , pues $3$
no pertenece al dominio de la variable.

Nota:

Es frecuente que en el enunciado de una identidad propuesta no se incluya ninguna mención explícita del subconjunto de $ℝ$ sobre la cual la identidad está definida. Sin embargo, al comprobar la identidad se debe recordar que la identidad es válida para aquellos valores de la variable o variables para los cuales cada miembro de la identidad está definida.

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